期權定價的連續(xù)模型及BS公式

1、1第六章：期權定價的連續(xù)模型第一節(jié)連續(xù)時間股票模型第二節(jié)離散模型第三節(jié)連續(xù)模型的分析第四節(jié)Black-Scholes模型第五節(jié)Black-Scholes公式的推導第六節(jié)看漲期權與看破跌期權平價第七節(jié)二叉樹模型和連續(xù)時間模型第八節(jié)幾何布朗運動股價模型應用的注意事項2022/9/42第一節(jié)連續(xù)時間股票模型 保羅薩繆爾森在1965年首次提出： （5-1）股票在時刻的價格常量服從布朗運動。 其中：1826年英國植物學家布朗（1773-1858）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時發(fā)現(xiàn)的。后來把懸浮微粒的這種運動叫做布朗運動。 第二節(jié)離散模型 2022/9/44若表示 T 時刻的股價則根據(jù)二叉樹模型，在一個給

2、定時間間隔2022/9/45第二節(jié)離散模型 于是令這表明k個小時間段的共同影響等同于相應大時間段的影響。2022/9/46第二節(jié)離散模型 上式是下列微分方程的解：（5-2）第二節(jié)離散模型 2022/9/47在式（5-1）中，如果令即可得到上述微分方程，這是一個確定性的公式。然而，股價并不具有公式（5-2）所示的可預測性和確定性。令隨機變量定義其中，為常數(shù)第二節(jié)離散模型 2022/9/48于是，可得股價序列即設（5-3）2022/9/49第二節(jié)離散模型 于是得： （5-4）與式（5-2）相比有什么特點？包含了隨機項，因此更接近實際！2022/9/410第二節(jié)離散模型 該模型有一個優(yōu)點，包含了隨機

3、變量；但存在一個不足之處，即有兩個不確定項。第一個漂移項來自中的，其作用類似于債券第二個漂移項來自于當然希望期望的所有的漂移來自于一個方面，即和貨幣基金市場中的利率2022/9/411第二節(jié)離散模型 為能對模型進行標準正態(tài)變換，并對不確定性進行合并。對進行重新定義：為什么？2022/9/412第二節(jié)離散模型 于是隨機變量Z 的一個重要等式（5-5）第二個因素表示的隨機變量的漂移率為零2022/9/413第二節(jié)離散模型 若令：則：因為：進一步2022/9/414第二節(jié)離散模型 式（5-6）的分析：股票的初始價格；漂移因子（復利因子）；隨機因子；修正因子。則（5-6）第二節(jié)離散模型 2022/9/

4、415特別注意：模型（5-6）盡管也是一種離散模型，但比二叉樹模型具有更豐富的意義。因為允許取任何正值為什么？2022/9/416第二節(jié)離散模型 當時是否否！第二節(jié)離散模型 式（5-6）中將時間分成小的增量，并考慮步運行的影響，一段固定的時間 可以分成許多小時間段。 事實上，針對同樣的時間，可以分成不同的個區(qū)間。 應該注意到：隨著的增加，的方差 會增加。為了使得的總方差獨立于，需要對常量 隨 進行調整。2022/9/419第二節(jié)離散模型 可以在和之間建立一個關系式，使得的方差等于2022/9/420即令：于是式（5-6）其中2022/9/421第二節(jié)離散模型 對數(shù)正態(tài)模型（為什么？） （5-7

5、）：表明長期趨勢；：表明波動率。這兩個參數(shù)如何影響股價？2022/9/424第三節(jié)連續(xù)模型的分析 （5-8）式中，由此得到的就是股價的幾何布朗運動模型（GBM）。方程（5-1）的解（幾何布朗運動）式（5-8）與具有連續(xù)時間變量T的離散模型（5-7）相同。方程（5-1）是一個SDE，一般SDE沒有簡潔的封閉形式的解。2022/9/425第三節(jié)連續(xù)模型的分析 特別注意：目的：對期權進行定價第三節(jié)連續(xù)模型的分析 2022/9/426幾何布朗運動參數(shù)估計：思路：用樣本均值和方差來代替總體的均值和方差若已知在一段較長時間0,T內的股價數(shù)據(jù) ，這段時間由n個長度相等的子區(qū)間所構成，如果已知第個子區(qū)間末的股

6、價，則樣本觀測值有n+12022/9/427第三節(jié)連續(xù)模型的分析 計算時間序列值：由于（5-9）第一步2022/9/428第三節(jié)連續(xù)模型的分析 應該注意到：于是，理論上2022/9/429第三節(jié)連續(xù)模型的分析 樣本均值：樣本方差：根據(jù)式（5-9）的觀測值的均值為方差為。第二步2022/9/430第三節(jié)連續(xù)模型的分析 解方程：得第三步2022/9/431第三節(jié)連續(xù)模型的分析 一般經驗法則是設定度量波動率的時期等于將應用波動率所對應的時期。 第三節(jié)連續(xù)模型的分析 習題：以下是包鋼股票2007年3月20日到2007年3月23日半小時價，請以天為時間單位計算。3月20日3月21日3月22日3月23日5

7、.225.275.35.65.185.225.285.685.25.295.315.695.255.265.435.695.245.275.465.675.245.275.465.615.245.275.535.685.245.265.565.682022/9/432假設：證券價格遵循幾何布朗運動，即和為常數(shù)；允許賣空；沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的；在衍生證券有效期內標的證券沒有現(xiàn)金收益支付；不存在無風險套利機會；證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；在衍生證券有效期內，無風險利率r為常數(shù)。歐式期權，股票期權，看漲期權 2022/9/433第四節(jié)Black-Scholes公式 第

8、四節(jié)Black-Scholes公式 2022/9/434由Black-Scholes公式，歐式看漲期權的價格（5-10）式中股票現(xiàn)價期權價格標準正態(tài)分布函數(shù)期權的執(zhí)行價格距離到期的時間2022/9/435第四節(jié)Black-Scholes公式 是否注意到，這一公式中沒有出現(xiàn)漂移率： 參數(shù)是投資者在短時間后獲得的預期收益率，依附于某種股票的衍生證券的價值一般獨立于。 參數(shù)是股票價格波動率。2022/9/436第四節(jié)Black-Scholes公式 Black-Scholes定價系統(tǒng)在完全市場中得到期權價格與漂移率無關，被稱為風險中性定價方法，無套利是這種定價的基本假設。 Black-Scholes方

9、程的結果認為，由于在方程中消掉了漂移項，而漂移項代表人們對證券價格未來變化的預期，也即證券的風險期望收益率。因此，這意味著期權的價格與人們對證券價格未來變化的預測無關，投資者的風險偏好并不影響期權價格。從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價值決定公式中出現(xiàn)的變量為標的證券當前市價（S）、時間（t）、證券價格的波動率（）和無風險利率r，它們全都是客觀變量，獨立于主觀變量風險收益偏好。而受制于主觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結論，作出一個可以大大簡化我們的工作的風險中性假設：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。2

10、022/9/437第四節(jié)Black-Scholes公式 所謂風險中性，即無論實際風險如何，投資者都只要求無風險利率回報。風險中性假設的結果：投資者進入了一個風險中性世界所有證券的預期收益率都可以等于無風險利率所有現(xiàn)金流量都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。盡管風險中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。也就是說，我們在風險中性世界中得到的期權結論，適合于現(xiàn)實世界。2022/9/438第四節(jié)Black-Scholes公式 2022/9/439第四節(jié)Black-Scholes公

11、式 應該注意的是：實際期權交易中，很多看漲期權是通過競價市場而非理論公式定價。第四節(jié)Black-Scholes公式 習題：若某日某股票的相關數(shù)據(jù)如下，求V2022/9/440第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 一、修正的模型主要思路：讓模型定價等于市價2022/9/441資產組合：a股價格為S0的股票現(xiàn)金b則投資額為： （5-11）經過時間后，投資的資金將變?yōu)椋?022/9/442第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 （5-12）用無風險利率r 貼現(xiàn)得于是2022/9/443第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 對式（5-12）兩邊求期望，則如果下列條件成立則 （5-13）

12、 （5-14）由此，即使a值變化，上式總是成立。2022/9/444第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 采用股價模型代替真正股價，方差保持不變 ，且滿足下式于是對于任何用來復制的投資組合，存在下式現(xiàn)在的問題是，是否存在這樣的？2022/9/445第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 如果令 （5-15）于是2022/9/446第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 即為什么？因此，修正的股價模型為： （5-16）2022/9/447第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 修正模型看上去與GBM模型非常接近，但其與股價模型是完全不同的模型，因為該模型中股價的增長率被人為設低

13、了。第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 二、期望值對歐式看漲期權：2022/9/448將式（5-16）代入得第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 2022/9/449若則用于是2022/9/450第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 根據(jù)期望的概念如何求積分？三、兩個積分2022/9/451第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 由求得2022/9/452第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 將上述積分展開成兩部分第二部分2022/9/453第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 第一部分2022/9/454第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 變量代換

14、，則 2022/9/455第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 所以積分式的第二項等于將上述第一項和第二項的結果代入，得2022/9/456第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 其中第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 金融產品今天的價值，應該等于未來收入的貼現(xiàn)： 其中，由于風險中性定價， E是風險中性世界中的期望值。所有的利率都使用無風險利率：包括期望值的貼現(xiàn)率和對數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率。 要求解這個方程，關鍵在于到期的股票價格ST，我們知道它服從對數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應用無風險利率，因此，2022/9/457上式的右邊求值是一個積分過程，求得：N（x）為標準正態(tài)

15、分布變量的累計概率分布函數(shù)（即這個變量小于x的概率）。這就是無收益資產歐式看漲期權的定價公式 2022/9/458第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 首先，N(d2)是在風險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風險中性期望值的現(xiàn)值。因此，這個公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。2022/9/459第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 其次， 是復制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e

16、-r(T-t)XN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權可以分拆成資產或無價值看漲期權（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產或無價值看漲期權的價值， -e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價值看漲期權空頭的價值。 2022/9/460資產或無價值看漲期權：如果標的資產價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權支付一個等于資產價格本身的金額，因此該期權的價值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)現(xiàn)金

17、或無價值看漲期權：如果標的資產價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權支付1元， 由于期權到期時價格超過執(zhí)行價格的概率為N(d2) ，1份現(xiàn)金或無價值看漲期權的現(xiàn)值為-e-r(T-t)N(d2) 。2022/9/461第五節(jié)Black-Scholes公式的推導 2022/9/462第六節(jié)看漲期權與看跌期權平價歐式看漲期權的價格與歐式看跌期權的價格有關若賣空一份帶拋補的看漲期權以S 的價格買入一股股票以C 的價格賣出一份看漲期權，執(zhí)行價為X同時又買了一份價格為P 的看跌期權，執(zhí)行價為X（到期時間和執(zhí)行價與看漲期權相同）2022/9/463第六節(jié)看漲期權與看跌期權平價則

18、當期于是2022/9/464第六節(jié)看漲期權與看跌期權平價 對于具有與歐式看漲期權定價相同參數(shù)的歐式看跌期權定價平價公式將歐式看漲期權定價的Black-Scholes公式代入，得：即第六節(jié)看漲期權與看跌期權平價t=0t=TST3.133.13ST2.9ST2.9賣武鋼認購權證（執(zhí)行價2.9元）C2.9-ST2.9-ST0買武鋼股票-S0STSTST買武鋼認沽權證（執(zhí)行價3.13元）-P03.13-ST3.13-ST借入現(xiàn)金2.9/(1+r)t/365-2.9-2.9-2.9現(xiàn)金流C-P-S0+2.9/(1+r)t/36503.13-ST0.232022/9/4652022/9/466附：期權的簡

19、單特征2022/9/467命題1:對于0,T 上具有相同執(zhí)行價格q的歐式和美式期權，存在附：期權的簡單特征2022/9/468命題2:若在0,T 上，相應的股票無紅利配發(fā)，則存在：附：期權的簡單特征2022/9/469命題3:若在0,T 上，相應的股票無紅利配發(fā)，則存在：附：期權的簡單特征2022/9/470命題4:若在0,T 上，相應的股票無紅利配發(fā)，則存在：附：期權的簡單特征2022/9/471推論1:若在0,T 上，相應的股票無紅利配發(fā)，則美式看漲期權不應提前執(zhí)行。推論2:若在0,T 上，相應的股票無紅利配發(fā)，對于相同執(zhí)行價格和相同到期日的美式和歐式看漲期權存在：附：期權的簡單特征2022/9/472命題5:在0,T 上，相應的股票無紅利配發(fā)，如果在美式看跌期權有效的有效期內的某個存在則該美式看跌期權應該在時刻執(zhí)行。附：期權的簡單特征2022/9/473命題6:若在0,T 上，相應的股票無紅利配發(fā)，則歐式看漲和看跌期權的價格滿足：習題:若看漲和看跌期權的行權價不同，則這一關系該如何表達？附：期權的簡單特征2022/9/474命題7:若在0,T 上，相應的股票無紅利配發(fā)，則美式看漲和看跌期權的價格滿足：附：期權的簡單特征2022/9/475命題8:若在0,T 上，相應的股票有紅利配發(fā)，記：附：期權的簡單特征2022/9/476附：期權的簡單特征20