橢圓知識點(diǎn)總結(jié)附練習(xí)題

1、橢圓知識點(diǎn)總結(jié)附練習(xí)題橢圓知識點(diǎn)總結(jié)附練習(xí)題14/14橢圓知識點(diǎn)總結(jié)附練習(xí)題橢圓知識點(diǎn)總結(jié)橢圓的定義：平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩個定點(diǎn), 的距離之和等于常數(shù) ,這個動點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.留意：若，則動點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動點(diǎn)的軌跡無圖形.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；留意：（1）只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2）在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和； (3) 橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的

2、焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的簡單幾何性質(zhì):橢圓：的簡單幾何性質(zhì)1.對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程： 以軸, 軸為對稱軸的軸對稱圖形；以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形2.范圍：橢圓上全部的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿意，。3.頂點(diǎn)：橢圓的對稱軸及橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓及坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即為橢圓的四個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ，線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4.離心率：橢圓的焦距及長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近

3、于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時，這時兩個焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。留意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2）；（3）；5,通徑：（過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦），通徑長為.6,設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)不在同始終線上時，構(gòu)成了一個三角形焦點(diǎn)三角形.兩種橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分和聯(lián)系：橢圓 及 的區(qū)分和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對稱性關(guān)于軸, 軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)，軸長長軸長=，短軸長=離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，留意：橢圓，的相同點(diǎn)：形態(tài), 大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。規(guī)律方法：1，求橢圓方程的常用方法（1）待定系數(shù)法：

4、由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；（2）定義法：由已知條件推斷出動點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再依據(jù)定義確定方程。2，共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。及橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。3，方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有同號，且時，方程表示橢圓。當(dāng)時，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。4，焦點(diǎn)三角形（為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計算問題令;?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）, 三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計算解題。（此處信息量較大）將有關(guān)線段

5、，有關(guān)角 ()結(jié)合起來，建立，之間的關(guān)系. 的最大值為；5，橢圓的扁圓程度及離心率的關(guān)系離心率，因?yàn)椋?。明顯：當(dāng)越小時，越大，橢圓形態(tài)越扁；當(dāng)越大，越小，橢圓形態(tài)越趨近于圓。6，點(diǎn)及橢圓的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；點(diǎn)在橢圓上1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)7，直線及橢圓的位置關(guān)系：若直線及圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，將直線方程聯(lián)立曲線方程可得：（1）相交：直線及橢圓相交；（2）相切：直線及橢圓相切； （3）相離：直線及橢圓相離；8，橢圓的切線方程(1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是9，弦長公式：若直線及圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，則；若弦所在直線方程設(shè)為，則。留意：要留意兩種直

6、線方程的應(yīng)用時的優(yōu)缺點(diǎn)（具體介紹韋達(dá)定理在圓錐曲線中的應(yīng)用）10，中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解 抓住兩點(diǎn)：中點(diǎn)坐標(biāo)，弦所在直線斜率設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)為，則由，將兩式相減 （1）斜率問題：；（2）弦中點(diǎn)軌跡問題時：，即；（3）要留意：；（4）直線的方程:；（5）線段的垂直平分線方程：橢圓的幾何性質(zhì)練習(xí)一，橢圓的幾何性質(zhì)的簡單運(yùn)用1，已知橢圓的離心率，求的值及橢圓的長軸和短軸的長，焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。2，求及橢圓有相同的焦距，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。3，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為。過的直線交于兩點(diǎn)，且的周長為16，求的方程。二，求橢圓的離心率

7、1，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，是橢圓的上頂點(diǎn)，是橢圓的右頂點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，且軸，,求此橢圓的離心率。2，已知橢圓的左焦點(diǎn)是橢圓的兩個頂點(diǎn)，若到直線的距離為，求橢圓的離心率。3，已知是橢圓的一個焦點(diǎn)，是短軸的一個端點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)，且，求的離心率。4，設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)，它到橢圓中心和長軸一個端點(diǎn)的連線相互垂直，求橢圓離心率的取值范圍。三，直線及橢圓的位置關(guān)系1，橢圓的離心率為，且橢圓及直線相交于，且，求橢圓的方程。2，直線過點(diǎn)及橢圓相交于兩點(diǎn)，若為中點(diǎn)，試求直線的方程。3，已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。四，橢圓中的最值問題1

8、，已知橢圓，直線，橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線的距離最??？最小距離是多少？2，點(diǎn)分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且位于軸上方， （1）求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）設(shè)是橢圓長軸上的一點(diǎn)，到直線的距離等于，求橢圓上點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值。五，橢圓兩種定義的應(yīng)用1，在直線上任取一點(diǎn)，過且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，問在何處時，所作橢圓長軸最短，并求此橢圓方程。2，已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)，使最小。六，綜合問題1，過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)妹娣e最大時，求直線的方程。2，已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，及共線。 （1）求

9、橢圓的離心率； （2）設(shè)為橢圓上隨意一點(diǎn)，且。求證：為定值。3，橢圓的兩個焦點(diǎn)為為是橢圓上一點(diǎn)，滿意 （1）求離心率的取值范圍； （2）當(dāng)離心率取得最小值時，點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求此時橢圓的方程。4，已知橢圓，過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)。 （1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； （2）將表示為的函數(shù)，并求的最大值。5，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)滿意。 （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)直線及橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線及圓相交于兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程。6，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交橢圓于點(diǎn)，設(shè)直線的

10、斜率為 （1）若直線平分線段，求的值； （2）當(dāng)時，求點(diǎn)到直線的距離； （3）對隨意的，求證：7，設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，過斜率為1的直線及橢圓相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列。 （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)點(diǎn)滿意，求橢圓的方程。作業(yè)1，某橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，若長軸長為18，且兩個焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_。2，橢圓及的關(guān)系是_。3，橢圓的兩個焦點(diǎn)及它的短軸的兩個端點(diǎn)是一個正方形的四個頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為_。4，若橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為在橢圓上，且的最大面積是12，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_。5，兩個正數(shù)1,9的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是且，則曲線的離心率為_。6，已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿意的點(diǎn)總在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是_。7，若直線及圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線及橢圓的交點(diǎn)個數(shù)為_。8，已知橢圓的方程為。假如直線及橢圓的一個交點(diǎn)在軸上的射影恰為橢圓的右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為_。9，橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，則經(jīng)過并且以為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為_。10，已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線過左焦點(diǎn)且及橢圓的交點(diǎn)為，及軸交點(diǎn)為，又為線段的中點(diǎn)，若，求橢圓離心率的取值范圍。11，設(shè)是橢圓短軸的一個端點(diǎn)，為橢圓上的一個動點(diǎn)，求