2016年北京市房山區(qū)高考一模數(shù)學試卷(文科)【解析版】

1、 2016 年北京市房山區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科）一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1（5 分）已知集合 Ax|0 x3，Bx|x20，則集合 AB（Ax|0 x2 Bx|2x3 Cx|x2 Dx|x02（5 分）在復平面內(nèi)，復數(shù) z 對應(yīng)的點的坐標為（2，1），則|z|（）A3（5 分）在ABC 中，若 b2，a3，A B24（5 分）在平面區(qū)域B5C3D1，則 c（D4）C3內(nèi)任取一點 P（x，y），則（x，y）滿足 2x+y1的概率為（）ABCD5（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 x1，則輸出 y 的值是（）A16

2、（5 分）設(shè)aR，則“a1”是“直線 ax+y10 與直線 x+ay+50 平行”的（B3C7D15）A充分而不必要條件C充分必要條件B必要而不充分條件D既不充分也不必要條件第 1 頁（共 16 頁） 7（5 分）已知定義在 R 上的函數(shù) f（x）的對稱軸為 x5，且當 x5 時，f（x）2 3若函數(shù) f（x）在區(qū)間（k，k+1）（kZ）上有零點，則 k 的值x為（A2 或118（5 分）某市 2015 年前 n 個月空氣質(zhì)量優(yōu)良的總天數(shù) S 與 n 之間的關(guān)系如圖）B2 或12C1 或12D1 或11n所示若前 m 月的月平均空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)最大，則 m 值為（）A7B9C10D12二、填空

3、題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分9（5 分）雙曲線 y 1 的漸近線方程為210（5 分）圓 x +y 4x+2y+20 的圓心坐標為，半徑為2211（5 分）若 ，則12（5 分）已知向量 （1，1），若 k 與 垂直，則實數(shù) k13（5 分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于14（5 分）數(shù)列a 滿足 a 3，那么 a ，n12016第 2 頁（共 16 頁） 數(shù)列a 的前 n 項和 S nn三、解答題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（13 分）已知函數(shù)（）求 f（x）的最小正周期和最大值；（）若，且，求 的值16（13 分）在等

4、比數(shù)列a 中，a 2，且 a +1 是 a ，a 的等差中項n1213（）求a 的通項公式及前 n 項和 S ；nn（）已知b 是等差數(shù)列，T 為其前 n 項和，且 b a ，b a +a ，求 T nn21824n17（13 分）為了解學生的身體狀況，某校隨機抽取了一批學生測量體重經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的體重數(shù)據(jù)（單位：千克）全部介于 45 至 70 之間將數(shù)據(jù)分成以下 5 組：第 1 組45，50）， 第 2 組50，55）， 第 3 組55，60），第 4 組60，65），第 5 組65，70，得到如圖所示的頻率分布直方圖現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從第 3，4，5 組中隨機抽取 6 名學生做初檢（

5、）求每組抽取的學生人數(shù)；（）若從 6 名學生中再次隨機抽取 2 名學生進行復檢，求這 2 名學生不在同一組的概率18（14 分）在三棱錐 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，PAPC，ACBC，D 為 AB 的中點，M 為 PD 的中點，N 在棱 BC 上（）當 N 為 BC 的中點時，證明：DN平面 PAC；（）求證：PA平面 PBC；（）是否存在點 N 使得 MN平面 PAC？若存在，求出 的值，若不存在，說明理由第 3 頁（共 16 頁） 19（13 分）已知函數(shù) f（x）lnx ，g（x） x（I）求曲線 yf（x）在 x1 處的切線方程；（）求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè) h（x

6、）af（x）+（a+1）g（x），其中 0a1，證明：函數(shù) h（x）僅有一個零點20（14 分）已知橢圓 C： + 1（ab0）的離心率為 ，右焦點為 F（3，0）N 為直線 x4 上任意一點，過點 F 做直線 FN 的垂線 l，直線 l 與橢圓 C 交于 A，B 兩點，M 為線段 AB 的中點，O 為坐標原點（）求橢圓 C 的標準方程；（）證明：O，M，N 三點共線；（）若 2|OM|MN|，求 l 的方程第 4 頁（共 16 頁） 2016 年北京市房山區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求

7、的一項1（5 分）已知集合 Ax|0 x3，Bx|x20，則集合 AB（Ax|0 x2 Bx|2x3 Cx|x2 Dx|x0）【解答】解：由 B 中不等式解得：x2，即 Bx|x2，Ax|0 x3，ABx|2x3，故選：B2（5 分）在復平面內(nèi)，復數(shù) z 對應(yīng)的點的坐標為（2，1），則|z|（）AB5C3D1【解答】解：由題意可得 z2i，|z|故選：A3（5 分）在ABC 中，若 b2，a3，A B2，則 c（）C3D4【解答】解：b2，a3，由余弦定理可得：c，4故選：D4（5 分）在平面區(qū)域內(nèi)任取一點 P（x，y），則（x，y）滿足 2x+y1的概率為（）ABC為正方形 OABC 內(nèi)部（

8、含邊界），其面積為 1，則滿足條件 2x+y1 的點 P 落在AOD 內(nèi)部（含邊界）其面積為 D【解答】解平面區(qū)域點 P 滿足 2x+y1 的概率為 第 5 頁（共 16 頁） 故選：B5（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 x1，則輸出 y 的值是（）A1B3C7D15【解答】解：根據(jù)題意，模擬執(zhí)行程序，可得輸入 x1，第一次循環(huán)：y21+13，x3；第二次循環(huán)：y23+17，x7；第三次循環(huán)：y27+115，|xy|86，結(jié)束循環(huán)，輸出 y15故選：D6（5 分）設(shè)aR ，則“a1”是“直線 ax+y10 與直線 x+ay+50 平行”第 6 頁（共 16 頁） 的（）A充分而不必要條

9、件C充分必要條件B必要而不充分條件D既不充分也不必要條件【解答】解：當 a1 時，兩直線方程分別為x+y10 與直 xy+50，滿足兩直線平行當 a1 時，兩直線方程分別為 x+y10 與直 x+y+50 滿足平行，但 a1不成立，“a1”是“直線 ax+y10 與直線 x+ay+50 平行”的充分不必要條件故選：A7（5 分）已知定義在 R 上的函數(shù) f（x）的對稱軸為 x5，且當 x5 時，f（x）2 3若函數(shù) f（x）在區(qū)間（k，k+1）（kZ）上有零點，則 k 的值x為（）A2 或11B2 或12C1 或12D1 或11【解答】解：當 x5 時，f（x）2 3，xf（1）2310，f（

10、2）2 310，2由函數(shù)零點存在性定理，可得函數(shù) f（x）2 3 有一個零點在（1，2）內(nèi)，此x時 k1；又定義在 R 上的函數(shù) f（x）的對稱軸為 x5，由對稱性可知，函數(shù) f（x）2 3 有另一個零點在（12，11）內(nèi)，此時 kx12k 的值為 1 或12故選：C8（5 分）某市 2015 年前 n 個月空氣質(zhì)量優(yōu)良的總天數(shù) S 與 n 之間的關(guān)系如圖n所示若前 m 月的月平均空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)最大，則 m 值為（）第 7 頁（共 16 頁） A7B9C10D12【解答】解：前 n 個月的總天數(shù) S 與 n 在圖中對應(yīng) P（n，S ）點nn則前 n 個月的月平均值即為直線 OP 的斜率，由圖

11、易得當 n10 時，直線 OP 的斜率最大，即前 10 個月的月平均值最高，故 m 的值為 10故選：C二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分9（5 分）雙曲線 y 1 的漸近線方程為 2【解答】解：雙曲線而雙曲線的 a2，b1，焦點在 x 軸上的漸近線方程為 y雙曲線的漸近線方程為 y故答案為：y10（5 分）圓 x +y 4x+2y+20 的圓心坐標為 （2，1） ，半徑為22【解答】解：將圓方程 x +y 4x+2y+20 化為標準方程：（x2） +（y+1）22223，則圓心坐標為（2，1），半徑等于 ，故答案為：（2，1）， 11（5 分）若，則， 2 【解答】解：2故

12、答案為：212（5 分）已知向量 （1，1），若 k 與 垂直，則實數(shù) k第 8 頁（共 16 頁） 1 【解答】解：向量 （1，1），k （k+3，k1），若 k 與 垂直，則（k ） （k+3，k1）（1，1）k+3+k12k+20，求得實數(shù) k1，故答案為：113（5 分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于【解答】解：根據(jù)三視圖得：該幾何體是放倒的四棱錐，直觀圖如圖所示：E 是棱 CD 的中點，且 PE平面 ABCD，PE2，四棱錐的底面是邊長為 4、2 的矩形，高為 PE，所以該幾何體的體積 V ，故答案為： 第 9 頁（共 16 頁） 14（5 分）數(shù)列a 滿足 a 3，

13、那么 a 2 ，n12016數(shù)列a 的前 n 項和 S nn【解答】解：依題意，a 3，1a a 12，21a a 11，32a 2a 2，43數(shù)列a 從第二項起，構(gòu)成以 2 為周期的周期數(shù)列，n20161+21007+1，a a 2，20162又數(shù)列S 是首項、公差均為 3 的等差數(shù)列，2n 1數(shù)列S 是首項為 5、公差為 3 的等差數(shù)列，2n當 n 為奇數(shù)時，S 3+3（1）；n當 n 為偶數(shù)時，S 5+3（ 1）；nS ，n故答案為：2，三、解答題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（13 分）已知函數(shù)（）求 f（x）的最小正周期和最大值；（）若，且，求

14、的值 sin2x+【解答】解：（）函數(shù) 第 10 頁（共 16 頁） sin（2x ），f（x）的最小正周期為（）若，函數(shù)的最大值為 ，2 （ ，）； sin（2 ），sin（2 ）1，2 ，16（13 分）在等比數(shù)列a 中，a 2，且 a +1 是 a ，a 的等差中項n1213（）求a 的通項公式及前 n 項和 S ；nn（）已知b 是等差數(shù)列，T 為其前 n 項和，且 b a ，b a +a ，求 T nn21824n【解答】解：（）設(shè)等比數(shù)列a 的公比為 q，則 a 2q，a 2q ，2n23a +1 是 a ，a 的等差中項，2132（1+2q）2+2q ，即 q 2q，22解得：q

15、2 或 q0（舍），數(shù)列a 是首項、公比均為 2 的等比數(shù)列，na 2 ，S 2 2；n+1nnn（）由（I）可知 b a 2，b a +a 4+1620，21824等差數(shù)列b 的公差 d3，b b d1，n12T nb +dn+ n（n1）n117（13 分）為了解學生的身體狀況，某校隨機抽取了一批學生測量體重經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的體重數(shù)據(jù)（單位：千克）全部介于 45 至 70 之間將數(shù)據(jù)分成以下 5 組：第 1 組45，50）， 第 2 組50，55）， 第 3 組55，60），第 4 組60，65），第 5 組65，70，得到如圖所示的頻率分布直方圖現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從第 3，4，5 組

16、中隨機抽取 6 名學生做初檢（）求每組抽取的學生人數(shù)；（）若從 6 名學生中再次隨機抽取 2 名學生進行復檢，求這 2 名學生不在同一組的概率第 11 頁（共 16 頁） 【解答】解：（）解：由頻率分布直方圖知，第 3，4，5 組的學生人數(shù)之比為3：2：1所以，每組抽取的人數(shù)分別為：第 3 組： 63；第 4 組：2；第 5 組：1從 3，4，5 組應(yīng)依次抽取 3 名學生，2 名學生，1 名學生（）記第 3 組的 3 位同學為，；第 4 組的 2 位同學為 A，B；第 5組的 1 位同學為 C則從 6 位同學中隨機抽取 2 位同學所有可能的情形為：（，），（，），（，A），（，B），（，C），

17、（，），（，A），（，B），（，C），（，A），（，B），（，C），（A，B），（A，C），（B，C）共 15 種可能其中，（，），（，），（，），（A，B）四種為 2 名學生在同一組，有 11 種可能符合 2 名學生不在同一組的要求，所求概率 P 18（14 分）在三棱錐 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，PAPC，ACBC，D 為 AB 的中點，M 為 PD 的中點，N 在棱 BC 上（）當 N 為 BC 的中點時，證明：DN平面 PAC；（）求證：PA平面 PBC；（）是否存在點 N 使得 MN平面 PAC？若存在，求出 的值，若不存在，說明理由第 12 頁（共 16 頁） 【解答

18、】證明：（）D 為 AB 的中點，N 為 BC 的中點，DNAC，DN平面 PAC，AC平面 PAC，DN平面 PAC（）平面 PAC平面 ABC，ACBC，BC平面 PAC，PA平面 PAC，PABC，PAPC，PCBCC，PA平面 PBC解：（）存在點 N，當時，MN平面 PAC理由如下：取 AD 中點 E，連結(jié) ME、NE，M 為 PD 中點，MEPA，D 為 AB 中點，E 為 AD 中點，又 ，ENAC，MENEE，ME、EN平面 MEN，PA、AC平面 PAC，平面 MEN平面 PAC，MN平面 MEN，MN平面 PAC存在點 N，當時，MN平面 PAC19（13 分）已知函數(shù) f

19、（x）lnx ，g（x） x第 13 頁（共 16 頁） （I）求曲線 yf（x）在 x1 處的切線方程；（）求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè) h（x）af（x）+（a+1）g（x），其中 0a1，證明：函數(shù) h（x）僅有一個零點【解答】解：（）函數(shù) f（x）lnx ，（x0）f（x） x，在 x1 處的切線方程的斜率為 kf（1）0，求曲線 yf（x）在 x1 處的切線方程 y ，（）f（x） x，令 f（x）0，得 x1，當 0 x1 時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增，x1 時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為1，+），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；（）證明：h（x）af（x）+（a+1）g（x） +alnx（a+1）x，（x0）h（x）x（a+1）+ 2