2009年北京高考文科數(shù)學試卷及答案

1、2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（文史類）（北京卷）本試卷分第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第卷3至9頁，共150分?？荚嚂r間120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題 共40分）注意事項： 1答第I卷前，考生務(wù)必將答題卡上的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆填寫，用2B鉛筆將準考證號對應(yīng)的信息點涂黑。 2每小題選出答案后，將答題卡上對應(yīng)題目的答案選中涂滿涂黑，黑度以蓋住框內(nèi)字母為準，修改時用橡皮擦除干凈。在試卷上作答無效。一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1設(shè)集合，則 （ ） A

2、 BC D【答案】A【解析】本題主要考查集合的基本運算以及簡單的不等式的解法. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.， ，故選A.2已知向量，如果，那么 A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向【答案】D.w【解析】.k.s.5.u.c本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. a，b，若，則cab，dab， 顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，故選D3若為有理數(shù)），則 （ ）A33B29C23D19【答案】B.w【解析】本題主要考查二項式定理及其展開式. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. ， 由已知，得，.故選

3、B.k.s.5.u.c 4為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點（ ） A向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 B向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 C向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 D向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度【答案】C.w【解析】本題主要考查函數(shù)圖象的平移變換. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. A，B，C，D.故應(yīng)選C.5用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為 （ ）A8B24C48D120【答案】C.w【解析】本題主要考查排列組合知識以及分步計數(shù)原理知識. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.2和4排在末位時，共有種

4、排法，其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有種排法，于是由分步計數(shù)原理，符合題意的偶數(shù)共有（個）.故選C.6“”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A.w【解析】本題主要考查.k本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 當時，反之，當時，有， 或，故應(yīng)選A.7若正四棱柱的底面邊長為1，與底面ABCD成60角，則到底面ABCD的距離為 ( )A B1CD【答案】D.w【解析】.k本題主要考查正四棱柱的概念、直線與平面所成的角以及直線與平面的距離等概念. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 依題意，如

5、圖，故選D.8設(shè)D是正及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，點是的中心，若集合，則集合S表示的平面區(qū)域是 ( )A三角形區(qū)域 B四邊形區(qū)域C五邊形區(qū)域 D六邊形區(qū)域【答案】D【解析】本題主要考查集合與平面幾何基礎(chǔ)知識.5.u.c.o. 本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學生的學習潛力,考查學生分析問題和解決問題的能力. 屬于創(chuàng)新題型.大光明 如圖，A、B、C、D、E、F為各邊三等分點，答案是集合S為六邊形ABCDEF，其中， 即點P可以是點A. 第卷（110分）注意事項：1用鉛筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。2答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。題號二三總分151617181920分數(shù)二、填空題：本大題共6小

6、題，每小題5分，共30分。把答案填寫在題中橫線上。9若，則 .【答案】【解析】本題主要考查簡單的三角函數(shù)的運算。 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查。由已知，在第三象限，應(yīng)填. 10若數(shù)列滿足：，則 ；前8項的和 .（用數(shù)字作答）【答案】16 255.w【解析】本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.m 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. ， 易知，應(yīng)填255.11若實數(shù)滿足則的最大值為 .【答案】9【解析】.s.5.u本題主要考查線性規(guī)劃方面的基礎(chǔ)知. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 如圖，當時，為最大值.故應(yīng)填9.12已知函數(shù)若，則 .w.w.k.s.5【答案】.w【解析】5.u.c本題主要考

7、查分段函數(shù)和簡單的已知函數(shù)值求的值. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.由，無解，故應(yīng)填.13橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則 ；的大小為 .【答案】.w【解析】u.c本題主要考查橢圓的定義、焦點、長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. ，又，又由余弦定理，得，故應(yīng)填.14設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果且，那么稱是A的一個“孤立元”，給定，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個.【答案】6【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學生的學習潛力,考查學生分析問題和解決問題的能力. 屬于創(chuàng)新題型.什么是“孤立元”？依題意可知，必須是

8、沒有與相鄰的元素，因而無“孤立元”是指在集合中有與相鄰的元素.故所求的集合可分為如下兩類：因此，符合題意的集合是：共6個.故應(yīng)填6.三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15（本小題共12分）已知函數(shù).（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】本題主要考查特殊角三角函數(shù)值、誘導公式、二倍角的正弦、三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識，主要考查基本運算能力（），函數(shù)的最小正周期為.（）由，在區(qū)間上的最大值為1，最小值為.16（本小題共14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.（）求證：平面； （）當且E為PB的中點時，求AE與平面

9、PDB所成的角的大小.【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力（）四邊形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）設(shè)ACBD=O，連接OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO為AE與平面PDB所的角，O，E分別為DB、PB的中點，OE/PD，又，OE底面ABCD，OEAO，在RtAOE中，即AE與平面PDB所成的角的大小為.【解法2】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設(shè)則，（），ACDP，ACBD，AC平面PDB，平面.（）當且E為PB的中點時，設(shè)，則，連接OE，由（）知AC平面PDB于

10、O，AEO為AE與平面PDB所成的角，即AE與平面PDB所成的角的大小為.17（本小題共13分）某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min.（）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；（）這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min的概率【解析】本題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力.（）設(shè)這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A，因為事件A等于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事件

11、A的概率為.（）設(shè)這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min為事件B，這名學生在上學路上遇到次紅燈的事件. 則由題意，得，.由于事件B等價于“這名學生在上學路上至多遇到兩次紅燈”，事件B的概率為.18（本小題共14分）設(shè)函數(shù).（）若曲線在點處與直線相切，求的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點.【解析】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力（）,曲線在點處與直線相切，（）,當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)沒有極值點.當時，由，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時是的極大值點，是的極小值點.19（本小題共1

12、4分）已知雙曲線的離心率為，右準線方程為。（）求雙曲線C的方程；（）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求m的值【解析】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力（）由題意，得，解得，所求雙曲線的方程為.（）設(shè)A、B兩點的坐標分別為，線段AB的中點為，由得（判別式）,點在圓上，.20（本小題共13分）設(shè)數(shù)列的通項公式為. 數(shù)列定義如下：對于正整數(shù)m ，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求數(shù)列的前2m項和公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不

13、存在，請說明理由.【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學思想方法本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.（）由題意，得，解，得. 成立的所有n中的最小正整數(shù)為7，即.（）由題意，得，對于正整數(shù)m，由，得.根據(jù)的定義可知當時，；當時，. . （）假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式及得.,根據(jù)的定義可知，對于任意的正整數(shù)m 都有，即對任意的正整數(shù)m都成立.當（或）時，得（或），這與上述結(jié)論矛盾！當，即時，得，解得.（經(jīng)檢驗符合題意） 存在p和q，使得；p和q的取值范圍分別是，. 一.集合與函數(shù)1.進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況

14、，不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進行求解.2.在應(yīng)用條件時，易A忽略是空集的情況3.你會用補集的思想解決有關(guān)問題嗎?4.簡單命題與復合命題有什么區(qū)別?四種命題之間的相互關(guān)系是什么?如何判斷充分與必要條件?5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別.6.求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則.7.判斷函數(shù)奇偶性時，易忽略檢驗函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.8.求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略標注該函數(shù)的定義域.9.原函數(shù)在區(qū)間-a,a上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)遞增;但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào).例如：.10.你熟練地掌握了函數(shù)單調(diào)性的證明方法嗎?定義法(

15、取值,作差,判正負)和導數(shù)法11.求函數(shù)單調(diào)性時，易錯誤地在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號“”和“或”;單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示.12.求函數(shù)的值域必須先求函數(shù)的定義域。13.如何應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解題?比較函數(shù)值的大小;解抽象函數(shù)不等式;求參數(shù)的范圍(恒成立問題).這幾種基本應(yīng)用你掌握了嗎?14.解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎?(真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1)字母底數(shù)還需討論15.三個二次(哪三個二次?)的關(guān)系及應(yīng)用掌握了嗎?如何利用二次函數(shù)求最值?16.用換元法解題時易忽略換元前后的等價性，易忽略參數(shù)的范圍。17.“實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化時，你是否注

16、意到：當時，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為。若原題中沒有指出是二次方程，二次函數(shù)或二次不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值時，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么?20.解分式不等式應(yīng)注意什么問題?用“根軸法”解整式(分式)不等式的注意事項是什么?21.解含參數(shù)不等式的通法是“定義域為前提，函數(shù)的單調(diào)性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”，注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”.22.在求不等式的解集、定義域及值域時，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示;不能用不等式表示.23.兩個不等式相乘時,必須注意同向同正時才能相乘,

17、即同向同正可乘;同時要注意“同號可倒”即ab0，a0.三.數(shù)列24.解決一些等比數(shù)列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進行討論了嗎?25.在“已知，求”的問題中,你在利用公式時注意到了嗎?(時，應(yīng)有)需要驗證，有些題目通項是分段函數(shù)。26.你知道存在的條件嗎?(你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概念嗎?你知道無窮數(shù)列的前項和與所有項的和的不同嗎?什么樣的無窮等比數(shù)列的所有項的和必定存在?27.數(shù)列單調(diào)性問題能否等同于對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性問題?(數(shù)列是特殊函數(shù)，但其定義域中的值不是連續(xù)的。)28.應(yīng)用數(shù)學歸納法一要注意步驟齊全，二要注意從到過程中，先假設(shè)時成立，再結(jié)合一些數(shù)學方法用來證明時也成立

18、。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函數(shù)29.正角、負角、零角、象限角的概念你清楚嗎?，若角的終邊在坐標軸上，那它歸哪個象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區(qū)別嗎?30.三角函數(shù)的定義及單位圓內(nèi)的三角函數(shù)線(正弦線、余弦線、正切線)的定義你知道嗎?31.在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎?你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎?32.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切

19、函數(shù)的取值范圍分別是34.你還記得某些特殊角的三角函數(shù)值嗎?35.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì).你會寫三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎?會寫簡單的三角不等式的解集嗎?(要注意數(shù)形結(jié)合與書寫規(guī)范,可別忘了)，你是否清楚函數(shù)的圖象可以由函數(shù)經(jīng)過怎樣的變換得到嗎?36.函數(shù)的圖象的平移，方程的平移以及點的平移公式易混：(1)函數(shù)的圖象的平移為“左+右-，上+下-”;如函數(shù)的圖象左移2個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(2)方程表示的圖形的平移為“左+右-，上-下+”;如直線左移2個個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(3)點的平移公式：點按向量平移到點，則.37.在三角函數(shù)

20、中求一個角時，注意考慮兩方面了嗎?(先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的范圍)38.形如的周期都是，但的周期為。39.正弦定理時易忘比值還等于2R.五.平面向量40.數(shù)0有區(qū)別，的模為數(shù)0，它不是沒有方向，而是方向不定?？梢钥闯膳c任意向量平行，但與任意向量都不垂直。41.數(shù)量積與兩個實數(shù)乘積的區(qū)別：在實數(shù)中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出.已知實數(shù)，且，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有.在實數(shù)中有，但是在向量的數(shù)量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.42.是向量與平行的充分而不必要條件，是向量和向量夾角為鈍角的必要而不充分條件。六.解析幾何43

21、.在用點斜式、斜截式求直線的方程時，你是否注意到不存在的情況?44.用到角公式時，易將直線l1、l2的斜率k1、k2的順序弄顛倒。45.直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是。46.定比分點的坐標公式是什么?(起點，中點，分點以及值可要搞清)，在利用定比分點解題時，你注意到了嗎?47.對不重合的兩條直線(建議在解題時，討論后利用斜率和截距)48.直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以理解為，但不要忘記當時，直線在兩坐標軸上的截距都是0，亦為截距相等。49.解決線性規(guī)劃問題的基本步驟是什么?請你注意解題格式和完整的文字表達.(設(shè)出變量，寫出目標函數(shù)寫出線性約束條件畫出可行域作出目標函數(shù)

22、對應(yīng)的系列平行線，找到并求出最優(yōu)解應(yīng)用題一定要有答。)50.三種圓錐曲線的定義、圖形、標準方程、幾何性質(zhì)，橢圓與雙曲線中的兩個特征三角形你掌握了嗎?51.圓、和橢圓的參數(shù)方程是怎樣的?常用參數(shù)方程的方法解決哪一些問題?52.利用圓錐曲線第二定義解題時，你是否注意到定義中的定比前后項的順序?如何利用第二定義推出圓錐曲線的焦半徑公式?如何應(yīng)用焦半徑公式?53.通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦.(想一想在雙曲線中的結(jié)論?)54.在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零?橢圓，雙曲線二次項系數(shù)為零時直線與其只有一個交點，判別式的限制.(求交點，弦長，中點，斜率，對

23、稱，存在性問題都在下進行).55.解析幾何問題的求解中，平面幾何知識利用了嗎?題目中是否已經(jīng)有坐標系了，是否需要建立直角坐標系?七.立體幾何56.你掌握了空間圖形在平面上的直觀畫法嗎?(斜二測畫法)。57.線面平行和面面平行的定義、判定和性質(zhì)定理你掌握了嗎?線線平行、線面平行、面面平行這三者之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化在解決立幾問題中的應(yīng)用是怎樣的?每種平行之間轉(zhuǎn)換的條件是什么?58.三垂線定理及其逆定理你記住了嗎?你知道三垂線定理的關(guān)鍵是什么嗎?(一面、四線、三垂直、立柱即面的垂線是關(guān)鍵)一面四直線，立柱是關(guān)鍵，垂直三處見59.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理在應(yīng)用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談;面

24、面平行的判定定理易把條件錯誤地記為”一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行”而導致證明過程跨步太大.60.求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，如果所求的角為90，那么就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法.61.異面直線所成角利用“平移法”求解時，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其補角)，特別是題目告訴異面直線所成角，應(yīng)用時一定要從題意出發(fā)，是用銳角還是其補角，還是兩種情況都有可能。62.你知道公式：和中每一字母的意思嗎?能夠熟練地應(yīng)用它們解題嗎?63.兩條異面直線所成的角的范圍：090直線與平面所成的角的范圍：0o90二面角的平面角的取值范圍：018064.你知道異面直線上兩點間的距離公式如何運用嗎?65.平面圖形的翻折，立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折，展開前后有關(guān)幾何元素的“不變量”與“不變性”。66.立幾問題的求解分為“作”，“證”，“算”三個環(huán)節(jié)，你是否只注重了“作”，“算”，而