《高等數(shù)學》第七章5平面及其方程課件

1、高等數(shù)學第七章5平面及其方程高等數(shù)學第七章5平面及其方程混合積:2. 向量關系:混合積:2. 向量關系:2. 向量關系:兩向量夾角余弦2. 向量關系:兩向量夾角余弦第五節(jié)一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角平面及其方程 第七章 第五節(jié)一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角一、平面的點法式方程設一平面通過已知點且垂直于非零向稱式為平面的點法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有 故一、平面的點法式方程設一平面通過已知點且垂直于非零向稱式例1.求過三點即解: 取該平面 的法向量為的平面 的方程. 利用點法式得平面 的方程P326-2例1.求過三點即解: 取該平面

2、的法向量為的平面 的方此平面的三點式方程也可寫成 一般情況 :過三點的平面方程為說明:此平面的三點式方程也可寫成 一般情況 特別,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程. 時,平面方程為 分析:利用三點式 按第一行展開得 即特別,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.二、平面的一般方程設有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程與此點法式方程等價, 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程.二、平面的一般方程設有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面特殊情形 當 D = 0 時, A x + B y

3、+ C z = 0 表示 通過原點的平面; 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.特殊情形 當 D = 0 時, A x + B y + 例2. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.例3.用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.解:因平面通過 x 軸 ,

4、設所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程(P327 例4 , 自己練習) P327-3例2. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的三、兩平面的夾角設平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.三、兩平面的夾角設平面1的法向量為 平面2的法向量為特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：因此有例4. 一平面通過兩點垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解: 設所求平面的法向量為即的法向量約去C , 得即和則所求平面故方程為 且P328-6因此有例4. 一平面通過兩點垂直于平面: x + y + 外一點,求例5.

5、設解:設平面法向量為在平面上取一點是平面到平面的距離d .,則P0 到平面的距離為(點到平面的距離公式)P329-7外一點,求例5. 設解:設平面法向量為在平面上取一點是平面到例6.解: 設球心為求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標面所構成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.從而例6.解: 設球心為求內(nèi)切于平面 x + y + z = 內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點法式截距式三點式內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點法式截距式三點式2.平面與平面之間的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:2.平面與平面之間的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:作業(yè)P330 2 , 6 , 7 , 9作業(yè)備用題求過點 且垂直于二平面