2021-2022學(xué)年高二物理競賽課件：分布函數(shù)和玻耳茲曼方程

1、分布函數(shù)和玻耳茲曼方程分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 用同樣的理解方法，可以知道，相空間中由于碰撞單位時間離開 處單位體積的電子數(shù)為： (5-12)由于 為單位時間內(nèi)由于碰撞而引起的 點的分布函數(shù)的變化，因此有： (5-13)分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 結(jié)合（5-8）、（5-10）、（5-13）式，可以得到定態(tài)條件下的玻耳茲曼方程為： (5-14)分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 馳豫時間近似(5-14)式表示的玻耳茲曼方程方程是一個微分積分方程，為了求解方便，一般都要作一些簡化，其中最主要的方法就是馳豫時間近似。 假設(shè)碰撞項可以寫成下面的形式： (5-15)其中f0指的是平衡時的分布函數(shù)（即費(fèi)米函數(shù)）。 是引入的

2、一個參數(shù)，稱為馳豫時間，它是波矢 的函數(shù)。它表示系統(tǒng)依賴碰撞機(jī)制使分布從非平衡分布f恢復(fù)到平衡分布狀態(tài)f0時所用的時間。分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 引入馳豫時間后，玻耳茲曼方程就簡化為： (5-16)根據(jù)能帶理論的基本關(guān)系式： (5-17)以及： （其中 ） （5-18）和： （5-19）分布函數(shù)和玻耳茲曼方程 將（5-17），（5-18），（5-19）式代入（5-16）式，則玻耳茲曼方程可以寫為： (5-20）當(dāng)晶體中的溫度梯度為零，而且晶體只受外電場力作用時，玻耳茲曼方程可以簡化為： （5-21）此式可以用于討論金屬的電導(dǎo)率的問題 。 在討論金屬的熱導(dǎo)率問題時（5-20）式等號左邊的第一項就很

3、重要了。在恒溫以及恒定外電場的條件下，金屬晶體中能夠形成穩(wěn)定的電流密度 。這時玻耳茲曼方程可以寫成（5-21）的形式，經(jīng)簡單的變化可寫為： (5-22)這個方程的解就是電場存在時定態(tài)的分布函數(shù)f，顯然f將是電場 的函數(shù)，因此可以把f按 的冪級數(shù)展開為： (5-23)式中,f0為 時的f值，因此就相當(dāng)于平衡情況下的費(fèi)米函數(shù)；f1，f2，分別代表包含 的一次冪、二次冪、項。 將（5-23）式代入（5-22）式得： 由于等式兩邊的 同次冪的項應(yīng)該相等，因此得到下面的一系列等式： (5-25)(5-24)由于f0只是電子的能量 的函數(shù)，因此（5-25）式中的 一次冪方程可以寫成： (5-26)通過物理

4、實驗我們知道，在一般的電導(dǎo)問題中，電流與電場成正比，服從歐姆定律，這種情況相當(dāng)于弱場的情況，也就是說，電流與電場成正比的關(guān)系是一種弱場的近似，此時分布函數(shù)只需要考慮到 的一次冪，即: 由（5-6）式可知，電流密度可以直接由分布函數(shù)得到，即： (5-27)在（5-27）式中，第一項相當(dāng)于平衡分布時的電流密度，因此等于零，將（5-26）式代入（5-27）式中得： (5-28) （5-28）式即為歐姆定律的一般公式?？梢娺@是一個向量關(guān)系式。如果把該關(guān)系式用分量表示則有： （5-29） 如果把（5-29）的向量關(guān)系式展開則可以表示為： (5-30)其中： （5-31）是電導(dǎo)率二階張量的分量。為了使問題簡化，下面討論各向