2022 全國乙卷（含答案）（參考版）數(shù)學(xué)

1、2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 全國乙卷文科數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合，則( )A.B.C.D.2.設(shè)，其中a，b為實數(shù)，則( )A.，B.，C.，D.，3.已知向量，則( )A.2B.3C.4D.54.分別統(tǒng)

2、計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯誤的是( )A.甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4B.乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8C.甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4D.乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.65.若x，y滿足約束條件則的最大值是( )A.-2B.4C.8D.126.設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則( )A.2B.C.3D.7.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的( )A.3B.4C.5D.68.下圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是( )A.B.C.D.9.

3、在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則( )A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面10.已知等比數(shù)列的前3項和為168，則( )A.14B.12C.6D.311.函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為( )A.，B.，C.，D.，12.已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為( )A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記為等差數(shù)列的前n項和.若，則公差_.14.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_.15.過四點，中的三點的一個圓的方程為_.16.若是奇函數(shù)

4、，則_，_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求C；（2）證明：.18. （12分）如圖，四面體ABCD中，E為AC的中點.（1）證明：平面平面ACD；（2）設(shè)，點F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積.19. （12分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：）

5、，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得，.（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.附：相關(guān)系數(shù)，.20.

6、 （12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的最大值；（2）若恰有一個零點，求a的取值范圍.21. （12分）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過，兩點.（1）求E的方程；（2）設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足，證明：直線HN過定點.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑。按所涂題號進行評分，不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分。22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半

7、軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出l的直角坐標(biāo)方程；（2）若l與C有公共點，求m的取值范圍.23.選修4-5：不等式選講（10分）已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：（1）；（2）.參考答案1.答案：A2.答案：A3.答案：D4.答案：C5.答案：C6.答案：B解析：易知拋物線的焦點為，于是有，故，注意到拋物線通徑，通徑為拋物線最短的焦點弦，分析知AF必為半焦點弦，于是有軸，于是有.7.答案：B解析：第一次循環(huán)：，第二次循環(huán)：，第三次循環(huán)：，故輸出，故選B.8.答案：A9.答案：A解析：對于A選項：在正方體中，因為EF分別為AB，BC的中點，易知，從而平面，又因為平面，所

8、以平面平面，所以A選項正確；對于B選項：因為平面平面，由上述過程易知平面平面不成立；對于C選項：由題意知直線與直線必相交，故平面平面有公共點，從而C選項錯誤；對于D選項：連接AC，易知平面平面，又因為平面與平面有公共點，故平面與平面不平行，所以D選項錯誤.10.答案：D解析：設(shè)等比數(shù)列首項，公比q.由題意，即，即解得，所以.故選D.11.答案：D12.答案：C解析：考慮與四棱錐的底面形狀尤關(guān)，不是一般性，假設(shè)底面是邊長為a的正方形，底面所在圓面的半徑為r，則所以該四棱錐的高，所以體積當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立所以該四棱錐的高故選C13.答案：214.答案：解析：設(shè)“甲、乙都入選”為事件A，則.1

9、5.答案：或或或解析：設(shè)點，圓過其中三點共有四種情況，解決辦法是兩條中垂線的交點為圓心，圓心到任一點的離為半徑.（1）若圓過A、B、C三點，則圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為（2）若圓過A、B、D三點，同（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為（3）若圓過A、C、D三點，則線段AC的中垂線方程為，線段AD的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為（4）若圓過B、C、D三點，則線段BD的中垂線方程為，線段BC中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為16.答案：；17.答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）由，可得，而，所以，即有，而，顯然，所以，而，所以.（2）由可得，再由正弦定理可得，然后

10、根據(jù)余弦定理可知，化簡得：，故原等式成立.18.答案：（1）證明詳見解析（2）解析：（1）由于，E是AC的中點，所以.由于，所以，所以，故，由于，DE，平面BED，所以平面BED，由于平面ACD，所以平面平面ACD.（2）依題意，三角形ABC是等邊三角形，所以，由于，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，AC，平面ABC，所以平面ABC.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)EF最短時，三角形AFC的面積最小值.過E作，垂足為F，在中，解得，所以，所以.過F作，垂足為H，則，所以平面ABC，且，所以，所以.19.答案：（1）0.06，0.39（2）0.97（3）120

11、9解析：（1）設(shè)這種樹木平均一課的根部橫截面積為，平均一個的材積量為，則，.（2）（3）設(shè)從根部面積總和為X，總材積量為Y，則，故.20.答案：（1）-1（2）解析：（1）當(dāng)時，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；所以.（2），則，當(dāng)時，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當(dāng)時，在，上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；又，當(dāng)x趨近正無窮大時，趨近于正無窮大，所以僅在有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，在，上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；此時，又，當(dāng)n趨近正無窮大時，趨近負(fù)無窮，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.21.答案：（1）；（2）直線HN過定點解析：（1）設(shè)E的方程為，將，兩點代入得，解得，故E的方程為.（2）由，可得直線AB：若過的直線的斜率不存在，直線為.代入，可得，將代入AB：，可得，由得.易求得此時直線HN：.過點.若過的直線的斜率存在，設(shè)，.聯(lián)立，得故有，且（*）聯(lián)立，可得，可求得此