年河北省定州地區(qū)高二數(shù)學(xué)歐拉定理講解資料

1、預(yù)備知識(shí)多面體和正多面體2021/8/8 星期日1多面體和正多面體介紹棱柱、棱錐都是一些平面多邊形圍成的幾何體。若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，若干個(gè)面的公共頂點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。許多礦物結(jié)晶體，都具有多面體的形狀。例如：食鹽晶體石膏晶體明礬晶體2021/8/8 星期日2多面體的分類第一種分類方法：把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體（圖1）圖1圖2想一想，圖2是凸多面體嗎？2021/8/8 星期日3多面體的分類第二種分類方法：一個(gè)多面體至少有四個(gè)面。多面體依照

2、它的面數(shù)分別叫做四面體、五面體、六面體等。例如，三棱錐是四面體，三棱柱是五面體，正方體是六面體等2021/8/8 星期日4正多面體食鹽晶體明礬晶體我們觀察食鹽和明礬的晶體可以發(fā)現(xiàn)：它們每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，并且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端，都有相同數(shù)目的棱2021/8/8 星期日5一般地，每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體。正多面體例如：正方體就是一種正多面體2021/8/8 星期日6問(wèn)題：以下哪些是多面體？哪些是正多面體呢？2021/8/8 星期日7究竟世上有多少個(gè)正多面體？52021/8/8 星期日8四面體 Tetrahedron2

3、021/8/8 星期日9六面體 Hexahedron / Cube2021/8/8 星期日10八面體 Octahedron2021/8/8 星期日11十二面體 Dodecahedron2021/8/8 星期日12二十面體 Icosahedron2021/8/8 星期日13為什么世界上只有五種正多面體呢？2021/8/8 星期日14研究性學(xué)習(xí)課題多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)2021/8/8 星期日15多面體的歐拉公式一、歐拉公式的發(fā)現(xiàn)二、歐拉公式的證明三、歐拉公式的應(yīng)用2021/8/8 星期日16多面體的歐拉公式一、歐拉公式的發(fā)現(xiàn)我們知道，平面多邊形由它的邊圍成，它的頂點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)相等；我們按邊數(shù)可以把多

4、邊形進(jìn)行分類：三角形、四邊形、五邊形、；同類的多邊形具有一些相同的性質(zhì)：例如我們知道的內(nèi)角和相等；通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們的幾何觀點(diǎn)，已經(jīng)由平面擴(kuò)展到了立體，了解和認(rèn)識(shí)了一些簡(jiǎn)單的多面體。多面體是由它的面圍成的立體圖形，這些面的交線形成了棱，棱與棱相交形成頂點(diǎn)。下面我們來(lái)研究多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)之間的關(guān)系。2021/8/8 星期日17我們用V表示多面體的頂點(diǎn)數(shù) F表示多面體的面數(shù) E表示多面體的棱數(shù) 探索與發(fā)現(xiàn)下面我來(lái)觀察：2021/8/8 星期日18正四面體正六面體正八面體V=F=E=V=F=E=V=F=E=探索與發(fā)現(xiàn)2021/8/8 星期日19正十二面體正二十面體探索與發(fā)現(xiàn)V=F=E=V

5、=F=E=2021/8/8 星期日20正多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）規(guī)律特點(diǎn)正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體歐拉定理（公式）的探索與發(fā)現(xiàn)446V+FE=286126812201230122030V+FE=2V+FE=2V+FE=2V+FE=22021/8/8 星期日21正多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）V+FE=2正四面體4462正六面體86122正八面體68122正十二面體2012302正二十面體1220302猜想公式: V+FE=2歐拉定理（公式）的探索與發(fā)現(xiàn)2021/8/8 星期日22歐拉定理（公式）的探索與發(fā)現(xiàn)隨意取幾個(gè)棱柱或棱錐，上述猜想V+FE=2 對(duì)它

6、們還成立嗎？CSABDOE2021/8/8 星期日23歐拉定理（公式）的探索與發(fā)現(xiàn)下面的幾個(gè)多面體對(duì)上述猜想還成立嗎？2021/8/8 星期日24歐拉定理（公式）的探索與發(fā)現(xiàn)下面這個(gè)多面體對(duì)猜想還成立嗎？2021/8/8 星期日25歐拉定理（公式）的探索與發(fā)現(xiàn)由上面幾組圖形，我們可以看出，猜想公式V+F-E=2并不是對(duì)所有的多面體都成立。那么，它到底對(duì)于什么樣的多面體成立呢？為此，我們有必要將前面的多面體進(jìn)行回顧一下2021/8/8 星期日26歐拉定理（公式）的探索與發(fā)現(xiàn)2021/8/8 星期日27假定上述多面體的表面是用橡膠薄膜做成的，如果向它們的內(nèi)部充氣，我們可以想象，前面的多面體的表面就

7、可以逐漸變成球面，像這樣，表面經(jīng)過(guò)這種連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡(jiǎn)單多面體而歐拉定理（公式）的探索與發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)連續(xù)變形，它會(huì)變成2021/8/8 星期日28歐拉定理（公式）的探索與發(fā)現(xiàn)有了上面的定義，我們可以做進(jìn)一步的猜想：一般的，簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F和棱數(shù)E之間有關(guān)系V+FE=2我們稱這個(gè)式子為歐拉公式2021/8/8 星期日29二、歐拉公式的證明選讀2021/8/8 星期日30首先看最簡(jiǎn)單的多面體四面體ABCD : 2、歐拉定理（公式）的證明壓到一個(gè)平面內(nèi)ABDC平面圖形ABDC去掉面BCD四面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、剩下的面數(shù)F-1變形后都未變。因此，要研究V、E、F的關(guān)系 ，

8、只需研究去掉一個(gè)面的平面圖形即可。2021/8/8 星期日31（1）最外面的多邊形去掉一條邊（棱），就減少一個(gè)面，直至樹(shù)枝圖形。2、歐拉定理（公式）的證明在這過(guò)程中(F-1)-E和V的值都不改變，從而 (F-1)+V-E=1不改變，即 F+V-E=2 成立；ABDC平面圖形ABDC樹(shù)枝圖形去掉外圍多邊形的邊2021/8/8 星期日32（2）再?gòu)臉?shù)枝形圖中，去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn)，直至剩下一條棱。2、歐拉定理（公式）的證明在這過(guò)程中V-E和F-1的值都不變，(F-1)+V -E =0+2-1=1，從而 F+V-E=2 不變；ABDC樹(shù)枝圖形CAD樹(shù)枝圖形A樹(shù)枝圖形C2021/8/8 星期日3

9、3（3）因?yàn)閷?duì)任意的簡(jiǎn)單多面體，運(yùn)用這樣的方法，最后都是剩下一條棱，所以都可以得到上述結(jié)論。從而歐拉公式對(duì)任意簡(jiǎn)單多面體都是正確的。2、歐拉定理（公式）的證明3、歐拉示性數(shù)令 F(p)=V+F-E，則 F(p) 叫做歐拉示性數(shù)。 顯然，簡(jiǎn)單多面體的歐拉示性數(shù)為二；即 F(p) =2 。 不同種類的多面體的歐拉示性數(shù)是不同的2021/8/8 星期日34例1、求證（1）若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的面都是三角形 ，則 F=2V- 4 ；（2）若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的面都是四邊形 ，則 F=V- 2 ；3、歐拉定理（公式）的應(yīng)用（3）若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的面都是五邊形 ，則 F、V有何關(guān)系？3F=2V- 42021/8/8 星期日35例2、 C60 是由60個(gè)C原子構(gòu)成的分子，它是一個(gè)形如足球的多面體。這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有三條棱，面的形狀只有五邊形和六邊形，你能算出 C60 中有多少個(gè)五邊形和六邊形嗎？3、歐拉定理（公式）的應(yīng)用2021/8/8