常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6-第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)WORD版

1、1常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過(guò)綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫(xiě)，文檔填寫(xiě)完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。、填空題dY1.若處)在(4,+切上連續(xù)，那么線性齊次方程組丁二A(x)Y,YeRn的任一非零dx解在

2、Rn+1空間不能與x軸相交.dY方程組二F(x,Y),xeR,YeRn的任何一個(gè)解的圖象是n+1維空間dx中的一條積分曲線.向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x),.,Y“(x)線性相關(guān)的必要條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0.dY4線性齊次微分方程組二A(x)Y,xeR,YeRn，的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多dx于n+1個(gè).5.若函數(shù)組竹(x),申2(x)在區(qū)間(a,b)上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間(a,b)上恒等于sinxcosxW(x)=cosx一sinxy=sinx6.函數(shù)組f1的朗斯基行列式W(x)是y=cosx27.二階方程y+xy+x2y=0的等價(jià)方程組y=y1y=一

3、xy11一x2y8.若y=9(x)和y=p(x)是二階線性齊次方程的基本解組，則它們沒(méi)有共12同零點(diǎn).二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y=9(x),y=9(x)成為其基本解組的充要條件12是線性無(wú)關(guān)n階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為_(kāi)q個(gè).在方程yH+p(x)y+q(x)y=0中,p(x),q(x)在(-,+=dy一dd務(wù)血廠，、y)2/|2求解下列方程組：血一x取一d)2/|血一x取一d1I)154(1)解方程組的系數(shù)陣為A-45特征方程為:det（A-九E）=5幾4=（九一1）（九一9）二0,45九其特征根為九=1,九=9.12y1z1et其中a,b滿足a（A-入E）b4444=0,則

4、有a+b=0取a=1,b=1,貝9得y特解1zet1y2e9t丁z1同理，當(dāng)九二9時(shí),22所以方程組的解為y(t)二Cz(t)1ete_te9te9taB解方程組的系數(shù)陣為A二_b幺特征方程為:det(A-九E)=(九_(tái)a)2+B2二0 x1=ea+Biy1其中a,b滿足故有a(A-入E)b_Bi-B-Bi=0,ai+b0abi0即bai.取a1,bi，于是方程組對(duì)應(yīng)于x*_1cosBt+isinBt1ea+Bi=eaty*1isinBt+icosBt故特征根九-a土Bi所對(duì)應(yīng)的實(shí)解為xcosBt1=eaty1sinBtxsinBt2=eaty2cosBt所以方程組的解為x(t)y(t)COS

5、Bt=eatsinBtSinBtCOsBtC1C2Xx+y3y2x3求解下列方程組：j&=2x一y+z)&x+2y一zZx一y+2z1）解方程組的系數(shù)陣為1A二231九特征方程為：det（A-九E）=小13九特征根為九-2+i,九=2i12x1二e(2+i)ty1其中a,b滿足（1i111i=0,(1i)a+b=0a+(1i)b=0第一個(gè)方程x(1i)有2a+(1+i)b=0令a=1，則b=1+i于是由x(t)y(t)1=e2t(cost+isint)1+ix(t)=e2tcostsint_y(t)_costsintcost+sint解得通解C1C2TOC o 1-5 h z11(2)解系數(shù)陣

6、為A=1211122-九1特征方程為:det(A-九E)=12九1111=(九1)(九-2)(九-3)=0.2九特征根為九=1,九=2,九=3.123x(t)y(t)=_z(t)_通解解為0e2te3tc1ete2t0c2ete2te3tc3血邊取一d)1IX=y+2et(2)I)&=X+124求解下列方程組=3x+y=3y(1)解方程組的系數(shù)陣為a=03,其特征方程為:1det(A-九E)=(九一3)2=03九特征根為九=九=3,方程組有如下形式的解:x=(r+rt)e3ty=(r+rt)e3t1211122122I3(r+rt)e3t+re3t=3(r+rt)e3t+(r+rt)e3t代入

7、原方程組有S1112121112212213(r+rt)e3t+re3t=3(r+rt)e3t首先求出相應(yīng)齊次線性方程組的通解.對(duì)應(yīng)齊次方程的系數(shù)陣為A=其特征方程為：det(A-九E)=-九11九=(九1)(九+1)=0.2122222122消去e3t得0或p(x)0,所以,w(x)在I上恒正或恒負(fù)，即w(x)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).3試證明：二階線性齊次方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個(gè)不為零的常數(shù)證明設(shè)兩個(gè)線性的解組的朗斯基行列式分別為Jw(x)=w(x)ex110Q、eW=w所以有1(x)=1xp(t)dtx0,w(x)=w(x)e220(x)豐00 xp(t)dtx0且w(x)豐0,w(x)豐0,1020四、應(yīng)用題1.一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解設(shè)液體的反作用與質(zhì)點(diǎn)速度的比例系數(shù)為k則指點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)滿足方程：m&+k&=mgk即&+&=g(*)m則(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方