內(nèi)蒙古大學(xué)光學(xué)課件02光的衍射

1、第二章 光的衍射波動具有兩大特性：干涉、 衍射?，F(xiàn)在我們根據(jù)光的衍射現(xiàn)象和實驗事實進(jìn)一步提示光的波動性。說明衍射是光在空間或物質(zhì)中傳播的基本方式。同時也介紹衍射現(xiàn)象的幾種重要應(yīng)用。21 光的衍射現(xiàn)象 圖2-1光的干涉現(xiàn)象是幾束光相互疊加的結(jié)果，讓一束光通過狹縫投射在屏上。在影的中央，應(yīng)該是最暗的地方，實際觀察到的卻是亮的。光通過狹縫，甚至經(jīng)過任何物體的邊緣，在不同程度上都有類似的情況。這種光繞過障礙物偏離直線傳播而進(jìn)入幾何陰影，并在屏幕上出現(xiàn)光強(qiáng)不均勻的分布現(xiàn)象，叫做光的衍射。衍射現(xiàn)象的出現(xiàn)與否，主要決定于障礙物線度和波長大小的對比，只有在障礙物線度和波長可以比擬時，衍射現(xiàn)象才明顯地表現(xiàn)出來。

2、22 惠更斯菲涅耳原理一、惠更斯原理：在研究波的傳播時，總可以找到同位相各點的幾何位置，這些點的軌跡是等相面，叫做波面?；莞乖岢龃尾ǖ募僭O(shè)來闡述波的傳播現(xiàn)象，從而建立了惠更斯原理：任何時刻波面上的每一點都可以作為次波的波源，各自發(fā)出球面次波；在其后的任何時刻，所有這些次波波面的保絡(luò)面形成整個波在該時刻的新波面。根據(jù)這個原理，可以從某一時刻已知的波面位置，求出另一時刻波面的位置?？梢越忉尮獾闹本€傳播、反射、折射，還可解釋晶體的雙折射現(xiàn)象。但有倒退波的存在，也不能說明有明暗相間條紋的出現(xiàn)。二、菲涅耳對惠更斯原理的改進(jìn)菲涅耳根據(jù)惠更斯的“次波”假設(shè)，補(bǔ)充了描述次波的基本特征位相和振幅的定量表示式

3、，并增加了“次波相干疊加”的原理，從而發(fā)展成為惠更斯菲涅耳原理。這個原理的內(nèi)容表述如下： 波面s上每個面積元ds都可以看成新的波源，它們均發(fā)出次波，波面前方空間某一點p的振動可以由s面上所有面積元發(fā)出的次波在該點疊加后的合振幅來表示。面積元ds所發(fā)出的各次波的振幅和位相符合下列四個假設(shè)： 圖2-2 (1) 波面是一個等位相面，因而可以認(rèn)為ds面上各點所發(fā)出的所有次波都有相同的初位相（可令 ）(2) 次波在p點處所引起的振動的振幅與r成反比，這相當(dāng)于表明次波是球面波。(3) 從面積元ds所發(fā)次波在p點處的振幅正比于ds的面積，且與傾角有關(guān)，振幅隨的增大而減小。(4) 次波在p點處的位相由光程 決

4、定（ ）根據(jù)以上的假設(shè)，可知面積ds發(fā)出的次波在p點的振動可表示為 隨角增大而緩慢減小如果波面上的各點振幅有一定的分布，分布函數(shù)為 ，則：波面s在p點所產(chǎn)生的合振動為或 上式稱為菲涅耳衍射積分，一般來說計算此積分式是相當(dāng)復(fù)雜的，但在波面對于通過p點的波面法線具有旋轉(zhuǎn)對稱性的情況下，積分就比較簡單，可用代數(shù)加法或矢量加法來代替積分。 菲涅耳衍射：障礙物離光源和考察點的距離都是有限的，或其中之一的距離是有限的。也稱近場衍射。夫瑯和費衍射：光源和考察點到障礙物的距離可以認(rèn)為是無限遠(yuǎn)，即實際上使用的是平行光束，又稱遠(yuǎn)場衍射。較菲涅耳衍射更為重要。23 菲涅耳半波帶一. 菲涅耳半波帶現(xiàn)以點光源為例說明惠

5、菲原理的應(yīng)用。確定光波到達(dá)對稱軸上任一P點時波面S所起的作用。 稱為P點對于波面的極點。 圖2-3令 設(shè)想將波面分為許多環(huán)形帶，使由每兩個相鄰帶的邊緣到P點的距離相差為半波長，即，在這種情況下，由任何兩個相鄰帶的對應(yīng)部分所發(fā)的次波到達(dá)P點時的光程差為 ，亦即它們以相反的位相同時到達(dá)P點。這樣分成的環(huán)形帶叫做菲涅耳半波帶。二、合振幅的計算以 分別表示各半波帶發(fā)出的次波在P點所產(chǎn)生的振幅，k個半波帶所發(fā)次波到達(dá)P點時疊加的結(jié)果，其合振幅 為圖2-4按惠菲原理：為了計算 ，我們看下面的球冠，其面積為而將上列兩式分別微分，得則 因為 ，可將 視作 ，而ds即為半波帶的面積，于是 由此可知 與k無關(guān)。即

6、它對每個半波帶都是相同的。影響 大小的因 素中只剩下傾斜因子 ，從一個半波帶到鄰近一個半波帶， 的數(shù)值變化甚微，因而 和 隨k的增加而緩慢地減小。奇數(shù)時取正號，偶數(shù)時取負(fù)號。 圖2-524 菲涅耳衍射（圓孔和圓屏）一、圓孔衍射 將一束光投射在一個小圓孔上，在距孔12m處放置一塊毛玻璃屏，觀察小圓孔的衍射花樣。圖2-6 （1） 還有關(guān)系 （2） （3） 將（2）和（3）代入（1）如果用平行光照射圓孔， 則P點合振幅的大小取決于露出的帶數(shù)k，而當(dāng)波長及圓孔的位置和大小都給定時，k取決于觀察點P的位置，k為奇數(shù)相對應(yīng)的那些點，合振幅Ak較大，與k為偶數(shù)相對應(yīng)的那些P點，Ak較小。這個結(jié)果很容易用實驗

7、來證實。如果不用光闌，相當(dāng)于圓孔的半徑為無限大， 為無限小，此時P點的 合振幅為 ，即沒有遮蔽的整個波面對P點的作用等于一個波帶 在該點的作用的一半，因為波帶的面積非常小。如：=5000， R= =1m。第一個波帶的面積約為 ，半徑約為 。所以沒有遮避的整個波面的光能的傳播，幾乎可以看作沿OP直線進(jìn)行，這也是一般把光視作直線傳播的緣由。P點離開光源越遠(yuǎn)，a愈小，光強(qiáng)愈弱。在此情況下屏沿著對稱軸線前進(jìn)時，不發(fā)生上述某些點較強(qiáng)某些點較弱的現(xiàn)象。如果圓孔的半徑具有一定的大小，觀察點P的位置僅使波面上露出第一個帶，則 A1=a1 與沒有光闌時比較，振幅是二倍，光強(qiáng)則增加到四倍。所以光在通過圓孔以后到達(dá)

8、任一點時的光強(qiáng)，不能夠單獨由光源到該點的距離來決定，還取決于圓孔的位置及大小，只當(dāng)圓孔足夠大，使 小到可以略去不計時，才和光的直線傳播概念所推得的結(jié)果一致。所有這些討論都假定0是理想的點光源，但實際的光源都有一定的大小，光源的每點各自產(chǎn)生它自己的衍射花樣，它們是不相干的，光源的線度應(yīng)小到使光源上某些點所產(chǎn)生的亮條紋不致落到另外一些點所產(chǎn)生的暗條紋上去。否則由于不相干疊加，衍射花樣就會完全模糊了，通常情況不會產(chǎn)生衍射花樣，正是由于這個緣故。二、圓屏衍射圖2-7我們討論一下點光源發(fā)出的光通過圓屏邊緣時的衍射現(xiàn)象。0為點光源，光路上有一不透明的圓屏，現(xiàn)在先討論P點的振幅。設(shè)圓屏遮蔽了開始的k個帶。于

9、是從第k+1個帶開始，所有其余的帶發(fā)的次波都能到達(dá)P點。把所有這些帶的次波疊加起來，可得P點的合振幅為：即不論圓屏的大小和位置怎樣，圓屏幾何影子的中心永遠(yuǎn)有光。不過圓屏的面積越小時，被遮蔽的帶的數(shù)目就越小，因而 就越大，到達(dá)P點的光就越強(qiáng)。變更圓屏和光源之間或圓屏和P之間的距離時，k也將因之改變，因而也將影響P點的光強(qiáng)。如果圓屏足夠小，只遮住中心帶的一小部分，則光看起來可完全繞過它，除了圓屏影子中心有亮點外沒有其它影子。這個初看起來似乎是荒謬的結(jié)論，是泊松于1818年在巴黎科學(xué)院研究菲涅耳的論文時把它當(dāng)作菲涅耳論點謬誤的證據(jù)提出來的。但阿喇果做了相應(yīng)的實驗，證實了菲涅耳的理論的正確性。 三、菲

10、涅耳波帶片 根據(jù)以上的討論，可以看到圓屏的作用能使點光源造成實象，可以設(shè)想它和一塊匯聚透鏡相當(dāng)。另一方面，從菲涅耳半波帶的特征來看，對于通過波帶中心而與波帶面垂直的軸上一點來說，圓孔露出半波帶的數(shù)目k可為奇數(shù)或偶數(shù)。如果設(shè)想制造這樣一種屏，使它對于所考查的點只讓奇數(shù)半波帶或只讓偶數(shù)半波帶透光。這樣在考查點處振動的振幅為這樣做成的光學(xué)元件叫做菲涅耳波帶片。各菲涅耳半波帶的半徑正比于序數(shù)k的平方根，所以波帶片可按如下方法制作，先在繪圖紙上畫出半徑正比于序數(shù)k的平方根的一組同心圓，把相間的波帶涂黑，然后用照相機(jī)拍射在底片上，該底片即為波帶片。還可做成長條形、方形波帶片。如果某一點波帶片對考查點露出前

11、5個奇數(shù)半波帶，則考查點的振幅為這是不用光闌時振幅的10倍，光強(qiáng)則為100倍。如果以偶數(shù)個波帶代替，上述結(jié)果也成立。由于波帶片能使點光源成一實象，故它有類似于透鏡成象的功用，其物距R和象距 所遵從的關(guān)系和透鏡的物象公式相仿。和一般的匯聚透鏡一樣，波帶片也有它的焦距，透鏡的焦距就是發(fā)光點在無限遠(yuǎn)時的象距。令，得 即 和薄透鏡的物象公式完全相似。波帶片的焦距取決于波帶片通光孔的半徑 、k 和 。由于波帶片的焦聚和光波波長有密切的關(guān)系，色差大。由于波帶片尚有 焦距存在，波帶片成象的情況與透鏡成象的情況也有所不同。對于給定的物點，對應(yīng)于不同的焦距，波帶片可以給出多個象點。 圖2-8四、直線傳播和衍射的

12、關(guān)系上一章討論光的干涉現(xiàn)象時，僅注意到兩束或多束相干光光波整束的疊加，沒有考略到每一光束中波面上所有各點發(fā)出的次波的疊加。當(dāng)時實際上是假定每束光是直線傳播的。 但是，楊氏實驗等用小孔或狹縫來割光束時，不考略次波的疊加是不夠準(zhǔn)確的。以后將會看到，無論光束截面積大小怎樣，這種次波作用總是存在。惠菲原理主要是指出了同一光波面上所有各點所發(fā)次波在某一觀察點的疊加。例如：當(dāng)波面完全不遮蔽時，所有次波在任何觀察點的疊加的結(jié)果形成光的直線傳播。如果說波面不完整，以致這些部分所發(fā)次波不能到達(dá)觀察點，疊加時缺少了這些部分次波的參加，便發(fā)生了有明暗條紋花樣的衍射現(xiàn)象。至于衍射現(xiàn)象是否顯著，則和障礙物的線度及觀察的

13、距離有關(guān)。總之不論是否直線傳播，也不論有無顯著的衍射花樣出現(xiàn)，光的傳播總是按照惠菲原理的方式進(jìn)行。所以，衍射現(xiàn)象是光的波動特性最基本的表現(xiàn)。光的直線傳播不過是衍射現(xiàn)象的極限表現(xiàn)而已。這樣，通過惠菲原理的解釋，進(jìn)一步揭示了光的直線傳播和衍射現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系。25 菲涅耳直邊衍射邁干涉儀用 的鈉黃光觀察，視場中心為亮點，此外還能看到10個亮環(huán)。今移動一臂中的反射鏡，發(fā)現(xiàn)有10個亮環(huán)向中心收縮而消失，即中心級次減小10，此時視場中除中央亮點外還剩5個亮環(huán)，求開始中央干涉級，移動后最外干涉級。 圖2-9圖2-1026 夫瑯和費單縫衍射一、實驗裝置與衍射花樣的特點圖2-11衍射花樣是明暗相間的條紋 二、強(qiáng)

14、度的計算 設(shè)光波的初位相為零，b為縫 的寬度，A0為整個狹縫所發(fā)次波 在 的方向上的總振幅，狹縫上單位寬度的振幅為 ，而寬度dx的窄條上次波的振幅為 ， 圖2-12則狹縫處各窄帶所發(fā)次波的振動可用下式表示： 令 三、衍射花樣的強(qiáng)度分布決定衍射花樣中光強(qiáng)最大值和最小值的位置圖2-13（1） 點處 這里各個次波位相差為零，所以振幅疊加相互加強(qiáng)。（2）單縫衍射最小值的位置。（3）單縫衍射次最大的位置 在每兩個相鄰最小值之間有一個最大值，這些最大值的位置由 這一超越方程決定，可用圖解法求解。=0屏上這些點是暗的。 四、單縫衍射花樣的特點（1）各級最大值光強(qiáng)不相等，第一級次最大值不到中央最大值的5%。（

15、2）亮條紋到透鏡中心所張的角度稱為角寬度，中央亮條紋的角寬度等于其它亮條紋角寬度的二倍。若L2的焦距為 ，則中央亮條紋的線寬度為（3）暗紋是等間距的，次最大值則是不等間距的。（4）如用白光作為光源，中央亮紋的中心仍是白色的，但由于條紋的寬度是波長的函數(shù)，所以中央亮紋的邊緣伴有色彩，其它各彩色條紋則逐次重疊展開。（5）縫寬b對衍射花樣產(chǎn)生的影響： 中央最大值的半角寬度 ，隨著縫的加寬， 的值減小，在 的極限情況下， ，衍射花樣壓縮為一條亮線，這條亮線正好是沒有障礙時光源經(jīng)透鏡L1、L2后所成的象，由此可見，障礙物使光強(qiáng)分布偏離幾何光學(xué)規(guī)律的程度，可以用中央最大值的半角寬度來衡量，只有在 ，衍射現(xiàn)

16、象才可忽略不計。（6） 稱為衍射反比率，限制范圍越緊，擴(kuò)展現(xiàn)象越顯著，在何 方限制，就在該方向擴(kuò)展。有著深該的物理、哲學(xué)意義。27 夫瑯和費圓孔衍射圖2-14圖2-15中央最大值位置：最小值的位置為 最大值的相對強(qiáng)度為 中央亮點稱為愛里斑半角寬度為愛里斑的半徑為 愛里斑的半徑為 28 平面衍射光柵一、實驗裝置衍射光柵：任何具有空間周期性的衍射屏。 稱為光柵常數(shù)圖2-16 二、光柵衍射的強(qiáng)度分布圖2-17三、光柵方程 上式表示衍射光柵所產(chǎn)生譜線的位置，這個重要的公式稱為光柵方程。J 稱為譜線級數(shù)，使用光柵時，若測得衍射角 ，根據(jù)上式，即可算出所用光波的波長。圖2-18如平行光束傾斜入射到光柵上。

17、圖2-19（：表示相鄰兩縫對應(yīng)點的光程差，據(jù)此解釋上表的公式變動）。四、譜線的半角寬度Nd愈大， 愈小，譜線愈窄，銳度愈好。五、譜線的缺級當(dāng)d=nb時：（n=2,3,4,） 暗 明n=3 缺級。六、譜線的特點（1）與單縫衍射花樣相比，多縫衍射的花樣中出現(xiàn)一系列強(qiáng)度最大值和最小值，其中那些較強(qiáng)的亮線叫做主最大，較弱的亮線叫次最大。（2）主最大的位置同縫數(shù)N元關(guān)，但它們的寬度隨N的增大而減小，其強(qiáng)度正比于 。（3）相鄰的主最大之間有N-1條暗紋和N-2個次最大。（4）強(qiáng)度的分布中保留了單縫衍射的因子。七、雙縫衍射及干涉和衍射的區(qū)別與聯(lián)系那時實際上我們是假定了 的。這一條件很難滿足，以前的討論只是一種近似，實際是一種被單縫衍射調(diào)制的雙縫干涉條紋。在分析光柵衍