點(diǎn)線面位置關(guān)系

1、第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何本書由作者獨(dú)家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載本書由作者獨(dú)家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）直線與直線位置關(guān)系：1、線線平行的判定（1）平行公理：空間中平行于同一直線的兩條直線平行（2）線面平行性質(zhì)：如果一條直線與平面平行，則過這條直線的平面與已知平面的交線和該直線平行（3）面面平行性質(zhì)：2、線線垂直的判定（1）兩條平行直線，如果其中一條與某直線垂直，則另一條直線也與這條直線垂直直線與平面位置關(guān)系：（2）線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，則該

2、直線與平面上的所有直線均垂直（二）直線與平面的位置關(guān)系1、線面平行判定定理：（）若平面外的一條直線l與平面上的一條直線平行，則l（2）若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面上的任一直線與另一平面平行2、線面垂直的判定：（）若直線l與平面上的兩條相交直線垂直，則l（2）兩條平行線中若其中一條與平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直（3）如果兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面上垂直于交線的直線與另一平面垂直（三）平面與平面的位置關(guān)系1、平面與平面平行的判定：（1）如果一個(gè)平面上的兩條相交直線均與另一個(gè)平面平行，則兩個(gè)平面平行（2）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行2、平面與平面垂直的判定如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則過這條直

3、線的所有平面均與這個(gè)平面垂直（四）利用空間向量判斷線面位置關(guān)系1、刻畫直線，平面位置的向量：直線：方向向量第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何平面：法向量、向量關(guān)系與線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：設(shè)直線a,b對(duì)應(yīng)的法向量為a,b，平面對(duì)應(yīng)的法向量為m,n(其中a,b在外)()abab()aba幺()a()aam()mn4H()mqn、有關(guān)向量關(guān)系的結(jié)論-44()若ab,b/c，則ac平行平行一平行()若ab4/c，則f4c平行垂直一垂直()若ab,bc，則a,c的位置關(guān)系不定。、如何用向量判斷位置關(guān)系命題真假444-44()條件中的線面關(guān)系翻譯成向量關(guān)系()確

4、定由條件能否得到結(jié)論()將結(jié)論翻譯成線面關(guān)系，即可判斷命題的真假、典型例題:例：已知,是兩個(gè)不同的平面，m,n是兩條不同的直線，現(xiàn)給出下列命題:若m,n,mn，則:若m，則m；若m,m，則；若mn,m，則n/.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()本書由作者獨(dú)家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何本書由作者獨(dú)家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載本書由作者獨(dú)家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載昂由日者獨(dú)家

5、授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載思路：為面面平行的判定，要求一個(gè)平面上兩條相交直線，而中m,n不一定相交。所以無(wú)法判定面面平行；為面面垂直的性質(zhì)，要求一個(gè)平面上垂直交線的直線，才與另一平面垂直。而中m不一定與交線垂直。所以不成立：可用向量判定，設(shè),對(duì)應(yīng)法向量為m,n，直線m方向向量為a，則條件轉(zhuǎn)換為：allm,an，可推得mn，即，正確；為線面平行判定，要求n在夕卜，所以錯(cuò)誤；綜上只有個(gè)命題正確44H4-44答案：例：已知m,n,l是不同的直線，,是不同的平面，以下命題正確的是（）若mn,m,n，則；若m1,n,lm，則ln；若m,n，則m/n；若,m,n/，則m

6、n；.思路：題目中涉及平行垂直較多，所以考慮利用正方體（舉反例）或向量判斷各個(gè)命題兩平面各選一條直線，兩直線平行不能判斷出兩個(gè)平面平行，例如在正方體中在平面ABCD和平面CC1D1D中，雖然AB/C1D1,但兩個(gè)平面不平行，所以錯(cuò)誤例如：平面ABCD平面ABCD,BDAC,但BD1111與AB不垂直，所以錯(cuò)誤11考慮利用向量幫助解決：mm,nn/，所以可以推斷mln，所以可得mn.考慮利用向量解決：mm,nn，由垂直關(guān)系不能推出mn，所以錯(cuò)誤.答案：D例：對(duì)于直線m,n和平面,的一個(gè)充分條件為（）m,n,ml,nm/n,m,n/lmn,m,nmn,m,n思路：求的充分條件，即從中選出能判定的條

7、件，選項(xiàng)：例如正方體中的平面ABCD和平面CDDC11可知雖然AB/平面CDDC,CD平面ABCD，但這兩個(gè)1111平面不平行。選項(xiàng)：也可利用選項(xiàng)的例子說(shuō)明無(wú)法推出，選項(xiàng)可用向量模型進(jìn)行分析：mnmn,mm,nn，所以可得：，即；選項(xiàng)可利用選項(xiàng)的例子：mBC,3CC1，可知叮n,m平面CDDC1，n平面ABCD，但這兩個(gè)平面不平行，綜上所述，只有為的一個(gè)充分條件答案：例4：給定下列四個(gè)命題：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的

8、直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中，為真命題的是（）a和.和.和.和思路：分別判斷四個(gè)命題：必須是一個(gè)平面內(nèi)兩條“相交”直線與另一個(gè)平面平行，才可判定兩平面平行，所以錯(cuò)誤；該命題為面面垂直的判定，正確；空間中垂直同一條直線的兩條直線不一定平行，例如正方體中交于一點(diǎn)的三條棱；可用反證法確定，假設(shè)該直線與另一平面垂直，則必然垂直該平面上所有的直線，包括兩平面的交線。所以與條件矛盾。假設(shè)不成立。綜上所述，正確的命題是和答案：例：已知m,n表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法中正確的是（）A若m，n，則mnb若m/,n/則m/nc若m,mn，則nd若m/,mn，則n思路：選項(xiàng)若直線與平面垂直，則直線與這個(gè)

9、平面上的所有直線均垂直，所以正確選項(xiàng)可用向量判斷，mm,nn，由m,n無(wú)法判斷出m,n的關(guān)系，所以不能推出m/n；選項(xiàng)并沒有說(shuō)明直線n是否在平面上，所以結(jié)論不正確；選項(xiàng)也可用向量判斷，m/m,mnmn,同理由m,mn無(wú)法判斷n,的情況，所以無(wú)法推斷出n，綜上所述:.正確答案：A例6：給出下列命題，其中正確的兩個(gè)命題是（）直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行。夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面；直線m平面，直線nm，則n；a,b是異面直線，則存在唯一的平面，使它與a,b都平行且與a,b距離相等答案：思路：到平面距離相等的點(diǎn)可能位于平面的同側(cè)或是異側(cè)，如果是同側(cè)

10、，則兩點(diǎn)所在直線與平面平行，如果異側(cè)，則直線與平面相交，且交點(diǎn)為這兩點(diǎn)的中點(diǎn)。正確，證明如下：如圖，平面,A,C,B,D,且E,F分別為AB,CD的中點(diǎn)，過C作CGAB交于G，連接BG,GD，設(shè)H是CG的中點(diǎn)第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何EHBG,HFGDEHHF平面EHF/EF,EF命題中沒有說(shuō)明直線n是否在上，所以不正確；正確，設(shè)AB為異面直線a,b的公垂線段，E為AB中點(diǎn)，過E作a,b的平行線a,b從而由a,b確定的平面與a,b平行且與a,b的距離相等。所以該平面即為所求。答案：例7：下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平

11、面內(nèi)，則l/若直線l/，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行若直線l/，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)A.0B.1思路：“無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)”只是強(qiáng)調(diào)數(shù)量多，并不等同于“任意點(diǎn)”即使直線與平面相交，直線上也有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)。所以不正確；若l，說(shuō)明l與沒有公共點(diǎn)，所以l與上任意一條直線m都沒有公共點(diǎn)，但即使l,m無(wú)公共點(diǎn)，l,m的位置關(guān)系不只是有平行，還有可能異面，所以不正確；線面平行的前提是直線在平面外，而命題中沒有說(shuō)明“另一條”直線是否在平面上，所以不正確；命題可由得知，l與上任意一條直線m都沒有公共點(diǎn)，命題正確，綜上所述，正確的有

12、個(gè)答案：例：直線a,b為兩異面直線，下列結(jié)論正確的是（）過不在a,b上的任何一點(diǎn)，可作一個(gè)平面與a,b都平行過不在a,b上的任何一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與a,b都相交過不在a,b上的任何一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與a,b都平行過a有且只有一個(gè)平面與b平行思路：選項(xiàng)中，如果0點(diǎn)與a確定的平面與b平行，則此平面只和b平行，a在此平面上，所以這樣的P是無(wú)法作出符合條件的平面；選項(xiàng)由所構(gòu)造出的平面可得，若過P的直線l與a相交，貝ql也在該平面上，所以l與b無(wú)公共點(diǎn)；若過P的直線l與b相交，則無(wú)法與本書由作者獨(dú)家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何第

13、八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何本書由作者獨(dú)家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載本書由作者獨(dú)家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載a相交，綜上所述對(duì)于這樣的夕點(diǎn)無(wú)法作出符合條件的直線；選項(xiàng)如果過P的直線與a,b均平行，則由平行公理可知ab，與已知條件矛盾，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)，如果a,b異面，則過a只能做出一個(gè)平面與b平行。在a上取A,B兩點(diǎn)分別作b的平行線c,d，則c,d所唯一確定的平面和b平行，且a在此平面上。所以正確答案：例9：設(shè)l,m是兩條異面直線，P是空間任意一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.過P點(diǎn)必存在平面與兩異面直線l,m都垂

14、直B.過P點(diǎn)必存在平面與兩異面直線l,m都平行C.過P點(diǎn)必存在直線與兩異面直線l,m都垂直D.過P點(diǎn)必存在直線與兩異面直線l,m都平行思路：選項(xiàng)，若平面與l,m均垂直，則推得lm，與l,m異面矛盾；選項(xiàng)如果P點(diǎn)位于某條直線上，則平面無(wú)法與該直線平行；選項(xiàng)中直線的垂直包括異面垂直，所以可以講l,m平移至共面，過P的直線只需與這個(gè)平面線面垂直，即和l,m都垂直，所以正確；選項(xiàng)如果直線與l,m均平行，則由平行公理可得lm，與l,m異面矛盾。所以正確答案：C例10：設(shè)l,m,n是不同的直線，,是不重合的平面，則下列命題不正確的是（）A,若m/n,m/,n在外，則n/若A乙則l若八八加，則lm若A,C,

15、BDAB/CD,且AB。，則思路：選項(xiàng)可通過向量來(lái)判斷：mnmn,mm，由此可得：n,因?yàn)閚在外，所以可判定n/,正確;；選項(xiàng)設(shè)m,Vn，則號(hào)上所有點(diǎn)的投影落在m中，上所有點(diǎn)的投影落在n中，因?yàn)?，所以l上所有點(diǎn)的投影均在m,n的交點(diǎn)上，即l，所以正確；選項(xiàng)符合面面平行的性質(zhì)，即兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交則交線平行，所以正確；選項(xiàng)中若位于同側(cè)，則命題成立；但如果位于兩側(cè)則滿足條件的與相交。故不正確答案：三、歷年好題精選1、（2016，山東膠州高三期末）設(shè)為不同的平面，m,n,l為不同的直線，則m的一個(gè)充分條件為（）A.人加/B.C.111mD.n2、給出下面四個(gè)命題:“直線a直線

16、b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”“直線l，平面a內(nèi)所有直線”的充要條件是“l(fā)，平面”；“直線a,b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a,b不相交”;“平面平面”的必要不充分條件是“內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等”.其中正確命題的序號(hào)是（）A.B.C.D.3、（2016,大連二十中期中考試）已知三個(gè)互不重合的平面,且若ab,ac,則若a彳b，則allcaJ給出下列命題（）其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）1個(gè)2個(gè)3個(gè)4個(gè)4、（江西中南五校聯(lián)考）已知m,n是兩條不同的直線，,是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若則/B,若m/n,mn則/C.若m/n,mn則/D.若m/n,m/,則n/、（

17、i寧波高三期末）已知平面與平面交于直線l且直線”直線b則下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若ab，且b與l不垂直，則alb.若,bl，則abC.若ab,bl，且a與l不平行，則d.若al,bl，則6、（2016,上海閘北12月月考）已知m,n是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)命題：若垂直于同一平面，則.與平行若m,n平行于同一平面，則m與n平行若不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線若m,n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.4B.3C.2D.17、設(shè)a,b為兩條直線，為兩個(gè)平面，則下列四個(gè)命題中,正確的命題是（B.a/,b/,/，則a/b若a,則a乙在平面內(nèi)，l在平面內(nèi)，

18、l是平面與12l與l,l都相交12l與l,l都不相交12表示平面,下列說(shuō)法正確的是（）A.若a,bab，則若a/,b,a/b，則8（1廣東文）若直線l,l是異面直線，12平面的交線，則下列命題正確的是（）l至少與l，l中的一條相交12l至多與l，l中的一條相交129（,遼寧）已知僧，n表示兩條不同的直線若m，n，則m/n若加,n，則mn若m,mn，則n若m，mn，則n第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何第八章第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定立體幾何本書由作者獨(dú)家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載習(xí)題答案：1、答案：D解析：A選項(xiàng)若m不在上，則無(wú)法判定m；B選項(xiàng)：若

19、，則m，所以無(wú)法判定；C選項(xiàng)，如果來(lái)兩兩垂直，則無(wú)法判定m；D選項(xiàng)，如果nn,則，再由m可判定m2、答案：D解析：若平行于b所在的平面，則,b的關(guān)系為平行或異面，所以不是充要條件；由線面垂直定義可知：直線l，平面當(dāng)且僅當(dāng)直線l，平面a內(nèi)所有直線，所以正確;中若直線,b不相交，則可能平行。所以不能得到“直線，b為異面直線”，錯(cuò)誤;若平面平面，則內(nèi)所有點(diǎn)到的距離相等，當(dāng)內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等，則兩平面可能相交，這三點(diǎn)位于的兩側(cè)。所以“內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等”是“平面平面”的必要不充分條件3、答案：C解析：當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，交線平行或交于一點(diǎn)，所以若aA。，則三條交線交于一點(diǎn)，即a八cB。，若ab，則三條交線平行，ac，所以正確；當(dāng)三條交線交于一點(diǎn)時(shí)，aHb,ac,則b,c夾角不確定，所以錯(cuò)誤；若abac,因?yàn)閎,c均在上，所以可知a，綜上所述，正確4、答案：C解析：A選項(xiàng)：垂直同一平面的兩個(gè)平面可以平行，也可以相交，所以A錯(cuò)誤B選項(xiàng)：在正方體中，右側(cè)面的棱與底面上的棱平行，但是這兩個(gè)面不平行，所以B錯(cuò)誤C選項(xiàng)：將條件轉(zhuǎn)化為向量：mn,m,n，可推出，即,C正確D選項(xiàng)：若直線n上，也滿足題目條件，但n,不平行-44H4H5答案：D解析：A選項(xiàng)：可知a在上的投影為l，若a與l不垂直，且b與l