大連理工大學(xué)高等數(shù)值分析有限元簡述-

1、橢圓與拋物微分方程的有限元法有限元法是與差分法并駕齊驅(qū)的一套求解偏微分方程的方法；它的基本想法是,第一把微分方程轉(zhuǎn)化成一種變分方程（微分積分方程）,從而降低了對(duì)解的光滑性和邊值條件的要求；然后,把求解區(qū)域劃分成有限個(gè)單元（有限元）,構(gòu)造分片光滑函數(shù),這個(gè)光滑函數(shù)由其在單元頂點(diǎn)上的函數(shù)值準(zhǔn)備；最終,把這個(gè)分片光滑函數(shù)帶入到上述微分積分方程中去,就得到關(guān)于單元頂點(diǎn)函數(shù)值的一個(gè)線性方程組,解之即得有限元解；與差分法相比,有限元法易于處理邊界條件,易于利用分片高次多項(xiàng)式等等來提高靠近精度；空間Hm作為例子,我們將考慮區(qū)間I0,1上的微分方程；用 L 2 I 表示在 I 上勒貝格平方可積函數(shù)的集合,Hm

2、 I 表示本身以及直到 m階的導(dǎo)數(shù)都屬于 L 2 I 的函數(shù)的集合；我們下面用到的主要是 H 1 I ；這里所說的導(dǎo)數(shù)精確地說是應(yīng)當(dāng)是廣義導(dǎo)數(shù),對(duì)此我們不予詳細(xì)說明,只需知道比如說,連續(xù)的分片線性函數(shù)（折線函數(shù)）就屬于H1 I ,其廣義導(dǎo)數(shù)是分；片常數(shù)函數(shù)；另外,我們?nèi)杂玫娇臻g1 H EIvH1I,v00 （空間 =函數(shù)集合；）微分方程 考慮兩點(diǎn)邊值問題 pu qu f , x 0,1（1）u 0 0（2）u 1 0（3）其中 p q f 都是區(qū)間 0 1, 上的光滑函數(shù),q 0 , 并且 p p ,p 是一個(gè)正常數(shù)；用 H E 1 I 中任一函數(shù) v 乘（1）式兩端,并在 1,0上積分,得1

3、 0 puvuquvfv dx00,得puvdx1p uv（ 4）0和v 利用分部積分,并留意 1 0 1pup uvdx1 | 01 0vdx00以此代入到（ 4）得到1puvquvfvdv0（5）0為了便利,定義w v1 0w vdxuH（7）aw,vp w,vqw,v（8）就相應(yīng)于微分方程（1）-（3）的 變分方程 為：求1 I滿足au,vf,vvH1 I（9）留意在（ 9）中不顯現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)；可以證明,中意微分方程（ 1）-（3）的光滑解確定中意變分方程（9）；（9）的解稱之為（ 1）-（3）的廣義解,它可能只有一階導(dǎo)數(shù),因此可能不是（ 1）-（3）的解；但是假如它在通常意義下二階可微,

4、就確定也是（ 1）-（3）的解；另外留意, 在變分方程 （9）中,我們強(qiáng)制要求廣義解 u 滿足邊值條件 u 0 0,因而稱之為強(qiáng)制（或本質(zhì)）邊界條件；而對(duì)邊值條件 u 1 0,就不加要求；但是可以證明,假如廣義解 u 在通常意義下二階可微,就確定有 u 1 0,即這個(gè)邊界條件自然中意； 這類邊界條件稱之為自然邊界條件；總之,變分方程（ 9）不但降低了對(duì)解的光滑性的要求,也降低了對(duì)邊值條件的要求；有限元空間 構(gòu)造有限元法的第一步與差分法一樣,也是對(duì)求解區(qū)間作網(wǎng)格剖分 0 x 0 x 1 L x n 1；相鄰節(jié)點(diǎn) x i 1, x 之間的小區(qū)間 I i x i 1, x 稱為第 i 個(gè)單元,其長度

5、為 h i x i x i 1；記h max h ；在空間 H 1 I 中,按如下原就選取有限元空間 V ：它的元素 u h x 中意所謂本質(zhì)邊界條件 u h 0 0,在每一單元上是 m 次多項(xiàng)式,并且在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上都是連續(xù)的；當(dāng) m 1 時(shí),就得到最簡潔的 線性元 ,這時(shí)每個(gè) u h V 可表為u h x i xu i 1 x x i 1u i , x I i,i 1,2, L , n（ 10）h i h i其中 u i u h x i , u 0 u h 0 0；圖 1. 一維線性元線性元的另外一種表示方法是利用以下具有局部支集的基函數(shù)：i 1xhx i,x i1xx ix ni1,2,L,

6、n1（11）1xx i,x ixx i1h in 0,1,x n1x（ 12）在別處1xx nh n0,在別處圖 2. 線性元的基函數(shù)明顯,任一 u h V 可以表為nu h u i i （13）i 1有限元方程 將變分方程 （9）局限在有限元空間上考慮,就得到有限元方程：求有限元解 u h V 中意a u h , v h f , v h v h V h（14）留意到 u 和 v 都可以表示成（13）形式,簡潔看出（14）等價(jià)于如下的線性方程組：求節(jié)點(diǎn)上的近似解 u 1, L , u n 中意na i , j u i f , j , j 1, L , n（15）i 1這個(gè)線性方程組是三對(duì)角的,

7、可以用追趕法求解；可以把微分方程（1）、變分方程（ 9）和有限元方程（ 15）比如為確定“ 好人” 的三種標(biāo)準(zhǔn)：他每一時(shí)刻表現(xiàn)都好；每 一個(gè)人都說他好；一個(gè)遴選委員會(huì)說他好；誤差估量可以證明,微分方程（1）-（ 3）的解 u 和有限元方程（ 14）或（ 15）的解u 之間的誤差中意其中 C 是一個(gè)常數(shù)；|u2u h|h|uuh|Ch|u|（16）表示L 2 I 范數(shù),定義為| |v , b av（17）dx1 2, vL 2 二維橢圓方程有限元法以二維區(qū)域上的Poisson 方程第一邊值問題為例：2 2u2 u2 f x y , , G（18）x yu | 0（19）其中 G 是以 為邊界的一

8、個(gè)二維區(qū)域；利用 Green 公式,容易推出相應(yīng)的變分方程：求 u H 10 G 中意a u v , f v ,v H 0 1G （20）其中空間 H 0 1 G 由在邊界 上為零且廣義偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域 G 上勒貝格可積的全部函數(shù)組成, , GGwv dxdywvdxdy（21）a w v , wv（22）xxyy二維區(qū)域上最常用的剖分是形如下圖的三角剖分：我們可以相應(yīng)地構(gòu)造三角剖分上的線性元；對(duì)內(nèi)點(diǎn)集合 G h（例如上圖中 3,6,5 這三個(gè)點(diǎn)）中每個(gè)節(jié)點(diǎn) i ,定義其基函數(shù) ix y為一個(gè)分片線性函數(shù),它在節(jié)點(diǎn) i 取值為 1,而在全部其他節(jié)點(diǎn)為 0；這樣,有限元空間 V 中任一元素就可以表示

9、成 u h u i i x ；把它帶入到變分方程（20）便得有限i G h元方程：求G 上的近似解iu 中意（23）a i,j u if,j,jG h高次元i G h一個(gè)是可以從兩個(gè)途徑來提高有限元法的精度,加密網(wǎng)格,另一個(gè)是利用高次元；例如對(duì)于一維問題,可以使用所謂 Hermite 三次元,它在每一個(gè)單元Iix i1,x 上是一個(gè)三次多項(xiàng)式, 由兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值總共4 個(gè)參數(shù)確定；這時(shí),相應(yīng)于（16）我們有誤差估量其中u |uu h|h|uuh|Ch4k30|uk|（24）表示 k 階導(dǎo)數(shù)；對(duì)于二維問題也可以使用高次元,但是其定義要略微復(fù)雜一點(diǎn)；拋物方程有限元法考慮一維拋物方程其中

10、系數(shù)uxpuquf, 0 tT, 0 x1u（25）txu x ,0u0 , 0 x1（26）u 0, 0,u1, 0, 0tT（27）xp q f 都是 x 和 t的已知光滑函數(shù),初值0 x 是 x 的已知光滑函數(shù)；它的變分方程為：求t0,T ,都有u x t , H1 I ,并且Eu x t 使得對(duì)每一個(gè)固定的u v , ta u v , , ,vH1 （28）E其中 , 1 0wv dxdyqw ,v （29）a w ,vpw,v（30）xx拋物方程有限元法的通常做法是在時(shí)間方向用差分法,在空間方向用有限元法；象在（10）中那樣,可以關(guān)于變量x構(gòu)造線性有限元空間V ；令時(shí)間方向步長為1f

11、k；如時(shí)間方向用向前差商, 空間方向用線性有限元,并記f , x k,就有限元方程為：對(duì)k1, L,KT/,逐層求ukinuki V 中意hik u h1uk,v ha uk,vhfk,v h,vhV h（31）hh這相當(dāng)于在每一層要解一個(gè)線性方程組：ini,juk i1uk iinai,j ukfk,j,j1, L,n11i或者略微整理一下：in1i,juk1ini,ju ikin1ai,jk u ifk,j,j1, L,n（32）i1假如在時(shí)間方向用梯形公式,就類似于（31）得到所謂Crank-Nicolson 格式：k 1 k k 1 k k 1 k u h u h, v h a u h u h, v h f f, v h , v h V h（33）2 2習(xí)題 1