23個(gè)經(jīng)典不等式專題

1、23個(gè)經(jīng)典的不等式專題23個(gè)經(jīng)典的不等式專題13/1323個(gè)經(jīng)典的不等式專題個(gè)經(jīng)典的不等式專題個(gè)經(jīng)典的不等式專題1、證明：1+11.12；22n2232、若：a3b32，求證：ab2；3、若：nN111.11；，求證：2n1n22n、若：a,b0，且abab3，求：ab的取值范圍；4、若：a,b,c是ABC的三邊，求證：abc；51a1b1c6、當(dāng)n2時(shí)，求證：1111.111；2n12232n2n7、若xR，求yx2x1x2x1的值域；8、求函數(shù)y3sin的最大值和最小值；2cos9、若a,b,c0，求證：2229；bbccaabca10、若a,b,cR，且a2b2c225，試求：a2b2c

2、的取值范圍；11、若a,b,cR，且2ab2c6，求a2b2c2的最小值；12、若a,b,cR，且(a1)2(b2)2(c43)21，求abc的最大值和最小值；165、若a,b,c0，x,y,z0，且滿足a2b2c225，x2y2z236，13axbycz30abc，求：xyz的值；14、求證：n15；（這回比較緊）k1k2315、當(dāng)n2時(shí)，求證：2(11)n3；n16、求證：113135.135.(2n1)2n1；224246246.(2n)第1頁23個(gè)經(jīng)典的不等式專題17、求證：2(n11)111.12(2n11)；23n18、已知：x0,求證：xln(1x)x;1x19、已知：nN，求證

3、：11.11ln(1x)11.1；23n2n20、已知：n2，求證：2nn(n1)；21、已知：nN，求證：111.1n；23222122、設(shè)：S1223.n(n1)，n求證：n(n1)2Sn(n1)2；23、已知：nN，求證：111.12.n2n13n1【解答】1.證明：1+11.12；2232n2n11n11n1n1、證明：k2k2k2k(k1)1k1k2k2111112.k1kn從第二項(xiàng)開始放縮后，進(jìn)行裂項(xiàng)求和.若：a3b32，求證：ab2；2、證明：a3b3(ab)(a2b2ab)ab(ab)，即：ab(ab)2則：3ab(ab)6，a3b33ab(ab)8，即：(ab)38即：ab2

4、.立方和公式以及均值不等式配合.第2頁個(gè)經(jīng)典的不等式專題3.若：nN11111；，求證：n1n2.22n3、由：nnnkn(k1,2,.,n)得：11k2nn則：n1n1n1，即：n11.k12nk1nkk1n2nn1n2故：111n1.11.2n22n從一開始就放縮，爾后求和.，nnnnn若：a,b0，且abab3，求：ab的取值范圍；4、解：(ab)2a2b22ab4ab4(ab3)4(ab)12，令：tab，則上式為：t24t120.解之得：t6.均值不等式和二次不等式.5.若：a,b,c是abcABC的三邊，求證：1b；1a1c5、證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)x，則在x0時(shí)，f(x)為增函數(shù)

5、.1x所以，對于三角形來說，兩邊之和大于第三邊，即：abc，那么，f(ab)abc.f(c)，即：b11acabababc1a1b1ab1ab1ab1c.構(gòu)造函數(shù)法，利用單調(diào)性，再放縮，獲取結(jié)果.6.當(dāng)n2時(shí)，求證：1111.111；2n12232n2n6.證明：當(dāng)n2時(shí)，n1nn1，都擴(kuò)大n倍得：n(n1)n2n(n1)，111取倒數(shù)得：n(n1)n2n(n1)，第3頁個(gè)經(jīng)典的不等式專題裂項(xiàng)：n111111，1nn2nnn(11n1n11求和：)k2k2()，k2k1kk2kk1即：1111.111n2232n22n1先放縮，裂項(xiàng)求和，再放縮.7、若xR，求yx2x1x2x1的值域；227、

6、解：yx2x1x2x1x13x132424設(shè)：m(x1,3)，n(x1,3)，22222323則：m1，nx1，mn(1,0)x4242代入向量不等式：mnmn得：ymnmn1，故：1y1.這回用絕對值不等式.8、求函數(shù)y3sin的最大值和最小值；2cos8、解：將函數(shù)稍作變形為：y30(sin)3yMyN，2cosxMxN設(shè)點(diǎn)M(xM,yM)，點(diǎn)N(xN,yN)，則M(2,0)，N(cos,sin)，而點(diǎn)N在單位圓上，y就是一條直線的斜率，是過點(diǎn)和圓上點(diǎn)N直線M斜率的3倍，要點(diǎn)是直線過圓上的N點(diǎn).直線與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)范圍就是：1y1.故y的最大值是，最小值是-1.1第4頁個(gè)經(jīng)典的不等式

7、專題原來要計(jì)算一番，這用解析法，免計(jì)算了.9、若a,b,c02229，求證：bccaabcab9、證明：由柯西不等式：2111abbccaabbccaabbccaabbcca11c1a2abc329即：abbc2229即：abbccaabc柯西不等式.10、若a,b,cR，且a2b2c225，試求：a2b2c的取值范圍；、解：柯西不等式：122222a2b2c2a2b2c2；10即：925a2b2c22b2c15；，故：a所以：15a2b2c15.柯西不等式.、若a,b,cR，且2ab2c6，求222abc的最小值；1111、解：設(shè)：m(2,1,2)，n(x,y,z)，222(1)2(2)29

8、；則：m2a2b2c2n；mn2ab2c；代入mnmn得：9a2b2c22a2b2c36；即：a2b2c24，故：最小值為4.第5頁個(gè)經(jīng)典的不等式專題向量不等式.12、若a,b,cR，且(a1)2(b2)2(c3)21，求abc的最大值和最小值；165412、解：柯西不等式：22242222a1b2c325a1b2c345c即：251abc22；故：5abc25；于是：3abc7.柯西不等式.13、若a,b,c0，x,y,z0，且滿足a2b2c225，x2y2z236，axbycz30abc，求：xyz的值；13、解：本題滿足：a2b2c2x2y2z2axby2cz即柯西不等式中等號(hào)成立的條件

9、.故有：abc0，即：ax，by，cz.xyz則：a2b2c22(x2y2z2)；2a2b2c2255即：x2y2z236，即：6abcabc5故：xyzxyz6.柯西不等式中等號(hào)成立.n1514、求證：k1k23；（這回比較緊）第6頁個(gè)經(jīng)典的不等式專題14、證明：n11n11n4n41n11k1k2k2k2k24k21212k24kk22k12k112111121532n33注意變形為不等式的方法，誠然仍是放縮法.15、當(dāng)n2時(shí)，求證：2(11)n3；n15、證明：由二項(xiàng)式定理得：nn1Cn11.Cnn11Cn1111Cnk1Cn212nk0nknn2nnn由二項(xiàng)式定理得：nnCnk1n11

10、11nk1nkk1n!1n1n!k!(nk)!nk11k!(nk)!nkkn1k11n(n1)(n2).(nk1)1n111nk!nnnnk1k!k21k!n2k21n2k!k21n2k(k1)k2112113k1kn本題由二項(xiàng)式中，保留前兩項(xiàng)進(jìn)行放縮獲取：(11)n2；n本題由二項(xiàng)式中，分子由從n開始的k個(gè)遞減數(shù)連乘，分母由k個(gè)n連乘，獲取的分?jǐn)?shù)必定小于1.于是獲取：(11)n3.n16、求證：113135.135.(2n1)2n1；224246246.(2n)2n；16、證明：2n22n1(2n1)(2n1)，故：2n122n2n1第7頁個(gè)經(jīng)典的不等式專題令：Sn135.(2n1)，Tn2

11、46.(2n)；246(2n)357(2n1)則：SnTn，即：Sn2SnTn135.(2n1)246.(2n)1；246(2n)357(2n1)2n1故：Sn12n1由22n12n12n1得：12，2n12n12n1即：1(2n12n1)，2n1故：代入式得：Snn1n122則：原式=S1nnS2.Snk1Skk1(2k12k1)2n112n1本題的要點(diǎn)在于把根式或其他式子換成兩個(gè)相鄰的根式差，爾后利用求和來消去中間部分，只剩兩頭.17、求證：2(n11)111.12(2n11)；23n17、證明：由2nn1n得：1n22n1n；n1n即：n1n2(k1k)2(n11)kk1k1由：8n21

12、28n21218n28n22得：8n218n28n2224n24n2122n(2n1)2n(2n1)即：8n222n(2n1)2n(2n1)1，即：2n(2n1)2n(2n1)22n(2n1)2n(2n1)1，2n(2n1)2n(2n1)21，即：2n2n12n11即：第8頁23個(gè)經(jīng)典的不等式專題故：12n12n1，2nn多項(xiàng)求和：k11n2k12k122n112kk1由，本題得證.本題仍是采用級數(shù)求和的放縮法.18、已知：x0,求證：xln(1x)x;x1、證明：(1)構(gòu)造函數(shù)：f(x)xln(1x)，則：f(0)0.18當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：f(x)110，1x即當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)為

13、增函數(shù).即：f(x)f(0)0；故：f(x)xln(1x)0，即：ln(1x)x.(2)構(gòu)造函數(shù)：g(x)ln(1x)x，則：g(0)0.1x當(dāng)x0時(shí)，其導(dǎo)數(shù)為：g(x)11xx0.1x1x122x1x即當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)g(x)為增函數(shù).即：g(x)g(0)0；故：g(x)ln(1x)x0，即：xln(1x).1x1x由(1)和(2)，本題證畢.本題采用構(gòu)造函數(shù)法，利用函數(shù)單調(diào)性來證題.19、已知：nN，求證：23n12.n；11.1ln(1x)11119、證明：先構(gòu)造函數(shù)：f(x)1，在函數(shù)圖象上分別取三點(diǎn)A,B,C，x即：A(k,1),B(k1,1),C(k1,1),kk1k1第9頁23個(gè)經(jīng)

14、典的不等式專題我們來看一下這幾個(gè)圖形的面積關(guān)系：SAEFCSAEFHSAEDGSAEDB；k11dxf(k)1k1dx；即：xk1xkk1k即：lnxkf(k)lnxk1；即：ln(k1)lnk1ln(k1)；lnkkn(1)ln(k1)lnk1求和：(ln(k1)lnk)kk1即：ln(n1)11.1；2n1lnkln(k1)求和：；(2)kn11111ln(n1);即：2k2.1k3n由(1)和(2)證畢.ABAGHCODEFn111.1k1k2n；本題采用構(gòu)造函數(shù)法，利用函數(shù)的面積積分來證題.202時(shí)，求證：2nn(n1)；、已知：當(dāng)n、證明：當(dāng)2rn1時(shí)，CrC1n，即：Crn20nn

15、n由二項(xiàng)式定理得：2n1)nnCnkn1Cnkn1(1nn(n1)k0k1k1證畢.本題利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮得證.第10頁23個(gè)經(jīng)典的不等式專題21、已知：nN，求證：111.1n；23221221、證明：設(shè)：Sn111.1，則：232n1Sn11)11(1111.(11.11)1()567)2n11n122n1n2n2348221(111(1111.(11.111)(222)23232323)2n2n2n2n)2n221(111111n1n(11)n)()().()2n22n22n22222證畢.將1今后的項(xiàng)數(shù)，按2的次方個(gè)數(shù)劃分成n組，每組都大于1，這樣放縮2得證.22、設(shè)：S1223.

16、n(n1)，n求證：n(n1)2Sn(n1)2；22、證明：由kk(k1)k(k1)k1得：kk(k1)k122，2nnn1求和得：kk(k1)k2k1k1k1n(n1)n(n1)nn(n2)(n1)2即：2Sn2222即：n(n1)2Sn(n1)2.本題第一成立含有k(k1)的不等式，成立成功，本題得證.23、已知：nN，求證：111.12.n1n23n123、證明：設(shè)：Sn11.1；n1n23n1采用倒序相加得：第11頁個(gè)經(jīng)典的不等式專題2Sn111111.11；n13n1n23nn33n13n1n1各括號(hào)內(nèi)通分得：2Sn4n24n24n2.4n2；n13n1n23n3n1n1n33n1即：Sn(2n1)111.1；n13n1n23nn33n13n1n1由：(n1)(3n1)2n1n2n1n2n12n22n12；(n2)(3n)2n1(n1)2n1(n1)2n12n122n12；(n3)(3n1)2n1(n2)2n1(n2)2n12n222n12；(3n1)(n1)2n1(n2n)2n1(n2n)2n12n2n222n1共有：(3n1)(n1)12n1項(xiàng).將上述不等式代入式得：Sn