5-3空間中平面及直線的方程

1、5-3 空間中平面與直線的方程 如果一非零向量垂直于一平面, 這向量就叫做該平面的法向量. 法向量 平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直. 當(dāng)平面上一點(diǎn)M0(x0, y0, z0)和它的一個(gè)法線向量n=(A, B, C)為已知時(shí), 平面的位置就完全確定了. 唯一確定平面的條件 1. 平面的方程 設(shè)M(x, y, z)是平面上的任一點(diǎn), 則有 因?yàn)?n=(A, B, C), 平面的點(diǎn)法式方程 平面的一般式方程 已知M0(x0, y0, z0)為平面 上一點(diǎn), n=(A, B, C)為平面的一個(gè)法(線)向量. 所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 這就是平面 的方程, 稱

2、為點(diǎn)法式方程. 點(diǎn)P0(x0, y0, z0)到平面Ax+By+Cz+D=0距離:平面的一般方程 由于平面的點(diǎn)法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一點(diǎn)及它的法線向量來確定, 所以任一平面都可以用三元一次方程來表示 . 反過來, 可以證明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個(gè)平面. 方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程, 其法線向量為n=(A, B, C). 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一個(gè)平面, n=(3,-4, 1)是這平面的一個(gè)法線向量. 平面的三點(diǎn)式方程已知不在同一直線上的三點(diǎn)與 不共線, 即以 作為所求平面的法向量.設(shè) 是

3、平面上任一點(diǎn), 顯然 垂直于此混合積的坐標(biāo)形式為:兩平面的夾角 設(shè)平面1和2的法線向量分別為 n1=(A1, B1, C1), n2=(A2, B2, C2), 那么平面1和2的夾角 應(yīng)滿足 兩平面的法向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角. 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要條件是 A1A2+B1B2+C1C2=0. 兩平面垂直的條件 兩平面平行的條件 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要條件是 A1: A2=B1: B2=C1: C2. 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+

4、C2z+D2=0夾角的余弦:分析： 點(diǎn)M在直線L上點(diǎn)M同時(shí)在這兩個(gè)平面上, 點(diǎn)M的坐標(biāo)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程. 2. 直線方程 空間直線可以看作是兩個(gè)平面的交線. 設(shè)直線L是平面1和2的交線, 平面的方程分別為 A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 這就是空間直線的一般方程. 來表示. 那么直線L可以用方程組 如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線, 這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量. 方向向量 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 當(dāng)直線L上一點(diǎn)M0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s=(m, n, p)為已知時(shí), 直線L的位置就完全確定了. 確定直線

5、的條件 若已知一條直線的一般方程則此直線的方向向量 為 求通過點(diǎn)M0(x0, y0, x0), 方向向量為s=(m, n, p)的直線的方程. (x-x0, y-y0, z-z0)/s , 從而有這就是直線的方程, 叫做直線的對(duì)稱式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程. 直線的任一方向向量s的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組方向數(shù). 向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦. 則從M0到M的向量平行于方向向量: 設(shè)M(x, y, z)為直線上的任一點(diǎn),通過點(diǎn)M0(x0, y0, x0), 方向向量為s=(m, n, p)的直線方程:此方程組就是直線的參數(shù)方程. 兩直線的夾角 兩直線的方向向量的夾角(通常指銳角)叫做兩直線

6、的夾角. 設(shè)直線L1和L2的方向向量分別為 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夾角j滿足兩直線垂直與平行的條件 設(shè)有兩直線 L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0; 則方向向量分別為(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直線的夾角余弦:提示：直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時(shí), 直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角, 當(dāng)直線與平面垂直時(shí), 規(guī)定直線與平面的夾角為90. 設(shè)直線的方向向量為s=(m, n, p), 平面的法線向量為n=(A, B, C), 則直線與平面的夾角j 滿足 方向向量為(m, n, p

7、)的直線與法線向量為(A, B, C)的平面的夾角j 滿足 直線與平面垂直和平行的條件 設(shè)直線L的方向向量為s=(m, n, p), 平面P 的法線向量為n=(A, B, C), 則 L/P Am+Bn+Cp=0. 分析： 因?yàn)锳1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例, 所以對(duì)于任何一個(gè)l值, 上述方程的系數(shù)不全為零, 從而它表示一個(gè)平面. 分析： 對(duì)于不同的l值, 所對(duì)應(yīng)的平面也不同, 而且這些平面都通過直線L, 即這個(gè)方程表示通過直線L的一族平面. 分析： 另一方面, 任何通過直線L的平面也一定包含在上述通過L的平面族中. 平面束 考慮三元一次方程: A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l(wèi)為任意常數(shù).其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例. 設(shè)直線L的一般方程為 上述方程表示通過定直線L的所有平面的全體, 稱為平面束. 平面束 考慮三元一次方程: A1x+B1