《應用隨機過程》課程教學大綱

1、應用隨機過程課程教學大綱課程編碼：171400050課程性質(zhì)：專業(yè)核心必修課程適用專業(yè)： 統(tǒng)計學專業(yè)本科學生學時學分： 40學時 2.5學分所需先修課：數(shù)學分析、概率論編寫單位： 數(shù)學與信息科學系一、課程說明 1、課程簡介隨機過程是研究隨時間變化的動態(tài)系統(tǒng)中隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)學學科，在現(xiàn)代電子技術(shù)、金融、保險、生物、經(jīng)濟和管理等方面都有著廣泛的應用。它是數(shù)學類專業(yè)或非數(shù)學專業(yè)重要的應用性課程。本課程將討論隨機過程的基本概念、泊松過程、馬爾可夫鏈、連續(xù)時間馬爾可夫鏈、更新過程。通過對本課程的學習，使學生初步掌握處理隨機現(xiàn)象的基本思想和方法, 培養(yǎng)學生運用隨機方法分析和解決實際問題的能力，并為

2、風險理論、統(tǒng)計學其他后續(xù)課程的學習提供堅實的理論基礎(chǔ)。 2、教學目的要求通過隨機過程課程的學習，使學生掌握隨機過程的基本概念、基本理論，為學生深入學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計和精算學專業(yè)的某些專業(yè)課程打下堅實的基礎(chǔ)。培養(yǎng)學生運用隨機過程的方法分析問題、解決問題的能力。3、教學重點難點教學重點是掌握幾個常用過程，如泊松過程、馬爾可夫鏈、生滅過程、更新過程、平穩(wěn)過程及布朗運動的基本概念，難點是掌握這些常用過程的基本理論及分析方法，從而提高學生的數(shù)學素質(zhì)，加強學生運用隨機過程的思想方法開展科研工作和解決實際問題的能力。4、考核方式 本課程為考試課，期末考試為閉卷筆試，按百分制評定本課程的成績，其中平時成績占

3、20%，期末成績占80%。5、學時分配表章次教學內(nèi)容理論課學時數(shù)實驗(實踐)課學時數(shù)1預備知識與隨機過程的基本概念402泊松過程及其推廣1043馬爾可夫鏈1025布朗運動326連續(xù)參數(shù)馬爾可夫鏈50小計32學時328總計40二、各部分教學綱要預備知識與隨機過程的基本概念(4學時)教學目標理解隨機過程的定義，了解隨機過程的例子，掌握有限維分布和數(shù)字特征。理解條件期望的定義及三個常用的性質(zhì)，掌握三個性質(zhì)的運用，掌握矩母函數(shù)，了解常用概率分布的矩母函數(shù)，掌握矩母函數(shù)、特征函數(shù)性質(zhì)的運用，了解幾乎處處收斂和依概率收斂的含義和相互關(guān)系。本章重點掌握有限維分布和數(shù)字特征，條件期望常用的三個性質(zhì)，掌握矩母函

4、數(shù)，特征函數(shù)及其性質(zhì)。本章難點矩母函數(shù)、特征函數(shù)的拉普拉斯變換，幾乎處處收斂和依概率收斂的含義和相互關(guān)系。教學內(nèi)容第一節(jié) 概率1回顧概率的相關(guān)概念樣本空間、可測空間概率測度事件獨立性第二節(jié) 隨機變量、分布函數(shù)及數(shù)字特征1 隨機變量與分布函數(shù)2 黎曼-斯蒂爾切斯積分3 數(shù)字特征3.1 數(shù)學期望3.2 方差3.3 協(xié)方差3.4 相關(guān)系數(shù)4 常用隨機變量的分布第三節(jié) 矩母函數(shù)、特征函數(shù)和拉普拉斯變換1 矩母函數(shù)1.1 定義1.2 常用概率分布的矩母函數(shù)2 特征函數(shù)2.1 定義2.2 性質(zhì)2.3 特征函數(shù)性質(zhì)的運用3 拉普拉斯變換第四節(jié) 條件數(shù)學期望1 離散型隨機變量情形2 連續(xù)型隨機變量情形3 一般

5、隨機變量情形4 條件概率與條件分布函數(shù)5 條件數(shù)學期望的基本性質(zhì)6 多元隨機變量的條件數(shù)學期望7 條件乘法公式與條件獨立性第五節(jié) 隨機過程的概念1 概念2 例子3 隨機過程的數(shù)字特征及有限維分布函數(shù)族第六節(jié) 隨機過程的分類1 獨立增量過程2 馬爾可夫過程3 平穩(wěn)過程及二階矩過程4 更新過程5 計數(shù)過程第二章 泊松過程及其推廣(14學時)教學目標了解計數(shù)過程，掌握計數(shù)過程中獨立增量和平穩(wěn)增量的含義，掌握泊松過程的兩個等價定義，理解兩個定義等價性的證明。了解泊松過程中事件的來到間隔序列的定義，掌握泊松過程的來到間隔序列為獨立同分布的指數(shù)隨機變量。掌握泊松過程中等待時間隨機變量的定義、概率密度函數(shù)。

6、 在了解順序統(tǒng)計量的基礎(chǔ)上，掌握泊松過程中來到時刻的條件分布，掌握利用條件分布解決排隊平均等待時間的方法。掌握非齊次泊松過程的定義。掌握復合泊松過程的定義，理解泊松過程與復合泊松過程的關(guān)系及本質(zhì)區(qū)別。理解更新過程的定義，理解泊松過程是一種特殊的更新過程，掌握更新函數(shù)的表達式，了解基本更新定理。本章重點泊松過程中關(guān)于發(fā)生時刻和次數(shù)的等價事件、時間間隔的分布、發(fā)生時刻的分布、基本更新定理、泊松過程中來到時刻的條件分布。本章難點 泊松過程中來到時刻的條件分布、更新函數(shù)的表達式。教學內(nèi)容第一節(jié) 定義及其背景1 引例2 兩個等價定義第二節(jié) 相鄰事件的時間間隔，泊松過程與指數(shù)分布的關(guān)系1 計數(shù)過程2 相鄰

7、事件的時間間隔3 泊松過程與指數(shù)分布的關(guān)系第四節(jié) 到達時間的條件分布1 順序統(tǒng)計量2 泊松過程中到達時間的條件分布3 例子第六節(jié) 非時齊泊松過程1 非時齊泊松過程的定義2 例子第七節(jié) 復合泊松過程1 復合泊松過程的定義2 泊松過程與復合泊松過程的關(guān)系第九節(jié) 更新過程1 更新過程的定義2 泊松過程是一種特殊的更新過程第十節(jié) 若干極限定理與基本更新定理1 極限定理2 例子3 基本更新定理第十一節(jié) 更新方程與關(guān)鍵更新定理1 更新方程2 關(guān)鍵更新定理馬爾可夫鏈(12學時)教學目標掌握馬爾可夫鏈和馬爾可夫性的定義，掌握馬爾可夫鏈的特征及條件，能熟練寫出常見 Markov 鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣。 掌握切普曼-柯

8、爾莫哥洛夫方程以及聯(lián)合分布概率的計算。掌握馬爾可夫鏈互達，周期，常返，正常返，零常返、遍歷等概念。掌握馬爾可夫鏈的極限定理，掌握馬爾可夫鏈中平穩(wěn)分布、極限分布的概念。能夠利用平穩(wěn)分布求解 Markov 鏈的極限分布。本章重點互達，周期，常返，正常返，零常返概念的理解，馬爾可夫鏈的極限定理，馬爾可夫鏈中平穩(wěn)分布、極限分布的概念，切普曼-柯爾莫哥洛夫方程，聯(lián)合分布概率的計算、轉(zhuǎn)移概率矩陣的計算。本章難點互達，周期，常返，正常返，零常返概念的理解，利用平穩(wěn)分布求解 Markov鏈 的極限分布。教學內(nèi)容第一節(jié) 定義與例子1 馬爾可夫鏈的定義、特征2 轉(zhuǎn)移概率矩陣的定義3 實例3.1 隨機游動3.2 排

9、隊模型第二節(jié) 轉(zhuǎn)移概率矩陣1 隨機矩陣2 C-K方程第三節(jié) 狀態(tài)的分類1 馬爾可夫鏈互達，周期，常返，正常返，零常返、遍歷等概念2 首達時間與首達概率3 相關(guān)定理4 狀態(tài)分類的例子第四節(jié) 狀態(tài)空間的分解1 不可約閉集2 狀態(tài)空間分解定理3 實例第五節(jié) Pn的極限性態(tài)與平穩(wěn)分布1 馬爾可夫鏈的極限定理2 平穩(wěn)分布3 馬爾可夫鏈的極限分布4 利用平穩(wěn)分布求解馬爾可夫鏈的極限分布第五章 布朗運動(5學時)教學目標了解布朗運動的來由和本質(zhì)，了解布朗運動與隨機游動的區(qū)別與聯(lián)系。掌握布朗運動過程的定義和獨立增量性，掌握將一般布朗運動轉(zhuǎn)化為標準布朗運動的方法。了解布朗運動路徑的性質(zhì)。掌握獨立增量的密度函數(shù)，

10、聯(lián)合密度函數(shù)和條件密度函數(shù)。掌握布朗運動過程的首達時概念及概率函數(shù)，掌握布朗運動過程的最大值概念及概率函數(shù)。本章重點布朗運動與隨機游動的區(qū)別與聯(lián)系、布朗運動過程的定義和獨立增量性，將一般布朗運動轉(zhuǎn)化為標準布朗運動、首達時及最大值的概率函數(shù)。本章難點將一般布朗運動轉(zhuǎn)化為標準布朗運動，獨立增量的密度函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)和條件密度函數(shù)。教學內(nèi)容第一節(jié) 隨機游動與布朗運動的定義1 布朗運動的來由和本質(zhì)2 布朗運動與隨機游動的區(qū)別與聯(lián)系3 布朗運動過程的定義和獨立增量性4 將一般布朗運動轉(zhuǎn)化為標準布朗運動的方法第二節(jié) 布朗運動軌道的性質(zhì)1 布朗運動軌道的性質(zhì)2 例子第三節(jié) 首中時與最大值1 布朗運動過程的

11、首達時間的分布2 過零點的反正弦定理 第六章 連續(xù)參數(shù)馬爾可夫鏈(5學時)教學目標掌握連續(xù)時間馬爾可夫鏈的定義性質(zhì)及其與離散時間馬爾可夫鏈的區(qū)別，掌握轉(zhuǎn)移速率的概念，掌握 Q 矩陣的概念，掌握柯爾莫哥洛夫向前和向后微分方程。了解生滅過程，了解純生過程及其與一般生滅過程的關(guān)系，了解尤爾過程及其與一般生滅過程的關(guān)系。本章重點柯爾莫哥洛夫向前和向后微分方程、轉(zhuǎn)移概率矩陣與Q 矩陣的計算。本章難點Q 矩陣的計算。教學內(nèi)容第一節(jié) 定義與若干基本概念1 連續(xù)時間馬爾可夫鏈的定義、性質(zhì)2 與離散時間馬爾可夫鏈的區(qū)別3 轉(zhuǎn)移速率的概念第二節(jié) 轉(zhuǎn)移率矩陣-Q矩陣及其概率意義1 Q 矩陣的概念2 Q 矩陣的計算第三節(jié) 柯爾莫哥洛夫向前向后微分方程1 柯爾莫哥洛夫向前和向后微分方程2 向前向后微分方程的應用第四節(jié) 生滅過程1 生滅過程的定義2 純生過程3 尤爾過程2 生滅過程的實際例子三、使用教材及參考書使用教材：林元烈主編，應用隨機過程，清華大學出版社，2002年.參考書：1 HYPERLINK /search.aspx?index=2&q=(%e7%be%8e)Sheldon+M.Ross t _blank (美)Sheldon M.Ross主編，