變換的定義與收斂域

1、變換的定義與收斂域第1頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2-1 Z變換的定義及收斂域返回2一.Z變換定義二.收斂域三.常用序列的收斂域四：求收斂域舉例第2頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二一.Z變換定義： 序列的Z變換定義如下： *實際上，將x(n)展為z-1的冪級數(shù)。引言：離散時間信號與系統(tǒng)變換域分析法： A）Z變換，DFT(FFT)。 Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程 B) Z變換的應(yīng)用范圍更廣返回2.11PK1棋牌公社官網(wǎng) 編輯整理第3頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二二.收斂域 1.定義: 使序列x(n)的z變換X(z)

2、收斂的所有z值的 集合稱作X(z)的收斂域.2.收斂條件： X(z)收斂的充要條件是絕對可和。返回2.1第4頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二三.常用序列的收斂域(1).預(yù)備知識 阿貝爾定理: 如果級數(shù) ，在 收斂,那么,滿足0|z|z+|的z,級數(shù)必絕對收 斂。|z+|為最大收斂半徑。返回2.1第5頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 同樣,對于級數(shù) ，滿足 的z， 級數(shù)必絕對收斂。 |z_|為最小收斂半徑。返回2.1第6頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二0n2n1n (n).(2).有限長序列返回2.1第7頁，共98頁，202

3、2年，5月20日，5點27分，星期二返回2.1第8頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二x(n)n0n1.1.3. 右邊序列*第一項為有限長序列，第二項為z的負(fù)冪級數(shù),返回2.1第9頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二收斂域第一項為有限長序列,其收斂域為0|z|;第二項為z的負(fù)冪次級數(shù)，由阿貝爾定理可知, 其收斂域為 Rx-|z|;兩者都收斂的域亦為Rx-|z|; Rx-為最小收斂半徑。返回2.1第10頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二(4)因果序列 它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾 定理可知收斂域為：返回2.1第11頁，共98頁，

4、2022年，5月20日，5點27分，星期二(5)左邊序列x(n)0n n2返回2.1第12頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二第二項為有限長序列,其收斂域 ; 第一項為z的正冪次級數(shù)，根據(jù)阿貝爾定理, 其收斂域為 ; 為最大收斂半徑 .返回2.1第13頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 雙邊序列指n為任意值時,x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。 (6)雙邊序列0nx返回2.1第14頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二第二項為左邊序列，其收斂域為：第一項為右邊序列(因果)其收斂域為：當(dāng)Rx-|z|時，這是無窮遞縮等比級數(shù)

5、，收斂。收斂域：*收斂域一定在模最小的極點所在的圓內(nèi)。返回2.1本節(jié)結(jié)束第19頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2-2 Z反變換一.定義二.求Z反變換的方法1.留數(shù)法2.部分分式法3.冪級數(shù)展開法(長除法)返回2第20頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二一.定義： 已知X(z)及其收斂域,反過來求序列x(n)的變換稱作Z反變換。返回2.2第21頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點的一條逆時針閉合單圍線.0c返回2.2二.求Z反變換的方法 -1.留數(shù)法教材P50頁有對Z反變換的推導(dǎo)第22頁，共98頁，2022年

6、，5月20日，5點27分，星期二.留數(shù)定理： 為c內(nèi)的第k個極點， 為c外的第m個極點， Res 表示極點處的留數(shù)。返回2.2第23頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 2、當(dāng)Zr為l階(多重)極點時的留數(shù)：留數(shù)的求法： 1、當(dāng)Zr為一階極點時的留數(shù)：返回2.2第24頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二例2-4 已知解:1）當(dāng)n-1時,不會構(gòu)成極點，所以這時C內(nèi)只有一個一階極點因此，求z反變換。返回2.2第25頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2）當(dāng)n-2時，X(z)zn-1中的zn+1構(gòu)成n+1階極點。 因此C內(nèi)有極點：z=1/4

7、(一階), z=0為(n+1) 階極點；而在C外僅有 z=4(一階)這個極點，且分母比分子的Z的階數(shù)至少高2:返回2.2第26頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2.部分分式法 有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個多項 式的商。分子的次數(shù)低于分母時稱為真分式。 部分分式：把x的一個實系數(shù)的真分式分解成幾個分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是實數(shù)范圍內(nèi)的不可約 多項式，而且k是正整數(shù)。這時稱各分式為原分 式的“部分分式”。返回2.2第27頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分

8、，星期二 通常，X(z)可表成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN時，才存在Bn；Zk為X(z)的各單極點，Zi為X(z)的一個r階極點。而系數(shù)Ak，Ck分別為： 返回2.2第28頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二的z反變換。例2-5利用部分分式法，求解： 分別求出各部分分式的z反變換（可查 P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反變換。返回2.2第29頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二返回2.2第30頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二3.冪級數(shù)展開法(長除法) 因為 x(n) 的Z變換為Z-1

9、的冪級數(shù)，即 所以在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。 如收斂域為|z|Rx+， x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負(fù)冪級數(shù)。 若 收斂域|Z|Rx-, x(n)必為左邊序列，主要展成 Z的正冪級數(shù)。 返回2.2第31頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二例2-6 試用長除法求的z反變換。解:收斂域為環(huán)狀，極點z=1/4對應(yīng)因果序 列，極點z=4對應(yīng)左邊序列(雙邊序列)*雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應(yīng)先展成部分分式再做除法。返回2.2第32頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二返回2.2第33頁，共98頁，2022年

10、，5月20日，5點27分，星期二返回2.2第34頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z - Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116.返回2.2第35頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-

11、3.返回2.2第36頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二返回2.2本節(jié)結(jié)束第37頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2-3 Z變換的基本性質(zhì)和定理共有線性、移位、Z域尺度、 Z域求導(dǎo)等12條性質(zhì)返回2第38頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二如果則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域為兩者重疊部分。1.線性返回2.3第39頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二例2-7已知 ,求其z變換。解：返回2.3第40頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2. 序列的移位如果則有：例2-8 求序列x(n)=u(

12、n)-u(n-3)的z變換。返回2.3第41頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二3. Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果，則證明：返回2.3第42頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二4. 序列的線性加權(quán)(Z域求導(dǎo)數(shù))如果，則證明：返回2.3第43頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二5. 共軛序列如果，則證明：返回2.3第44頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二6. 翻褶序列如果，則證明：返回2.3第45頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二7. 初值定理證明：返回2.3第46頁，共98頁，2022年

13、，5月20日，5點27分，星期二8. 終值定理證明：返回2.3第47頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點，故因子（z-1)將抵消這一極點，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z 1的極限。返回2.3第48頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二9. 有限項累加特性證明：返回2.3第49頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二返回2.3第50頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二10.序列的卷積和(時域卷積定理) 返回2.3第51頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分

14、，星期二證明：返回2.3第52頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二例2-9解：返回2.3第53頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二11.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點的一條逆時針單封閉圍線。 （證明從略）返回2.3第54頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二例2-10解：返回2.3第55頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二返回2.3第56頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積

15、分圍線C在公共收斂域內(nèi)。 （證明從略）如果則有:返回2.3第57頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二*幾點說明：本節(jié)結(jié)束返回2.3第58頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2-4 序列的Z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系 一.Z變換與拉氏變換的關(guān)系二.Z變換和傅氏變換的關(guān)系三.序列的傅氏變換返回2第59頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二1.理想抽樣信號的拉氏變換設(shè) 為連續(xù)信號， 為其理想抽樣信號，則一.Z變換與拉氏變換的關(guān)系返回2.4！復(fù)習(xí)回顧：連續(xù)信號的FT與LT關(guān)系Go！第60頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期

16、二 序列 的z變換為 ，考慮到 ,顯然，當(dāng) 時，序列 的 z 變換就等于理想抽樣信號的拉氏變換。返回2.4又因 與原連續(xù)信號 的拉氏有如下關(guān)系則 與 的關(guān)系為：解釋第61頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2.Z變換與拉氏變換的關(guān)系( S、Z平面映射關(guān)系） S平面用直角坐標(biāo)表示為： Z平面用極坐標(biāo)表示為： 又由于 所以有：因此， ;這就是說， Z的模只與S的實部相對應(yīng), Z的相角只與S虛部相對應(yīng)。返回2.4第62頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 =0,即S平面的虛軸 r=1,即Z平面單位圓； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的單

17、位圓外 。j00(1).r與的關(guān)系返回2.4第63頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二= 0，S平面的實軸， = 0，Z平面正實軸；=0(常數(shù))，S:平行實軸的直線， = 0T,Z:始于 原點的射線； S:寬 的水平條帶， 整個z平面.(2).與的關(guān)系（=T）返回2.40jImZReZ第64頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二二.Z變換和傅氏變換的關(guān)系 連續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓， 即 我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=j 的特例,因而映射到Z平面上為單位圓。因此, 這就是說,（抽樣）序列在單位圓 上的Z變換,就等于理想抽樣信號傅氏變換

18、。 用數(shù)字頻率作為Z平面的單位圓的參數(shù)， 表示Z平面的輻角，且 。返回2.4第65頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二所以，序列在單位圓上的Z變換為序列的傅氏變換。返回2.4第66頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二三.序列的傅氏變換1.正變換:2.反變換:返回2.4本節(jié)結(jié)束第67頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2-5 傅氏變換的一些對稱性質(zhì)一、共軛對稱序列與共軛反對稱序列 1.共軛對稱序列 設(shè)一復(fù)序列，如果滿足xe(n)=xe*(-n)則稱序列為共軛對稱序列。下面分析它們的對稱關(guān)系。 設(shè)序列 其中 分別表示的實部和虛部。對其兩邊

19、取共軛，則再將-n代入，則根據(jù)定義，則 這說明共軛對稱序列的實部是偶對稱序列（偶函數(shù)），而虛部是奇對稱序列（奇函數(shù)）。*特殊地，如是實序列，共軛對稱序列就是偶對稱序列。返回2第68頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2.共軛反對稱序列 設(shè)一復(fù)序列，如果滿足xo(n)=-xo*(-n) 則稱序列為共軛反對稱序列。同樣有：根據(jù)定義，則 這說明共軛反對稱序列的實部是奇對稱序列（奇函數(shù)），而虛部是偶對稱序列（偶函數(shù)）。 *特殊地，如是實序列，共軛反對稱序列就是奇對稱序列。返回2.5第69頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 二、任一序列可表為共軛對稱序列與共軛反

20、對稱序列之和返回2.5第70頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二返回2.5第71頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二三、序列的傅氏變換可表為共軛對稱分量 與共軛反對稱分量之和其中，返回2.5第72頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二四、兩個基本性質(zhì)證明：返回2.5第73頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二證明：返回2.5第74頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二五、序列的實、虛部與其傅氏變換偶、奇部的關(guān)系1.序列的實部的傅氏變換等于其傅氏變換的偶部證明：返回2.5第75頁，共98頁，2022年，

21、5月20日，5點27分，星期二2.序列的j倍虛部的傅氏變換等于其傅氏變換的奇部證明：返回2.5第76頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二六、序列的偶、奇部與其傅氏變換的實、虛部的關(guān)系1.序列的偶部的傅氏變換等于其傅氏變換的實部證明：返回2.5第77頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2.序列的奇部的傅氏變換等于其傅氏變換的虛部 再乘以j。證明：返回2.5第78頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二七、序列為實序列的情況返回2.5第79頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二返回2.5第80頁，共98頁，2022年，5月2

22、0日，5點27分，星期二返回2.5第81頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二8.實序列也有如下性質(zhì)：返回2.5本節(jié)結(jié)束第82頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2-6 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)一.系統(tǒng)函數(shù)二.因果穩(wěn)定系統(tǒng)三.系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系四.系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義 五.頻率響應(yīng)的幾何確定六.IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)返回2第83頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二線性移不變系統(tǒng) h(n)為單位抽樣響應(yīng)h(n)x(n) (n) H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。一.系統(tǒng)函數(shù):返回

23、2.6第84頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 我們知道,一線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是h(n)必須滿足絕對可和：|h(n)|。 z變換H(z)的收斂域由滿足|h(n)z-n|的那些z值確定。如單位圓上收斂，此時則有|h(n)| ，即系統(tǒng)穩(wěn)定；也就是說，收斂域包括單位圓的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 因果系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為因果序列， 其收斂域為R+|z|；而因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域為 1|z|，也就是說,其全部極點必須在單位圓內(nèi)。與充要條件|h(n)|是等價的二.因果穩(wěn)定系統(tǒng)返回2.6第85頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二三.系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系線性

24、移不變系統(tǒng)常用差分方程表示：取z變換得：對上式因式分解,令得：返回2.6第86頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二四.系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 的意義 考察系統(tǒng)對不同頻譜成分的傳輸能力：均勻傳送或衰減 系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)的傅氏變換也即單位上的變換稱作系統(tǒng)頻率響應(yīng)。 也就是說，其輸出序列的傅氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。對于線性移不變系統(tǒng)：返回2.6第87頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二 五.頻率響應(yīng)的幾何確定1.頻率響應(yīng)的零極點表達(dá)式返回2.6第88頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二模：相角：返回2.6第89頁，共98頁，2022年，5月20日，5點27分，星期二2.幾點說明 (1). 表示原點處零極點，它到單位圓 的距離恒為1，故對幅度響應(yīng)不起作用只 是給出線性相移分量(N-M)。 (2).單位圓附近的零點對幅度響應(yīng)的谷點的 位置與深度有明顯影響，當(dāng)零點位于單 位圓上時，谷點為零。零點可在單位圓外。 (3).單位圓附近的極點對幅度響應(yīng)的峰點位 置和高度有明顯影響