巧解圓中最值問題

1、巧解圓中最值問題巧解圓中的最值問題求最值是常見的數(shù)學(xué)問題，幾何最值又是各地中考中的熱門話題.隨著直線型問題逐漸被我們熟悉，圓中的最值問題也走進(jìn)了我們的視野基本模型如圖1、2,平面內(nèi)有一定點(diǎn) A和一動點(diǎn)P,點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是圓 O,連結(jié)AO并延長, 分別交圓于 B、C兩點(diǎn)，則 AB為AP的最小值， AC為AP的最大值，即最小值為 AO 半徑| ,最大值為AO+半徑.類型1定點(diǎn)定長定圓例1如圖3,在 ABC中， ACB 90 , ABC 30 ,將 ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到 MNC , P、Q分別是AC、MN的中點(diǎn)，AC 2 ,連結(jié)PQ ,則旋轉(zhuǎn)時(shí)PQ 長度的最大值是().(A) 2 6(B)

2、2.3(C)6(D)3分析連結(jié)CQ，點(diǎn)P是定點(diǎn)，點(diǎn)Q是動點(diǎn)，欲求PQ長度的最大值，就得知道 Q的運(yùn)動軌跡.在這里，可以利用點(diǎn) Q是Rt MNC斜邊的中點(diǎn)，得出 CQ是定值，到定點(diǎn)的距離于定值，由圓的定義可以聯(lián)想到運(yùn)動軌跡是圓.再結(jié)合基本模型，可以得出 PQ長度的最大值為PC CQ 3,所以選D.巧解圓中最值問題例2 (2015 年寧波考綱)如圖4,二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0)的圖象交x軸于點(diǎn)A( 1,0), B(4,0),交y軸于點(diǎn)C(0,2)，過B , C畫直線，并連結(jié) AC .求二次函數(shù)的解析式和直線BC的解析式.點(diǎn)F是線段BC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F作 ABC內(nèi)接正方形 DEFG ,使

3、得邊DE落在x軸上，點(diǎn)G在AG上，GF交y軸于點(diǎn)M .求該正方形的邊長；將線段EF延長，交拋物線于點(diǎn) H ,那么點(diǎn)F是EH的中點(diǎn)嗎？請說明理由.P始終為CF的中在(2)的條件下，將線段 BF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn) 點(diǎn)，請直接寫出線段 OP的最大值.分析(1)二次函數(shù)解析式為一一_ ,，1直線解析式為y -x 22_ 10 _(2)一，不是;7(3)本題中，。是定點(diǎn)，P是動點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)K ,連結(jié)BF,PK ,由題意，得15 -PK BF、5, K(2,1)27所以P的運(yùn)動軌跡是一個(gè)以 K為圓心,5/5為半徑的圓，所以7OP的最大值為巧解圓中最值問題OK 5 5 12 ：5 77類型2

4、定線定角定圓例3 （2016年寧波考綱）如圖5,在等腰Rt ABC中，AB BC 2,點(diǎn)P為等腰Rt ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 PA PB,則PC的取值范圍為分析 根據(jù)條件可知線段 AB是定值，且 AB所對的張角 APB是定值，根據(jù)同弧所 對的圓周角相等可知，動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡在過點(diǎn) A B、P三點(diǎn)的圓周上（不與A、B重合）.又因?yàn)?APB 90 ,所以AB恰好是直徑。連結(jié)CO并延長交圓O分別為R、P2，故CPi最小，CP2最大，所以PC的取值范圍為5 1 PC 5 1例4 （2013年武漢中考題）如圖6, E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動點(diǎn)，滿足AE DF ,連結(jié)CF交BD于點(diǎn)G ,

5、連結(jié)BE交AG于點(diǎn)H。若正方形的邊長為 2,則 線段DH長度的最小值是 。分析在確定動點(diǎn) H的軌跡時(shí)，需要我們先去證明 AHB 90。因?yàn)锳E DF ,易 證 ABE DCF ,得到 DCF ABE ,由正方形對稱性可知 DAG DCG ,得 到 DCF DAG ,所以 AHB 90 .巧解圓中最值問題再考慮到E、F是邊AD上兩個(gè)動點(diǎn)，所以動點(diǎn)H的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，1 AB21 一為半徑的圓，連接OD ,故可求得DH長度的最小值是 J5 1 .4例5 （2016年寧波考綱）如圖7, O O半徑為3 , Rt ABC的頂點(diǎn)A, B在。O上,3OC的最小值為（）B 90 ,點(diǎn)G在。內(nèi)，且ta

6、n A ,當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動時(shí),4(A), 2(B)(C)(D)分析 O 是定點(diǎn), C是動點(diǎn)，確定點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是本題的難點(diǎn).延長AC交圓于點(diǎn)E,連結(jié)EO并延長，交圓于點(diǎn)F ,連結(jié)FB .一. 一 3因?yàn)閠an A -,所以4ACB為定值,即 BCE為定值.因?yàn)椤半徑為3,F A,所以18EB 一，符合定線定角定圓這種類型，故點(diǎn) C5的運(yùn)動軌跡是過 B, C, E三點(diǎn)的圓弧且在。O內(nèi)部.不妨設(shè)圓心為 01 ,連結(jié)O1E , O1O因?yàn)?BCE D 180 ,O1D所以 BCEO1 180易得 OkACB FEB所以EOQ為直角三角形，巧解圓中最值問題4 且 tanO13因?yàn)镺E 3 TOC o

7、 1-5 h z 915所以 O1EO1O 一 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 443所以最小值為QO OiE |例6 （2016年寧波考綱）邊長為3的等邊 ABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上移動，頂點(diǎn)B在射線OD上移動，AOD 30 ,則頂點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為分析 此題定點(diǎn)是點(diǎn) O,動點(diǎn)是點(diǎn)C,盡管AB 3是確定的，但由于點(diǎn) A, B都是在 動的，故確定點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡時(shí)難度仍較大.不妨換個(gè)角度來看問題，正難則反，把正ABC看成是不動的，此時(shí)平面直角坐標(biāo)系在動，原點(diǎn)O在運(yùn)動時(shí)滿足 AOB 30 ,而 AOD所對的邊AB是不變的，符合定線定 角定圓這種類型，所以點(diǎn) O的運(yùn)動軌跡是過點(diǎn) A B, O三點(diǎn)的圓?。▋?yōu)弧BA上），取圓心 E ,連結(jié) EA, EB因?yàn)?AOB 30 ,所以 AEB 60 ,即ABE是邊長為2的正三角形，CE 2J3.連結(jié)CE并延長，交圓于點(diǎn) O,此時(shí)CO最大，最大值為CE 半徑 2m2從上面的幾個(gè)例