基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)文件匯編

1、 基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料概論統(tǒng)計(jì)學(xué)中的常用差不多概念總體X 有X1,X2,X3,XN個(gè)單元 隨機(jī)抽取n個(gè)組成樣本單元：x1,x2,x3,xn則： N總體容量 n樣本容量 統(tǒng)計(jì)資料整理一、數(shù)據(jù)的分組、整理寫出最大值Xmax、最小值Xmin求出極差d = Xmax Xmin分組，算出組距、組中值據(jù)樣本的單元數(shù)，求出分組數(shù)的經(jīng)驗(yàn)值為：樣本單元數(shù)40-5050-100100-200200-500500分組數(shù)6-87-109-1212-1717-20上限：每一組數(shù)據(jù)中最大的變量值下限：每一組數(shù)據(jù)中最小的變量值組距 = 極差分組數(shù) = 上限 下限組中值 = （ 上限 + 下限 ） 2計(jì)算頻數(shù)和頻率頻數(shù) = 各組

2、分配的統(tǒng)計(jì)單元數(shù)頻率 = 各組單元數(shù)占總體單元數(shù)的比重 = 頻數(shù) 各單元數(shù)之和（n）作頻率分布圖例題例：設(shè)以不重復(fù)抽樣方式從1600塊面積為0.4公頃的林地所組成的總體中等概地抽取50塊林地組成樣本，樣本各單元的蓄積量值為：1.5010.34.34.1711.18.5011.8.58.811.812.5312.32.78.73.5.17.4105.411.31.6010.75.4.77.64.97.611.24.2.5.32.9605.73.16.77.79.62.94.216.65.84.66.4試進(jìn)行數(shù)據(jù)整理解：1. Xmax = 16.6 Xmin = 0 2. 求出d = 16.6 0

3、 = 16.6 3. 分組，計(jì)算組距、組中值 分為10組，組距 = 16.6 10 = 1.66 1.7 4.計(jì)算頻數(shù) （ f i ）、頻率分組組中值劃正（上限排外）頻數(shù) f i頻率0 1.70.85正正一110.221.7 3.42.55正50.13.4 5.14.25正70.145.1 6.85.95正70.146.8 8.57.65正50.18.5 10.29.35正50.110.2 11.911.05正70.1411.9 13.612.7520.0413.6 15.314.450015.3 17.016.15一10.02合計(jì)5014. 作頻率分布圖靜態(tài)分析指標(biāo)一、平均指標(biāo)的計(jì)算算術(shù)平均

4、數(shù)X = ( x1 + x2 + x3 + +xn ) n = ( x i ) n加權(quán)平均數(shù)X = ( x1f1 + x2f2 +x3f3 + +xnfn ) n = ( x i fi ) ( fi ) 眾數(shù) = 總體中出現(xiàn)次數(shù)最多或最普遍的標(biāo)志值中位數(shù) Me當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)：中位數(shù) = ( Xn/2 + Xn/2+1 ) 2當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)： 中位數(shù) = X(n+1)/2二、標(biāo)志變異指標(biāo)的計(jì)算極差 d = Xmax Xmin總體方差 2 = （ Xi X ）2 n = （ Xi2 ） n X2樣本方差 S2 = （ Xi X ）2 ( n 1 )總體標(biāo)準(zhǔn)差= 2樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S = S2離散系數(shù)（

5、變異系數(shù)）V = X三、例題測量10株苗木高度（單位：cm），得下列數(shù)據(jù)：52.7，50，55.4，61.2，55.4，49.5，50，55.4，55.4，61.2求這10株苗木的算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。解：把數(shù)據(jù)整理為：數(shù)據(jù)52.75055.461.249.5出現(xiàn)次數(shù)（頻數(shù)）12421則：算術(shù)平均數(shù) = （ 52.7150255.4461.2249.51 ） 10 = 54.62 （cm）眾數(shù) = 55.4中位數(shù) = （ X5 X6 ）2 = ( 55.449.5 ) 2 = 52.45極差 = 61.2 49.5 = 11.7方差 = 16.1616標(biāo)準(zhǔn)差

6、= 4.0201變異系數(shù) = 4.0201 54.62 = 0.0736設(shè)有以下在胸徑標(biāo)志的樣本分組資料，試計(jì)算其平均胸徑、胸徑方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、中位數(shù)、變異系數(shù)。胸徑分組0-11-22-33-44-55-66-77-88-99-10株數(shù)311118231613852100組中值0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.5解：平均胸徑 = （ 0.531.512.5113.5184.5235.5166.5137.588.559.52 ） 100 = 4.91方差 = 3.7219 標(biāo)準(zhǔn)差 = 1.9292極差 = 9 中位數(shù) = 4.5 變異系數(shù) = 0.3929抽樣推斷抽樣

7、推斷包括了隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)可能和假設(shè)檢驗(yàn)三方面的內(nèi)容。一、有關(guān)概率論的知識(shí)事件隨機(jī)事件：在相同條件下每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)，可能不出現(xiàn)的事件。必定事件：每次試驗(yàn)中必定出現(xiàn)的事件。不可能事件：每次試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的事件。概率在大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在固定常數(shù)p附近擺動(dòng)，則稱p為事件A的概率，表示為P(A) = p 。不可能事件的概率為0，必定事件的概率為1。隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E ( X ) = 隨機(jī)變量以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均數(shù) = X隨機(jī)變量的方差D ( X ) =2正態(tài)分布（常態(tài)分布）隨機(jī)變量X在其平均值附近的概率分配較多，而遠(yuǎn)離平均值的概率分配專門少的最常見的

8、分布規(guī)律。記為：X N ( , 2 )，其概率密度分布為:f （X）= EXP ( X X )2 ( 22)(2)E ( X ) = , D ( X ) =2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)E ( X ) = 0 , D ( X ) =1時(shí)的正態(tài)分布，記為：N（0，1）二、常用統(tǒng)計(jì)量的無偏可能、漸近無偏可能無偏可能：樣本某統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于其可能的總體參數(shù)，則那個(gè)可能統(tǒng)計(jì)量就叫做該總體參數(shù)的無偏可能。樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無偏可能，即E（x）= X。樣本方差是總體方差的漸近無偏可能，即E（S2）= 2。三、可能值的誤差限和可靠性若統(tǒng)計(jì)量X為未知參數(shù)x的可能，則：絕對(duì)誤差 = | Xx |相對(duì)誤差= X可能精

9、度A = 1可靠性1，其中為危險(xiǎn)率四、求點(diǎn)可能（定值可能）與區(qū)間可能的步驟點(diǎn)可能：求出平均數(shù)X、標(biāo)準(zhǔn)差S 計(jì)算絕對(duì)誤差 下結(jié)論：以1的可靠性求出平均值為X，絕對(duì)誤差為區(qū)間可能：求出平均數(shù)X、標(biāo)準(zhǔn)差S 計(jì)算絕對(duì)誤差，置信區(qū)間X, X 下結(jié)論：以1的可靠性求出可能值為X，絕對(duì)誤差為，置信區(qū)間為X, X五、總體平均數(shù)的抽樣可能條件：正態(tài)：總體均服從（或近似服從）正態(tài)分布獨(dú)立：總體是相互獨(dú)立的等方差：各總體方差相等方法：重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣大樣本（n50或2已知）求平均數(shù)X、標(biāo)準(zhǔn)差S計(jì)算絕對(duì)誤差，置信區(qū)間 = uS(n-1)3. 結(jié)論：以1的可靠性求出可能值為X，絕對(duì)誤差為，置信區(qū)間為X, X1. 求平

10、均數(shù)X、標(biāo)準(zhǔn)差S2. 計(jì)算絕對(duì)誤差，置信區(qū)間 = uS(N n)/N(n-1)3. 結(jié)論：以1的可靠性求出可能值為X，絕對(duì)誤差為，置信區(qū)間為X, X小樣本（n50或未知1. 求平均數(shù)X、標(biāo)準(zhǔn)差S2. 計(jì)算絕對(duì)誤差，置信區(qū)間 = tS(n-1)3. 結(jié)論：以1的可靠性求出可能值為X，絕對(duì)誤差為，置信區(qū)間為X, X注：S 2 = 樣本方差 = （n-1）2n (重復(fù)抽樣情況下) = N (n-1) 2n (N-1) (不重復(fù)抽樣情況下)2 = 總體方差u = 查附表2：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率雙側(cè)臨界值表。如=0.05時(shí)，u0.5 = 1.96；=0.1時(shí)，u0.01 = 1.64t = 查附表3：t 分布臨

11、界值表。如=0.05，n = 5時(shí), t0.05（5-1）= t0.05（4）= 2.776例1：用重復(fù)抽樣方法測得30株馬尾松人工林的胸徑數(shù)據(jù)如下：13.611.210.28.59137.18.214.511.78.75.110.511.510.911.110.212.67.210.59.49.78.712.210.21210.810.39.512.5試以0.95的置信度求林分平均胸徑所在范圍解：1. 求平均數(shù)X、標(biāo)準(zhǔn)差SX = 10.35 S = 2.012. 查附表3得t0.05（30-1）= t0.05（29）= 2.045 3. 計(jì)算絕對(duì)誤差，置信區(qū)間 = tS(n-1) = 2.0

12、452.0129 = 0.76X = 9.59 X = 11.12 4. 下結(jié)論：以0.95的可靠性求出可能值為10.35，絕對(duì)誤差為0.76，置信區(qū)間為9.59，11.12六、總體頻率的抽樣可能重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣大樣本（n50）求頻率pp = 樣本具有某特點(diǎn)的單元數(shù)樣本總單元數(shù) = m n查附表2得u求絕對(duì)誤差限、置信區(qū)間 = up(1-p)n4. 下結(jié)論：以1的可靠性求出總體頻率的可能值為p，絕對(duì)誤差為，置信區(qū)間為p, p1. 求頻率pp = 具有某特點(diǎn)的單元數(shù)總單元數(shù) = m n2. 查附表2得u3. 求絕對(duì)誤差限、置信區(qū)間 = up(1-p)(N-n)n（N-1）4. 下結(jié)論：以1的可

13、靠性求出總體頻率的可能值為p，絕對(duì)誤差為，置信區(qū)間為p, p例：為可能某針闊混交林中針葉林地面積所占百分比，用重復(fù)抽樣方式抽取了100個(gè)點(diǎn)進(jìn)行觀看。觀看結(jié)果有68個(gè)點(diǎn)為針葉林。試以0.95的可靠性可能該混交林中針葉林面積所占百分比的置信區(qū)間解：1.求頻率pp = 68100 = 0.68 1p = 0.322.查附表2得u0.05 = 1.963. 求絕對(duì)誤差限、置信區(qū)間 = u0.050.680.32100 = 0.09 p= 0.59, p= 0.774. 下結(jié)論：以0.95的可靠性求出總體頻率的可能值為0.68，絕對(duì)誤差為0.09，置信區(qū)間為0.59，0.77第八章 顯著性檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)假設(shè)

14、檢驗(yàn)）總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣大樣本（n50或2已知）假設(shè)：H0：=0，即總體平均值無顯著差異H1：0，即總體平均值有顯著差異計(jì)算統(tǒng)計(jì)量U =（X ）n = （X ）(n-1)S3. 查附表2得u下結(jié)論：若|U| u 則拒絕H0，即總體平均值有顯著差異若|U|u 則同意H0，即總體平均值無顯著差異1. 假設(shè)：H0：=0，即總體平均值無顯著差異H1：0，總體平均值有顯著差異2. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量U =（X ）N(n-1) (N-n) = （X ）N(n-1)S（N-n）查附表2得u下結(jié)論：若|U| u 則拒絕H0，即總體平均值有顯著差異若|U|u 則同意H0，即總體平均值無顯著差異小樣

15、本（n50假設(shè)：H0：=0，即總體平均值無顯著差異H1：0，即總體平均值有顯著差異計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T = （X ）(n-1)S查附表3得t(n-1)下結(jié)論：若|T| t(n-1) 則拒絕H0，即總體平均值有顯著差異若|T| t(n-1) 則同意H0，即總體平均值無顯著差異注：X = 計(jì)算出來的樣本平均數(shù) = 題目給出的總體平均數(shù) = 題目給出的總體標(biāo)準(zhǔn)差 S = 計(jì)算出來的樣本標(biāo)準(zhǔn)差總體成數(shù)（頻率）的顯著性檢驗(yàn)大樣本：n50或2已知1. 假設(shè)：H0：p = p0，即總體頻率無顯著差異 H1：總體頻率有顯著差異2. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量U = ( p p0 ) n p0 (1- p0 ) = (m np0) n

16、p0 (1- p0)其中：m = 具有某特點(diǎn)的樣本個(gè)數(shù) n = 樣本總?cè)萘?p0 = 題目給出的總體成數(shù)（頻率） p = mn查附表2得u下結(jié)論：若|U| u 則總體頻率有顯著差異 若|U|u 則總體頻率無顯著差異兩總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)1. 假設(shè)：H0：1 = 2，即兩總體平均數(shù)無顯著差異 H1：兩總體平均數(shù)有顯著差異2. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量大樣本： U = ( X1 X2 ) （1/n11/n2）= ( X1 X2 ) (n1n22) (n1S12n2S22)（1/n11/n2）小樣本： T = ( X1 X2 ) (n1n22) (n1S12n2S22)（1/n11/n2）其中：X1、X2分不為

17、兩個(gè)樣本的平均數(shù) n1、n2 分不是兩個(gè)樣本的容量S1、S2分不是兩個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差3. 查附表2或3得u或t(n1n22)4. 下結(jié)論：大樣本： 若|U| u 則兩總體平均數(shù)有顯著差異 若|U|u 則兩總體平均數(shù)無顯著差異小樣本： 若|T| t(n1n22) 則兩總體平均值有顯著差異若|T| t(n1n22) 則兩總體平均值無顯著差異兩總體頻率（成數(shù)）的顯著性檢驗(yàn)1. 假設(shè)：H0：p1 = p2，即兩總體頻率無顯著差異 H1：兩總體頻率有顯著差異2. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量U = ( p1 p2) P (1-P )(1/n11/n2) 其中：p1、p2分不為兩樣本的頻率 n1、n2分不為兩樣本的容量m1、

18、m2分不為兩樣本具有某種特性的個(gè)數(shù)p1 = m1n1 p2 = m2n2 P = （m1m2） (n1n2)3. 查附表2得u4. 下結(jié)論：若|U| u 則兩總體頻率有顯著差異 若|U|u 則兩總體頻率無顯著差異兩個(gè)總體方差的顯著性檢驗(yàn)1. 假設(shè)：H0：兩個(gè)總體方差無顯著差異 H1：兩個(gè)總體方差有顯著差異2. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F = n1S12(n21)n2S22(n11)其中：n1、n2分不是抽自兩個(gè)正態(tài)總體的樣本容量 S12、S22分不是兩個(gè)樣本的方差，且S12S223. 查附表5 (F分布臨界值表)得F (n11, n21)4. 下結(jié)論：若F F (n11, n21) 則兩個(gè)總體的方差有顯著差

19、異若F F (n11, n21) 則兩個(gè)總體的方差無顯著差異例題：例1：已知某煉鐵廠的鐵水含量在正常情況下有正態(tài)分布N (4.55,0.1082)?，F(xiàn)在測了五爐鐵水，其含碳量分不為：4.28，4.4，4.42，4.35，4.37。問：若標(biāo)準(zhǔn)差不改變，總體平均值有無變化？ （=0.05）解：1.假設(shè)： H0：總體平均值無顯著差異 H1：總體平均值有顯著差異2.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量X = 4.364 = 4.55 2 = 0.1082U = (4.3644.55)50.108 = -3.85103.查附表2得u0.05 = 1.964.下結(jié)論：由于|U| 1.96 ，因此總體平均值有顯著差異。例2：某廠生產(chǎn)

20、樂器用合金弦線，其抗拉強(qiáng)度服從均值為10560（公斤/厘米2）的正態(tài)分布。現(xiàn)從一批產(chǎn)品中抽取10根，測得其抗拉強(qiáng)度為：10512，10623，10668，10554，10776，10707，10557，10581，10666，10670。問：這批產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度有無顯著變化？（=0.05）解：1.假設(shè)：H0：總體平均值無顯著差異 H1：總體平均值有顯著差異2.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量X =10631.4公斤/厘米2 = 10560公斤/厘米2 S = 76.8404公斤/厘米2T = （10631.410560）（101）76.8404 = 2.78763. 查附表3得t0.05（101）= 2.2624.下

21、結(jié)論：由于|T| 2.262 ，因此總體平均值有顯著差異，即這批產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度有顯著變化。例3：林場與4個(gè)治理區(qū)訂合同，造林成活率達(dá)到85%時(shí)認(rèn)為達(dá)到要求，然后把4個(gè)治理區(qū)造的林，用重復(fù)抽樣方式分不各調(diào)查200株，其中第一治理區(qū)成活180株；第二治理區(qū)成活185株；第三治理區(qū)成活168株；第四治理區(qū)成活170株。這4個(gè)治理區(qū)造林成活率是否達(dá)標(biāo)？（=0.05）解：1.假設(shè)：H0：總體頻率無顯著差異 2.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量p1 = 180200 =0.9 p2 = 185200 =0.925 p3 = 168200 =0.84 p4 = 170200 =0.85U1 = (0.90.85)200(0.85

22、0.15) = 1.9803U2 = (0.9250.85)200(0.850.15) = 2.9704U3 = (0.840.85)200(0.850.15) = -0.3961U4 = (0.850.85)200(0.850.15) = 03. 查附表2得u0.05 = 1.964.下結(jié)論：由于| U1| 1.96，| U2| 1.96，| U3|1.96，| U4|1.96 ，因此，只有第一、二治理區(qū)造林成活率達(dá)到要求。例4：兩臺(tái)機(jī)床加工同一種圓筒，抽樣測量產(chǎn)品內(nèi)徑，結(jié)果如下：第一臺(tái)機(jī)床：n1 = 100, X1 = 33.75, S1 = 0.1第二臺(tái)機(jī)床：n2 = 100, X2 =

23、 34.15, S2 = 0.15試檢驗(yàn)兩臺(tái)機(jī)床所加工圓筒內(nèi)徑均值有無顯著差異（=0.05）解：1.假設(shè)：H0：兩臺(tái)機(jī)床所加工圓筒內(nèi)徑無顯著差異2.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量U = (33.7534.15)(1001002)(1000.121000.152)（1/1001/100） = -22.07683. 查附表2得u0.05 = 1.964.下結(jié)論：由于| U | 1.96 ，因此兩臺(tái)機(jī)床所加工圓筒內(nèi)徑有顯著差異。例5：為了可能兩個(gè)工廠所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量，取出樣品n1 = 200和n2 = 300件產(chǎn)品，在這兩個(gè)樣品中，分不出現(xiàn)m1 = 20和m2 = 15件廢品。在顯著水平0.05下，檢驗(yàn)關(guān)于兩個(gè)工廠生產(chǎn)

24、廢品率相等的零假設(shè)：H0：p1 = p2, 備擇假設(shè)H1：p1 p2解：1.假設(shè)：H0：p1 = p2 H1：p1 p22.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量p1 = 20200 = 0.1 p2 = 15300 = 0.05 P = (2015)(200300) = 0.07 1P = 0.93U = (0.10.05)0.070.93(1/2001/300) = 2.14673. 查附表2得u0.05 = 1.964.下結(jié)論：由于| U | 1.96 ，因此兩個(gè)工廠生產(chǎn)的廢品率有顯著差異。例6：依照抽自正態(tài)總體X1和X2的容量n1 = 9和n2 = 6的兩個(gè)獨(dú)立樣本，求得樣本方差S12 = 14.4和S22 =

25、20.5，在顯著水平0.1下，檢驗(yàn)關(guān)于總體方差相等的零假設(shè)H0：12 =22解：1.假設(shè)：H0：12 =22 H1：12 22 2.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量S12S22F = 620.58914.45 = 1.51853. 查附表5得F0.05 (5,8) = 3.694.下結(jié)論：由于| F | 3.69 ,因此，在顯著水平0.1下，兩總體方差相等。第九章 相關(guān)與回歸一、一元線性回歸方程的建立x = 自變量 y = 因變量X = (xi )n Y = (yi )n Lxx = (xi 2 ) (xi )2n = nSx2Lyy = (yi2 ) (yi )2n = n Sy2 Lxy = xi yi (xi )(yi )n一元線性回歸方程為：y = a b x其中：b = Lxy Lxx a = Y b X二、樣本相關(guān)系數(shù)樣