概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第8章

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第8章概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第8章 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多，例如影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對產(chǎn)量有顯著影響，就要先做試驗，然后對測試結(jié)果進(jìn)行分析，作出判斷。方差分析就是分析測試結(jié)果的一種方法。引 言 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：影基 本 概 念 試驗指標(biāo)試驗結(jié)果。 可控因素在影響試驗結(jié)果的眾多因素中，可人為 控制的因素。水平可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個 水平又稱為試驗的一個處理。單因素試驗如果在一項試驗中只有一個因素改變， 其它

2、的可控因素不變，則該類試驗稱為 單因素試驗?；?本 概 念 試驗指標(biāo)試驗結(jié)果。 可控因素在影響試引例 例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機抽樣，測量其使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)如下： 燈泡壽命燈絲12345678甲1600 161016501680170017201800乙15801640164017001750丙14601550160016201640174016601820丁151015201530157016801600引例 例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制燈泡的使用壽命試驗指標(biāo) 燈絲的配料方案試驗因素（唯一

3、的一個） 四種配料方案（甲乙丙?。┧膫€水平 因此，本例是一個四水平的單因素試驗。 引 例 用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為四個總體。假設(shè)X1，X2，X3，X4相互獨立，且服從方差相同的正態(tài)分布，即XiN（i，2）（i=1，2，3，4）本例問題歸結(jié)為檢驗假設(shè) H0：1= 2= 3= 4 是否成立 燈泡的使用壽命試驗指標(biāo) 燈絲的配料方案試驗因素（唯一 我們的目的是通過試驗數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不同水平對試驗指標(biāo)是否有影響。 設(shè) A 表示欲考察的因素，它的 個不同水平，對應(yīng)的指標(biāo)視作 個總體 每個水平下,我們作若干次重復(fù)試驗： （可等重復(fù)也可不等重復(fù)），同一水平的 個結(jié)果，就

4、是這個總體 的一個樣本： 單因素試驗的方差分析因此，相互獨立，且與 同分布。 我們的目的是通過試驗數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不單因素試驗資料表其中諸 可以不一樣，水平重復(fù) 1. ni（水平組內(nèi)平均值）（總平均值）試驗結(jié)果單因素試驗資料表其中諸 可以不一樣，水平重復(fù) 1（ 縱向個體間的差異稱為隨機誤差（組內(nèi)差異），由試驗造成；橫向個體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。品種重復(fù)123例：五個水稻品種單位產(chǎn)量的觀測值P165 縱向個體間的差異稱為隨機誤差（組內(nèi)差異），由 由于同一水平下重復(fù)試驗的個體差異是隨機誤差，所以設(shè)：其中 為試驗誤差，相互獨立且服從正態(tài)分布線性統(tǒng)計模型 單因素

5、試驗的方差分析的數(shù)學(xué)模型具有方差齊性。相互獨立，從而各子樣也相互獨立。首先，我們作如下假設(shè)： 即 由于同一水平下重復(fù)試驗的個體差異是隨機誤差，所以設(shè)：令 （其中 ）稱為一般平均值。稱為因素A的第 個水平 的效應(yīng)。則線性統(tǒng)計模型變成于是檢驗假設(shè)： 等價于檢驗假設(shè)： 顯然有： 整個試驗的均值 令 （其中 考察統(tǒng)計量經(jīng)恒等變形，可分解為：其中組間平方和（系統(tǒng)離差平方和）反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。如果H0 成立，則SSA 較小。若H0成立，則總離差平方和 見書P168 其中 考察統(tǒng)計量經(jīng)恒等變形，可分解為：其中組間平方和（系統(tǒng)離差平方組內(nèi)平方和誤差平方和這里反映的是重復(fù)試驗種隨機誤差

6、的大小。表示水平Ai的隨機誤差； 表示整個試驗的隨機誤差組內(nèi)平方和這里反映的是重復(fù)試驗種隨機誤差的大小。表示水平Ai若假設(shè) 成立，則 由P106定理5.1可推得：將 的自由度分別記作則（記 ，稱作均方和）（各子樣同分布） 若假設(shè) 則（記 ，稱作均方和）對給定的檢驗水平 ，由得H0 的拒絕域為：F 單側(cè)檢驗 結(jié)論：方差分析實質(zhì)上是假設(shè)檢驗，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計量，對同方差的多個正態(tài)總體的均值是否相等進(jìn)行假設(shè)檢驗。單因素試驗中兩個水平的均值檢驗可用第七章的T檢驗法。思考：為什么此處只做單側(cè)檢驗？ 則（記 （1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時作

7、標(biāo)記 ；約 定 （2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響顯著，作標(biāo)記 ；（3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標(biāo)記（ ）；（4）若 ，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計意義）。注意：在方差分析表中，習(xí)慣于作如下規(guī)定：（1）若 ，則稱因素的差異極顯著單因素試驗方差分析表方差來源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和F 值F 值臨介值簡便計算公式：其中同一水平下觀測值之和 所以觀測值之和單因素試驗方差分析表方差來源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和F 例2 P195 2 以 A、B、C 三種飼料喂豬，得一個月后每豬所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。飼料ABC增重51 40

8、43 4823 25 2623 28解： 例2 P195 2 以 A、B、C 三種飼解：解：不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。列方差分析表方差來源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和F 值F 值臨介值不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。列方差分析表方差來源例2的上機實現(xiàn)步驟1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到A，B，C列； 例2的上機實現(xiàn)步驟1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到A，B，C列； 各水平數(shù)據(jù)放同一列各水平數(shù)據(jù)放在不同列2、選擇StatANOVAone-way(unstacked) 各水平數(shù)據(jù)放同一列各水平數(shù)據(jù)放在不同列2、選擇StatAN概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第8章不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計

9、意義。不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第8章定理 在單因素方差分析模型中，有 如果H0不成立，則 所以， 即H0不成立時， 有大于1的趨勢。 所以H0為真時的小概率事件應(yīng)取在F值較大的一側(cè)。 定理 在單因素方差分析模型中，有 如果H0不成立，則 雙因素試驗方差分析雙因素試驗方差分析 雙因素試驗的方差分析 在實際應(yīng)用中，一個試驗結(jié)果（試驗指標(biāo)）往往受多個因素的影響。不僅這些因素會影響試驗結(jié)果，而且這些因素的不同水平的搭配也會影響試驗結(jié)果。 例如：某些合金，當(dāng)單獨加入元素A或元素B時，性能變化不大，但當(dāng)同時加入元素A和B時，合金性能的變化就特別顯著。 統(tǒng)計學(xué)上把多因素不

10、同水平搭配對試驗指標(biāo)的影響稱為交互作用。交互作用在多因素的方差分析中，把它當(dāng)成一個新因素來處理。 我們只學(xué)習(xí)兩個因素的方差分析，更多因素的問題，用正交試驗法比較方便。 雙因素試驗的方差分析 在實際應(yīng)用中，一個試驗無交互作用的雙因素試驗的方差分析 數(shù)學(xué)模型 假設(shè)某個試驗中，有兩個可控因素在變化，因素A有a個水平，記作A1，A2，Aa；因素B有b個水平，記作B1，B2，.Bb；則A與B的不同水平組合AiBj（i=1，2，a；j=1，2，b）共有ab個，每個水平組合稱為一個處理，每個處理只作一次試驗，得ab個觀測值Xij，得雙因素?zé)o重復(fù)實驗表無交互作用的雙因素試驗的方差分析 數(shù)學(xué)模型 雙因素?zé)o重復(fù)（

11、無交互作用）試驗資料表因素 A因素 B雙因素?zé)o重復(fù)（無交互作用）試驗資料表因素 A因素 B 無交互作用的雙因素試驗的方差分析線性統(tǒng)計模型 基本假設(shè)（1） 相互獨立； （2） ，（方差齊性）。其中 所有期望值的總平均 水平Ai對試驗結(jié)果的效應(yīng) 水平Bj對試驗結(jié)果的效應(yīng) 試驗誤差 無交互作用的雙因素試驗的方差分析線性統(tǒng)計模型 基本假設(shè)特性： 水平Ai對試驗結(jié)果的效應(yīng) 水平Bj對試驗結(jié)果的效應(yīng) 試驗誤差 要分析因素A，B的差異對試驗結(jié)果是否有顯著影響，即為檢驗如下假設(shè)是否成立：特性： 水平Ai對試驗結(jié)果的效應(yīng) 水平Bj對試驗結(jié)果的效應(yīng) 總離差平方和的分解定理仿單因素方差分析的方法，考察總離差平方和可

12、分解為：稱為因素A的離差平方和，反映因素 A 對試驗指標(biāo)的影響。稱為因素B的離差平方和，反映因素 B 對試驗指標(biāo)的影響。稱為誤差平方和，反映試驗誤差對試驗指標(biāo)的影響。 總離差平方和的分解定理仿單因素方差分析的方法，考察總離差平可推得：將 的自由度分別記作，則若假設(shè) 成立，則：可推得：將 對給定的檢驗水平 ，F(xiàn) 右側(cè)檢驗時，當(dāng)時，當(dāng)拒絕H01，即A 因素的影響有統(tǒng)計意義。拒絕H02，即B 因素的影響有統(tǒng)計意義。對給定的檢驗水平 ，F(xiàn) 右側(cè)檢驗時，當(dāng)時，當(dāng)拒絕H雙因素（無交互作用）試驗的方差分析表方差來源因素A總和平方和自由度均方和F 值F 值臨介值因素B誤差注意 各因素離差平方和的自由度為水平數(shù)

13、減一，總平方和的自由度為試驗總次數(shù)減一。雙因素（無交互作用）試驗的方差分析表方差來源因素A總和平方和雙因素（無交互作用）試驗的方差分析表簡便計算式：其中：雙因素（無交互作用）試驗的方差分析表簡便計算式：其中：例1 設(shè)甲、乙、丙、丁四個工人操作機器、各一天， 其產(chǎn)品產(chǎn)量如下表，問工人和機器對產(chǎn)品產(chǎn)量是否有顯著 影響？工人 A機器 B甲 乙 丙 丁 例1 設(shè)甲、乙、丙、丁四個工人操作機器、各一天，工解 基本計算如原表 解 基本計算如原表 結(jié)論：工人對產(chǎn)品的產(chǎn)量有顯著影響，機器對產(chǎn)品的產(chǎn)量有極顯著影響。 結(jié)論：工人對產(chǎn)品的產(chǎn)量有顯著影響，例1的上機操作對應(yīng)例1 的數(shù)據(jù)輸入方式原始數(shù)據(jù)，行因素水平，列

14、因素水平例1的上機操作對應(yīng)例1 的數(shù)據(jù)輸入方式原始數(shù)據(jù)，行因素水平，概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第8章概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第8章*在 下接受，在 下否決在 下否決（A）（B）工人對產(chǎn)品產(chǎn)量有顯著影響，而機器對產(chǎn)品產(chǎn)量的影響極顯著。*在 下接受，在 有交互作用的雙因素試驗的方差分析線性統(tǒng)計模型 基本假設(shè)（1） 相互獨立； （2） ，（方差齊性）。 有檢驗交互作用的效應(yīng)，則兩因素A，B的不同水平的搭配必須作重復(fù)試驗。 處理方法：把交互作用當(dāng)成一個新因素來處理，即把每種搭配AiBj看作一個總體Xij。觀測值總平均 因素A的效應(yīng) 因素B的效應(yīng) 交互作用的效應(yīng) 試驗誤差 有交互作用的雙因素試驗的方差分析線性統(tǒng)計

15、模型 基本假設(shè) 有交互作用的雙因素試驗的方差分析線性統(tǒng)計模型 其中 所有期望值的總平均 水平Ai對試驗結(jié)果的效應(yīng) 水平Bj對試驗結(jié)果的效應(yīng) 試驗誤差 交互效應(yīng) 有交互作用的雙因素試驗的方差分析線性統(tǒng)計模型 其中 特性： 要判斷因素A，B及交互作用AB對試驗結(jié)果是否有顯著影響，即為檢驗如下假設(shè)是否成立：特性： 要判斷因素A，B及交互作用AB對試 總離差平方和的分解定理仿單因素方差分析的方法，考察總離差平方和可分解為： SSA稱為因素A的離差平方和，反映因素 A 對試驗指標(biāo)的影響。 SSB稱為因素B的離差平方和，反映因素 B 對試驗指標(biāo)的影響。SSAB稱為交互作用的離差平方和，反映交互作用AB對試

16、驗指標(biāo)的影響。SSE稱為誤差平方和，反映試驗誤差對試驗指標(biāo)的影響。 總離差平方和的分解定理仿單因素方差分析的方法，考察總離差平 若“各因素、各水平及其交互作用的影響無統(tǒng)計意義”的假設(shè) 成立，則 則可推得： 由 作右側(cè)假設(shè)檢驗來考察各因素及因素間的交互作用對試驗指標(biāo)的影響力. 若“各因素、各水平及其交互作用的影響無統(tǒng)計意義雙因素有重復(fù)（有交互作用）試驗資料表因素 A因素 B雙因素有重復(fù)（有交互作用）試驗資料表因素 A因素 B雙因素（有重復(fù)）試驗方差分析表方差來源因素A總和平方和自由度均方和F 值F 值臨介值因素B誤差各離差平方和的計算公式參看出P180_181這里雙因素（有重復(fù)）試驗方差分析表方

17、差來源因素A總和平方和自由度例3 P183 例題2因素A（能量）因素 B（蛋白質(zhì)）例3 P183 例題2因素A（能量）因素 B（蛋白質(zhì)）輸入數(shù)據(jù)時，C2表示行因素水平，C3表示列因素水平。第幾次重復(fù)不必列明，軟件自會識別。輸入數(shù)據(jù)時，C2表示行因素概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第8章概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第8章概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第8章結(jié)果顯示如P185均0.01飼料中能量的高低、蛋白質(zhì)含量的不同及兩者的交互作用對魚的體重的影響極有統(tǒng)計意義。結(jié)果顯示如P185均0.01飼料中能量的高低、蛋白質(zhì)含量的各因素，各水平，各交互作用下的均值。各因素，各水平，各交互作用下的均值。作業(yè) P195 3 4（借助軟件完成

18、） 預(yù)習(xí)第三節(jié) 正交試驗設(shè)計 及其統(tǒng)計分析 作業(yè) P195 正交試驗設(shè)計正交試驗設(shè)計 引言 試驗設(shè)計是數(shù)理統(tǒng)計中的一個較大的分支，它的內(nèi)容十分豐富。我們簡介正交試驗設(shè)計。 正交試驗設(shè)計是利用“正交表”進(jìn)行科學(xué)地安排與分析多因素試驗的方法。其主要優(yōu)點是能在很多試驗方案中挑選出代表性強的少數(shù)幾個試驗方案，并且通過這少數(shù)試驗方案的試驗結(jié)果的分析，推斷出最優(yōu)方案，同時還可以作進(jìn)一步的分析，得到比試驗結(jié)果本身給出的還要多的有關(guān)各因素的信息。 引言 試驗設(shè)計是數(shù)理統(tǒng)計中的一個較大的分支 正交表是一種特別的表格，是正交設(shè)計的基本工具。我們只介紹它的記號、特點和使用方法。 正交表的記號及含義記號及含義 正交表

19、的列數(shù)（最多能安排的因素個數(shù)，包括交互作用、誤差等）正交表的行數(shù)（需要做的試驗次數(shù)）各因素的水平數(shù)（各因素的水平數(shù)相等）q正交表的代號 正交表是一種特別的表格，是正交設(shè)計的基本工具如 表示 ？表示各因素的水平數(shù)為2，做8次試驗，最多考慮7個因素（含交互作用）的正交表。如 表示 ？表示各因素的水平數(shù)為2， 正交表的特點1、正交表中任意一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等；表示：在試驗安排中，所挑選出來的水平組合是均勻 分布的（每個因素的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同） 均衡分散性2、正交表中任意兩列，把同行的兩個數(shù)字看成有序數(shù) 對時，所有可能的數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同。表示：任意兩因素的各種水平的搭配在所選試驗中出

20、現(xiàn) 的次數(shù)相等 整齊可比性這是設(shè)計正交試驗表的基本準(zhǔn)則 正交表的特點1、正交表中任意一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù) 正交試驗設(shè)計的基本步驟 確定目標(biāo)、選定因素（包括交互作用）、確定水平；2. 選用合適的正交表；3. 按選定的正交表設(shè)計表頭，確定試驗方案；4. 組織實施試驗；5. 試驗結(jié)果分析。 正交試驗設(shè)計的基本步驟 確定目標(biāo)、選定因素（包括交互作用） 例1 為了解決花菜留種問題，以進(jìn)一步提高花菜種子的產(chǎn)量和質(zhì)量，科技人員考察了澆水、施肥、病害防治和移入溫室時間對花菜留種的影響，進(jìn)行了四個因素各兩個水平的正交試驗，各因素及其水平如下表：因素水平1水平2A：澆水次數(shù)不干死為原則，整個生長期只澆水1

21、2次根據(jù)生長需水量和自然條件澆水，但不過濕B：噴藥次數(shù)發(fā)現(xiàn)病害即噴藥每半月噴一次C：施肥次數(shù)開花期施硫酸銨進(jìn)室發(fā)根期、抽薹期、開花期和結(jié)果期各施肥一次D：進(jìn)室時間11月初11月15日 例1 為了解決花菜留種問題，以進(jìn)一步提高花菜解 第一步：選擇適當(dāng)?shù)恼槐?這是一個四因素兩水平的正交試驗及分析問題，因此要選擇型的表，且不考慮交互作用時， ， 仍然是滿足條件的最小的正交表，所以選用正交表 注：也可由試驗次數(shù)應(yīng)滿足的條件來選擇正交表。 若考慮A與B、A與C的交互作用，則 ，而 是滿足條件的最小的正交表，所以還可選用正交表 解 第一步：選擇適當(dāng)?shù)恼槐?這是一個四其中：由 確定。是可求出的，而 是未

22、知的，當(dāng)不考慮交互作用時：可取故 N 不是唯一的。試驗次數(shù)N的確定原則 所以一般地，由 確定 N，其中：由 確定。是 如三因素四水平 43 的正交試驗至少應(yīng)安排次以上的試驗。 如三因素四水平 43 并包括第一、二個因素的交互作用的正交試驗至少應(yīng)安排的試驗次數(shù)為 若再加上包括第一、五個因素的交互作用的正交試驗則至少應(yīng)安排的試驗次數(shù)為次以上的試驗。 又如安排 的混合水平的正交試驗至少應(yīng)安排所以一般地，有 如三因素四水平 43 的正交試驗至少應(yīng)安排次以上的試驗。 第二步 表頭設(shè)計查交互作用表 表示位于第二、第四列的兩因素的交互作用要放于第六列。如P190 L8（27）的交互作用表列號 1 2 3 4

23、 5 6 7 1 （1） 3 2 5 4 7 6 2 （2） 1 6 7 4 5 3 （3） 7 6 5 4 4 （4） 1 2 3 5 （5） 3 2 6 （6） 1 注意：主效應(yīng)因素盡量不放交互列。如A、B因素已放C1、C2列，則C 因素就不放C3列。第二步 表頭設(shè)計查交互作用表 表示位于第花菜留種的表頭設(shè)計列號 1 2 3 4 5 6 7因子考慮交互作用AB和AC，則例1的表頭可設(shè)計為 注：第6列為空白列，當(dāng)隨機誤差列；也可把第7列作空白列。一般要求至少有一個空白列。按正交表 得試驗方案： 只需將各列中的數(shù)字“1”、“2”分別理解為所填因素在試驗中的水平數(shù)，每一行就是一個試驗方案?；ú肆?/p>

24、種的表頭設(shè)計列號 1 2 第三步 按所選定的正交試驗方案組織試驗，記錄試驗 結(jié)果； 見P192 表8-22 水 列平 號試驗號ABAXBCAXCD產(chǎn)量12345671111111135021112222325312211224254122221142552121212200621221212507221122127582212112375第三步 按所選定的正交試驗方案組織試驗，記錄試驗見P19 第四步 分析正交試驗結(jié)果方法1 直觀分析（極差分析） （1）計算極差，確定因素的主次順序 第j列的極差 或 極差越大，說明這個因素的水平改變對試驗結(jié)果的影響越大，極差最大的那個因素，就是最主要的因素。對例1來說，各因素的主次順序為 第四步 分析正交試驗結(jié)果方法1 直觀分析（極差分析）（2）確