大數(shù)定理及中心極限定理

1、大數(shù)定理及中心極限定理第1頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望與方差 數(shù)學(xué)期望又稱期望或均值，是隨機(jī)變量所有可能取值的平均水平，代表隨機(jī)變量分布的集中趨勢(shì)，一般用E(X)或表示。 數(shù)學(xué)期望有如下性質(zhì)： 1)若C為常數(shù)，則有E(C)=C; 2)若X是一個(gè)隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則有E(CX)=CE(X); 3)若X、Y是兩個(gè)任意隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4)若X、Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY)=E(X)E(Y)第2頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量方差是每一個(gè)隨機(jī)變

2、量可能取值與期望值的離差的平方的期望值，是用來(lái)反映隨機(jī)變量取值的離散程度，一般用D(x)或2表示，即 D（X）= 2 =E X-E（X）2 =E（X2）-E（X）2 標(biāo)準(zhǔn)差= D（X） 方差基本性質(zhì)： 1）若C為常數(shù)，則有D（C）=0； 2）若X是一個(gè)隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則D（CX）=C2D（X） D（X+C）=D（X） 3）若X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 D（X+Y）=D（X）+D（Y）第3頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的期望及方差 若隨即變量為有限個(gè)值：x1，x2，xn，其對(duì)應(yīng)的概率分別是p1，

3、p2， ，pn，其中，pi0， =1，則數(shù)學(xué)期望為 E （X）= =X1P1+X2P2+XnPn= 若隨即變量為有限個(gè)值：x1，x2，xn， ，其對(duì)應(yīng)的概率分別是p1，p2， ，pn，其中，pi0， =1，則數(shù)學(xué)期望為第4頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的期望及方差 E（X）= =X1P1+X2P2+XnPn= 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若EX-E（X）2存在，則它是X的方差，記為D（X）或2 即 D（X）= EX-E（X）2 =E（X2）-E（X）2 第5頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征兩

4、點(diǎn)分布的數(shù)字特征 若隨即變量XB（1，p）則 E（X）=p D（X）=pq （q=1-p）二項(xiàng)分布的數(shù)字特征 若隨機(jī)變量XB（n，p）則 E（X）=np D（X）=npq （q=1-p）幾何分布的數(shù)字特征 若隨即變量XG（p） 則 E（x）=1/p D（X）=q/p2 （q=1-p）第6頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征泊松分布的數(shù)字特征 若隨即變量XP（）則 E（X）= D（X）= 超幾何分布的數(shù)字特征 若隨即變量XH（）則 E（X）= D（X）=NnMN2(N-1)n(N-n)(N-M)M第7頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，

5、星期二一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 對(duì)于隨機(jī)變量X，如果它的密度函數(shù)為非負(fù)函數(shù)f（x），若積分 絕對(duì)收斂，則 E（x）= D（X）=第8頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征均勻分布的數(shù)字特征 均勻分布的隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為 f（x）= 那么數(shù)學(xué)期望E（x）= 方差為 0b-a1axbxa或xb=第9頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征指數(shù)分布的數(shù)字特征 指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為 f（x）= 則有數(shù)學(xué)期望 E（x）= 方差為 0 x0第10頁(yè)，

6、共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征正態(tài)分布數(shù)字特征 正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為E(X) =D(X)=2第11頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二二、大數(shù)定理及中心極限定理大數(shù)定理 定理1 （貝努利大數(shù)定理）設(shè)n次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)為m，事件A在每次試驗(yàn)中的發(fā)生的概率為p，則對(duì)于任意正數(shù)，有： 定理2（切比雪夫大數(shù)定理）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，相互獨(dú)立，且服從同一分布，它們的數(shù)學(xué)期望E（Xk）=，方差D（X）=2，（K=1，2，3，）則對(duì)任意正數(shù)，有：第12頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二

7、二、大數(shù)定理及中心極限定理中心極限定理 設(shè)X1，X2，Xn是具有相同分布且相互獨(dú)立的一列隨機(jī)變量，當(dāng)n 時(shí)，對(duì)任意X有：定理表明，當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量 的分布漸進(jìn)服從期望和方差分別為n和n2的正態(tài)分布N(n， n2)第13頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二二、大數(shù)定理及中心極限定理上述定理的推論推論表明，當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量 的分布漸進(jìn)服從期望和方差分別為和2/n的正態(tài)分布N (，2/n)n第14頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二二、大數(shù)定理及中心極限定理 例 4-20 在n重貝努利試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的概率為p，隨機(jī)變量Xk定義如下： Xk =

8、 （k=1，2，3），若Xk相互獨(dú)立，且n較大，求n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)在a到b（0ab）之間的概率01在第k次試驗(yàn)中A不發(fā)生在第k次試驗(yàn)中A發(fā)生第15頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二三、統(tǒng)計(jì)量及其分布樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量 樣本函數(shù)： g=g（x1，x2，xn） 統(tǒng)計(jì)量：如果g中不含任何參數(shù)，則稱g=g（x1， X2 ， ，xn）為一統(tǒng)計(jì)量。 例如，設(shè)（x1，x2，xn）是取自正態(tài)分布N（，2）的樣本，若，2已知，則樣本函數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量；若，2有未知的呢？ 統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，有其自己的概率分布，其概率分布通常稱為抽樣分布x-第16頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20

9、日，14點(diǎn)36分，星期二三、統(tǒng)計(jì)量及其分布樣本均值的分布 設(shè)總體X N（，2），（x1， X2 ，xn）是X的一個(gè)樣本。由于這些樣本相互獨(dú)立，且與總體同分布，可得樣本平均值 的抽樣分布仍為正態(tài) 分布，其數(shù)學(xué)期望和方差分別是 即第17頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二三、統(tǒng)計(jì)量及其分布 問(wèn)題：若X的分布不是正態(tài)分布，則均值例4-21 一汽車蓄電池商，聲稱其生產(chǎn)的電池具有均值54個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差為6個(gè)月的壽命分布?，F(xiàn)消費(fèi)者團(tuán)體決定檢驗(yàn)該廠的說(shuō)法是否正確，為此購(gòu)買了50個(gè)該廠生產(chǎn)的電池進(jìn)行檢驗(yàn) （1）假定廠商聲稱是正確的，試描述50個(gè)電池的平均 壽命的抽樣分布 （2）假定廠商聲稱

10、是正確的，則50個(gè)電池組成的樣本的平均壽命達(dá)不到52個(gè)月的概率是多少服從什么分布？第18頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二三、統(tǒng)計(jì)量及其分布 分布 設(shè)x1，x2，xn是幾個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且每一隨機(jī)變量xi（i=1，2， ，n）都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即xiN（0，1）， 則隨機(jī)變量 的分布稱為服從自由度 為n的 分布。記為2第19頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二三、統(tǒng)計(jì)量及其分布 分布密度函數(shù)為 注意：1）自由度n是指 變量中所含的獨(dú)立隨即變量xi（i=1，2，n）的個(gè)數(shù) 2） 分布中的 是伽馬函數(shù)，其值等于參數(shù)為n/2 的廣義積分 0

11、 x0 x0第20頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二三、統(tǒng)計(jì)量及其分布 函數(shù)是以0為參數(shù)的廣義積分，其定義是： 函數(shù)具有以下性質(zhì)： 1）對(duì)于參數(shù) 有 2）對(duì)于任意正整數(shù)n，有 3） ！第21頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二三、統(tǒng)計(jì)量及其分布 分布性質(zhì) 性質(zhì)：1）若X ，則均值E（X）=n，方差D（X） =2n 2）若X1，X2相互獨(dú)立，且X1 ，X2 則（ X1 +X2 ）n=10n=4n=3n=2n=1第22頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二三、統(tǒng)計(jì)量及其分布t分布 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，而且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即

12、XN（0，1），Y服從自由度為n的 ，即Y ，則稱隨機(jī)變量t= 服從自由度為n的t分布，記為t（n）。XN（0，1) t(10)t(2) t分布t（n）的數(shù)學(xué)期望和方差分別為=0，2=n/（n-2）第23頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二三、統(tǒng)計(jì)量及其分布F分布 設(shè)隨機(jī)變量X ，Y 且X與Y相互獨(dú) 立，則隨機(jī)變量F= 的分布稱為自由度為（n，m）的F的分布，并記為FF（n，m）。 F（n，m）分布的數(shù)學(xué)期望和方差 =m/（m-2）（m2） 2= （m4） X/nY/m2m2（n+m-2）n（m-2）2（m-4）第24頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二三、統(tǒng)計(jì)量及其分布F分布密度函數(shù)性質(zhì)F（6，10）F（6.20）F1-（n，m）=1F（n，m）第25頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)36分，星期二查表練習(xí)：F0.05(9,12);F0.95(15,10);t0.05(10);t0.95(10);t(n）P t