數(shù)學(xué)原始概念的學(xué)與教

1、數(shù)學(xué)原始概念的學(xué)與教 作者： 日期：數(shù)學(xué)原始概念的學(xué)與教 - 中學(xué)數(shù)學(xué)論文數(shù)學(xué)原始概念的學(xué)與教黃新紅(福州實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建福州 350001 )摘要：原始概念是理解整個(gè)概念體系的出發(fā)點(diǎn)。 小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫以意義建構(gòu) 為核心，因而多數(shù)概念都是原始概念， 這樣方便學(xué)生對(duì)這一學(xué)科有初級(jí)但又全面 的理解。在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，原始概念的教學(xué)也是教學(xué)的基礎(chǔ)。 關(guān)鍵詞：原始概念；小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)中圖分類號(hào)： G623 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1005-6351(2013)-04-0117-02 概念是一門學(xué)科的基本細(xì)胞，概念之間形成“網(wǎng)絡(luò)”就構(gòu)成了學(xué)科的基本內(nèi)容。 小學(xué)數(shù)學(xué)這一學(xué)科中涉及許多基本的概

2、念， 它們是數(shù)學(xué)大廈的基石。 本文以小學(xué) 數(shù)學(xué)教材為研究對(duì)象，主要探討理解小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科最核心的一種概念原始 概念在教材中的呈現(xiàn)方式， 這將有助于教師把握原始概念的教學(xué)， 從而讓學(xué)生真 正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，從根本上實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)的有效教學(xué)。一、數(shù)學(xué)概念的分類 我們所說(shuō)的分類即是按照某種標(biāo)準(zhǔn)將事物劃分為若干個(gè)類別， 通過事物的某一特 征體現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系。 正是因?yàn)閼{借著這種分類能力， 人們才可以將從外界環(huán)境接 收到的種種信息做出分類， 然后根據(jù)這種分類做出推理、 預(yù)測(cè)，從而獲得新的認(rèn) 知。這樣的過程，從廣義上來(lái)講，就是學(xué)習(xí)過程。在引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)上， 教師也要充分認(rèn)識(shí)到這種分類過程的重要性， 例如，當(dāng)

3、教 師和學(xué)生共同面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)， 教師首先應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類， 是數(shù)的概 念問題，還是運(yùn)算的問題，還是幾何圖形的問題；如果是幾何圖形的問題，教師又要引導(dǎo)學(xué)生去思考， 這是平面幾何問題還是立體幾何問題。 在確立了是何種問 題后，又要探討，解決這一問題是要用到度量問題（求角度、長(zhǎng)度、面積、體積 等）還是關(guān)系問題（位置關(guān)系、大小關(guān)系等） ，最后才是運(yùn)用具體的知識(shí)對(duì)這些 問題進(jìn)行解答。 所以我們的解題活動(dòng)可以被看成一系列的分類過程。 因?yàn)榉诸愂?人類認(rèn)知的基本手段， 是對(duì)周圍的各種物體、 事件和人進(jìn)行歸類， 因此在我們的 理解中來(lái)說(shuō)分類是必要的， 我們學(xué)習(xí)和利用分類就是一種最基本、 最普遍的認(rèn)知

4、 形式，人類往往是通過這種認(rèn)知形式來(lái)適應(yīng)環(huán)境的。由此看來(lái)， 分類活動(dòng)本身就是概念學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)之一。 精確的分類是對(duì)概念的 內(nèi)涵進(jìn)行深入認(rèn)識(shí)的過程， 分類甚至可以成為獲得明晰的概念的基礎(chǔ)。 同時(shí)，教 師的引導(dǎo)， 可以讓學(xué)生在分類的過程中一步一步理解概念之間的關(guān)系， 且有助于 學(xué)生從整體上把握概念。 學(xué)習(xí)分類的過程也有助于學(xué)生概括能力的提高， 因?yàn)榉?類是概括的基礎(chǔ)。 實(shí)際上， 基于概念分類的學(xué)習(xí)就是一種系統(tǒng)性學(xué)習(xí)， 學(xué)生在認(rèn) 識(shí)不同類別的概念的同時(shí)， 又能意識(shí)到概念之間的密切聯(lián)系。 類別清晰、 邏輯關(guān) 系明確的概念系統(tǒng)還有利于記憶和檢索。 能否依據(jù)本質(zhì)屬性對(duì)事物進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆?類是衡量學(xué)生是否已

5、經(jīng)習(xí)得概念的標(biāo)準(zhǔn)。 所以，教師必須十分重視概念分類這一 環(huán)節(jié)。小學(xué)數(shù)學(xué)中包含了大量的數(shù)學(xué)概念， 比如數(shù)的概念、 運(yùn)算的概念、 幾何形體及有 關(guān)概念、運(yùn)算方面的概念、有關(guān)數(shù)的整除性方面的概念、比和比例的概念、量和 計(jì)量單位的概念、 式的的有關(guān)概念、 統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)的有關(guān)概念， 以及其他有關(guān)數(shù) 學(xué)術(shù)語(yǔ)等。 而這些緊密聯(lián)系的概念構(gòu)成了小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)， 教師只有認(rèn)識(shí)到 這些概念之間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系， 才能夠清晰合理地把知識(shí)傳授給學(xué)生， 學(xué)生只有 理解到這些概念之間的豐富關(guān)系， 才能算“學(xué)到了知識(shí)”。 以下是具體的數(shù)學(xué)概數(shù)的概念：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)及奇數(shù)、偶數(shù)、基數(shù)、序數(shù)、數(shù)位、計(jì)數(shù)單位、數(shù) 的進(jìn)位制、分

6、數(shù)單位等。幾何形體及有關(guān)概念：點(diǎn)、直線、射線、垂線、平行線；銳角、直角、鈍角；正 方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形、三角形、多邊形；圓；正方體、長(zhǎng)方體、圓 柱、圓錐、球；周長(zhǎng)、面積等。運(yùn)算方面的概念：加、減、乘、除、和、差、商、加數(shù)、減數(shù)、被減數(shù)等。 有關(guān)數(shù)的整除性方面的基本的概念：比如約數(shù)、整除、倍數(shù)、公倍數(shù)、公因數(shù)、 最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、因數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、互質(zhì)數(shù)等。比和比例的概念：如比、比例尺、比例、正比例、反比例、解比例等。 量和計(jì)量單位的概念：如時(shí)間單位、長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位、角度單位 等。式的有關(guān)概念：等式、方程、解方程等。 其他有關(guān)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)：如增加、減少、擴(kuò)大、縮小、平均

7、分、倍、單位、總價(jià)、剩 余、距離、速度等。以上這些數(shù)學(xué)概念，大體上分為三種呈現(xiàn)方式：1、直接體現(xiàn)在教材中，并給該概念下了定義。如“有兩條邊相等的三角形叫等 腰三角形”； “含有未知數(shù)的等式叫方程”等等。 這樣定義的概念， 條件和結(jié)論 十分明顯， 便于學(xué)生一下子抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。 是用下定義的方式來(lái)表述概念 的本質(zhì)屬性，解釋概念的內(nèi)涵一般是通過較為簡(jiǎn)明而完整的語(yǔ)言來(lái)揭示概念的內(nèi) 涵或外延的方法。2、用一些生動(dòng)、具體的語(yǔ)言對(duì)概念進(jìn)行描述，如分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，是借助于大量的分一分、 畫一畫等操作活動(dòng)， 通過大量感性直觀的認(rèn)識(shí)， 結(jié)合具體事物描述“像 上面講的 1/2 、1/3 、 1/4 等，都是分?jǐn)?shù)”

8、。3、書中沒有直接提出某個(gè)概念，而是通過一些例題來(lái)滲透這樣的概念的內(nèi)容， 由教師教講解中介紹出來(lái)。如多得多，多一些。就小學(xué)數(shù)學(xué)新教材中而言， 不少概念是以原始性概念 （也就是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系 中某一領(lǐng)域的第一節(jié)） 最為突出， 這樣安排的目的是以意義建構(gòu)為核心， 目的使 學(xué)生掌握最基本的初級(jí)概念， 是展開進(jìn)一步學(xué)習(xí)活動(dòng)的基礎(chǔ)。 因此，重視并加強(qiáng) 原始性概念的研究就顯得十分重要。二、數(shù)學(xué)原始概念的特點(diǎn)原始概念是數(shù)學(xué)中的無(wú)定義概念。 在數(shù)學(xué)中總是力求對(duì)數(shù)學(xué)概念下定義， 給概念 下定義時(shí)， 需要用到的概念必須是以前定義過的概念， 這樣就構(gòu)成了一個(gè)概念的 體系，但是數(shù)學(xué)概念的個(gè)數(shù)是有限的， 這樣順次上溯

9、， 在這個(gè)概念的體系中勢(shì)必 出現(xiàn)不能用前述方式定義的概念， 而被作為概念體系的出發(fā)點(diǎn)， 這樣的概念就稱 為原始概念。原始概念雖不能用其它概念來(lái)定義， 但卻是定義其他概念的基礎(chǔ)。 眾所周知。 在 數(shù)學(xué)中有許多概念，“點(diǎn)”、“線”、“面”、“體”、“自然數(shù)”“集合”、 邏輯學(xué)中的“邏輯”等都是數(shù)學(xué)中的原始概念。德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特極為明確地指出必須以嚴(yán)格的公理化方法建立數(shù)學(xué) 理論體系時(shí)，才把“點(diǎn)”、“直線”、“平面”的自身意義完全不予理會(huì)，而把 它們視為幾何基礎(chǔ)理論中的原始概念。 這等于將“點(diǎn)”、 “直線”、 “平面”概 念的內(nèi)容完全抽掉了。 只剩下它們名字的空空“軀殼”留在數(shù)學(xué)里。 對(duì)這些所

10、謂 的原始概念不賦于明確的含義， 這樣就不僅僅滿足了人們?cè)诮?shù)學(xué)理論時(shí)必須有個(gè)出發(fā)點(diǎn)的需要， 同時(shí)，也避免了導(dǎo)致惡性循環(huán)或無(wú)窮倒退的窘境之中。 從而使得我們的思想從狹溢的概念內(nèi)涵意義的束縛中解放出來(lái)， 擴(kuò)大了人們的視 野和想象力， 就有可能發(fā)展擴(kuò)大出新的數(shù)學(xué)理論來(lái)。 到后來(lái)人們提出的形式公理 化體系中，連這些原始概念的軀殼也被毀掉了。僅用某些字母充當(dāng)它們的軀殼。 此時(shí)原始概念就完全隱形放邏輯演繹和一串串符號(hào)。三、數(shù)學(xué)原始概念的教學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)， 總是從他們?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)， 去認(rèn)知、 理解和區(qū)分事 物的各種聯(lián)系和性質(zhì)。 就概念形成而言，一般來(lái)說(shuō)分為了起始性和發(fā)展性的概念。 那么我們所

11、說(shuō)的起始性的概念指的是沒有舊概念作基礎(chǔ)的原始性概念， 主要就是 憑借著事物的具體形象和表象進(jìn)行抽象概括； 發(fā)展性的概念指的是建立在舊概念 基礎(chǔ)上的新概念。 主要是指在充分復(fù)習(xí)舊概念或已有知識(shí)的基礎(chǔ)上， 使我們舊的 概念得以深化延伸， 從而產(chǎn)生了新的概念。 學(xué)生學(xué)習(xí)原始性的概念， 如果沒有一 類事物的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)， 那么就不可能從中抽象概括出本質(zhì)屬性。 這就需要教師引 入概念的時(shí)候必須進(jìn)行必要的鋪墊。 如果學(xué)生不具備點(diǎn)和射線的概念， 對(duì)于“從 一點(diǎn)引出兩條射線，就組成一個(gè)角”這樣的概念便無(wú)從學(xué)起。 所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中， 學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否合理、科學(xué)，深度、廣度如何，都影響著學(xué)生對(duì)概念的 學(xué)習(xí)。我

12、們?cè)诮虒W(xué)原始性概念的過程中， 一般采用直觀說(shuō)明或者指明對(duì)象的方法來(lái)幫助 學(xué)生明確概念。 例如“由一類事物組成的集體稱為一個(gè)集合”， 這是說(shuō)明集合的 方法而不是集合的定義。 又如，用拉緊的繩和由小孔中射入的光線來(lái)抽象出直線 的概念，這就是一種直觀說(shuō)明與抽象方法的綜合應(yīng)用； 再如， 面積的概念其實(shí)也 是一個(gè)起始性的概念。 我們教師在教學(xué)時(shí)的關(guān)鍵在于給學(xué)生提供形象， 從而建立完整的表象。 引入時(shí)可從兩個(gè)方面進(jìn)行鋪墊： 一種是提供如教科書、 筆盒等具體 實(shí)物，讓學(xué)生感知這些物體表面的大??；第二種是出示或畫出圍成的平面圖形， 讓學(xué)生感知這些圍成的平面圖形的大小。 教學(xué)時(shí)我們教師要有針對(duì)性和選擇性地 進(jìn)行鋪墊， 如果按“求幾個(gè)幾是多少”進(jìn)行鋪墊。 就會(huì)產(chǎn)生負(fù)遷移。 使一個(gè)數(shù)乘 以分?jǐn)?shù)的意義的歸納誤入歧途； 如果按“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”進(jìn)行鋪墊。 就 能順利地實(shí)現(xiàn)正遷移。便于類似地得出一個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義。 小學(xué)數(shù)學(xué)的教材中出現(xiàn)的概念