高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（精練）(含答案)

1、3.2.2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(精練)【題組一 雙曲線的離心率或漸近線】1(2021全國(guó)高二單元測(cè)試)已知雙曲線的離心率是，則( )ABCD【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線的離心率是，所以，解得(舍去).故選：D.2(多選)(2021河北張家口)已知雙曲線C：，下列對(duì)雙曲線C判斷正確的是()A實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍B焦距為4C離心率為D漸近線方程為【答案】BD【解析】雙曲線C：.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是，虛軸長(zhǎng)是，A錯(cuò)誤；焦距為.B正確；離心率為，C錯(cuò)誤：漸近線方程為，D正確.故選：BD3(多選)(2021重慶市合川實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試)下列雙曲線中，漸近線方程為的是( )ABCD【答案】AC【解析】對(duì)A

2、，令，故A正確；對(duì)B，令，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，令，故C正確；對(duì)D，令，故D錯(cuò)誤；故選：AC4(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))(多選)已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則下列結(jié)論正確的是( )A若，則雙曲線離心率的取值范圍為B若，則雙曲線離心率的取值范圍為C若，則雙曲線離心率的取值范圍為D若，則雙曲線離心率的取值范圍為【答案】BC【解析】由題意，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，若，可得，根據(jù)雙曲線的定義可得，則，解得；若，可得，根據(jù)雙曲線的定義可得，則，解得故選：BC5(多選)(2021河北滄州市一中)若三個(gè)數(shù)1，9成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率可以是( )ABCD【答案】A

3、D【解析】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)1，9成等比數(shù)列，所以，解得，當(dāng)時(shí)，曲線的離心率為：，當(dāng)時(shí)，曲線的離心率為：故選：AD6(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過(guò)，兩點(diǎn)已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為( )A2BCD【答案】A【解析】因?yàn)橹本€過(guò)，兩點(diǎn)所以直線的方程為，即，所以原點(diǎn)到的距離又，所以，即，故，解得或當(dāng)時(shí)，與矛盾，所以故選：A7(2021全國(guó)高二單元測(cè)試)若雙曲線的離心率，則( )A3B12C18D27【答案】D【解析】 由已知雙曲線得，所以，解得，故選：D8(2021全國(guó)高二單元測(cè)試)已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若是

4、銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )ABCD【答案】B【解析】若是銳角三角形，則只需在中，則，又，又，故選：B9(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知，是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)A，連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為( )ABCD【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A，連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，則，所以因?yàn)辄c(diǎn)A，在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以故選：D.10(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線的方程為，則它的離心率為( )ABCD2【答案】A【解析】因?yàn)橐粭l漸近線的斜率為，即，所以故選：A1

5、1(2021全國(guó))已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且滿足，則雙曲線的離心率的取值范圍為( )ABCD【答案】A【解析】由得，根據(jù)三角形的性質(zhì)可知，為直角三角形，且，由雙曲線的定義可得，又，可得所以可化為，即，而，解得，又，故選：A12(2021浙江省淳安縣汾口中學(xué))已知分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)且滿足，則此雙曲線離心率的取值范圍( )ABCD【答案】C【解析】設(shè)，即，可得，即，即，又即，又，即，所以，即，即，可得，即，故選：13(2021浙江省淳安縣汾口中學(xué))已知點(diǎn)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則該雙

6、曲線的離心率是( )AB或C2D3【答案】A【解析】根據(jù)題意可設(shè)，將代入，解得，則，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，即，又，所以，即，則，解得或，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以雙曲線的離心率.故選：A.【題組二 直線與雙曲線的位置關(guān)系】1(2021全國(guó))若直線ykx與雙曲線4x2y216相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )A(2，2)B2，2)C(2，2D2，2【答案】A【解析】因?yàn)橹本€ykx與雙曲線4x2y216相交，則，將ykx代入4x2y216得關(guān)于x的一元二次方程(4k2)x2160，由，解得2k2.故選：A.2(2021上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期中)若曲線與曲線恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍

7、是( )ABCD【答案】C【解析】如圖示：表示起點(diǎn)為的兩條斜率分別為1和-1的射線.當(dāng)曲線為橢圓時(shí)，即，只需點(diǎn)落在橢圓內(nèi)，即，解得：；當(dāng)曲線為雙曲線時(shí)，即，漸近線方程：要使曲線與曲線恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只需，解得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C3(2021安徽高二期末(理)直線l過(guò)點(diǎn)(2，1)，且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的不同直線的條數(shù)為( )A1B2C3D4【答案】B【解析】直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：，由得，時(shí)，不成立，方程組無(wú)解，時(shí)，解得，方程組有唯一解，即直線l與雙曲線有唯一公共點(diǎn)，時(shí)，即直線l的斜率存在時(shí)，符合條件的直線只有一條，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=2

8、，代入雙曲線方程得y=0，即直線l與雙曲線也有唯一公共點(diǎn)，所以符合條件的直線有2條.故選：B【題組三 弦長(zhǎng)】1(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))求雙曲線被直線截得的弦長(zhǎng)_【解析】聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)，則，由弦長(zhǎng)公式可得.故答案為：.2(2021廣西高二期末(理)過(guò)雙曲線：的右焦點(diǎn)作圓：的切線，此切線與的右支交于，兩點(diǎn)，則_.【答案】【解析】因?yàn)橹本€過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且與圓相切，所以直線的斜率存在，設(shè)直線方程為()，由直線與圓相切知，解得或，當(dāng)時(shí)，雙曲線的一條漸近線的斜率是，該直線不與雙曲線右支相交于兩點(diǎn)，故舍去；所以直線方程為，聯(lián)立雙曲線方程，消元得.設(shè)，則，所以.故答案為：

9、3(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F1，作傾斜角為的直線l與雙曲線的交點(diǎn)為A、B，則|AB|_.【答案】3【解析】雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(2，0)、F2(2，0)，直線AB的方程為y (x2)把該直線方程代入雙曲線方程得，8x24x130設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x2，x1x2|AB|3故答案為：34(2021雞東縣第二中學(xué)高二期末(文)已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為(1)求的方程；(2)過(guò)曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求【答案】(1)；(2)【解析】(1)因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，所以，所以，所以的方程為：；(2)不

10、妨設(shè)焦點(diǎn)，則直線：由消去得：設(shè)，則，所以【題組四 點(diǎn)差法】1(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))設(shè)雙曲線上有兩點(diǎn)，中點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi)【答案】【解析】設(shè)，則，則 ，兩式相減得，所以直線的方程為即，代入滿足，所以直線的方程為.故答案為：.2(2021福建省南安市僑光中學(xué)高二月考)已知雙曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且的中點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)【答案】0或【解析】設(shè)，的中點(diǎn)為，則，由點(diǎn)差法可得，即，顯然，又因?yàn)椋肟傻?；由兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，可得，所以，又因?yàn)?，所以，代入拋物線方程得，解得或故答案為：0或3(2021吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與雙曲線交兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐

11、標(biāo)為，則雙曲線方程是_.【答案】【解析】設(shè)，則，兩式相減可得：，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以雙曲線方程是，故答案為：.4(2021福建龍巖高二期末)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi).【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，兩式相減可得：，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以直線的方程為，即為故答案為：5(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))雙曲線的右焦點(diǎn)分別為F，圓M的方程為.若直線l與圓M相切于點(diǎn)，與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P恰好為AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的方程為_(kāi).【答案】【解析】設(shè)直線l的斜率為k，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，即

12、，設(shè)點(diǎn)，則，.兩式相減，得則，即，所以雙曲線C的方程為.故答案為：6(2021全國(guó)高二單元測(cè)試)過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線方程為則設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)則則,兩式相減并化簡(jiǎn)可得 即直線的斜率為2所以直線的方程為 ,化簡(jiǎn)可得因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)所以解得且所以的取值范圍為故答案為: 【題組五 最值問(wèn)題】1(2021遼寧撫順)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn).若的焦距為4，則面積的最大值為_(kāi).【答案】2【解析】不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，聯(lián)立方程組，解得故，同理可得，所以.因?yàn)榈慕咕酁?，所以

13、，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為2.故答案為：2.2(2021陜西高二期末(文)若雙曲線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)【答案】【解析】雙曲線焦點(diǎn)在軸上，所以，可得長(zhǎng)半軸長(zhǎng) ，由可知圓心為，半徑為1，若雙曲線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則，即，所以或，所以實(shí)數(shù)k的取值范為，故答案為：3(2021上海高二專題練習(xí))已知點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則的取值范圍是_.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn),所以，因?yàn)槭请p曲線上的點(diǎn)，故，所以，故的取值范圍是.故答案為：4(2021上海高二專題練習(xí))已知A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的雙曲線上，記PA、PB、PO的斜率分別為、，則的取值范圍為_(kāi).【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)由題可知：所以又，所以所以，由雙曲線的漸近線方程為且在第一象限所以，所以故答案為：5(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知曲線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，則面積的最大值為_(kāi)【答案】【解析】曲線C是由、以及三部分構(gòu)成(如圖所示)，且過(guò)AB的直線方程為，并且直線為雙曲線和的漸近線，設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與直線平行的直線方程為，由圖知，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線距離最大，聯(lián)立消去得，解得(正根舍)，所以，所以點(diǎn)到直線的最大距離即為直線與直線