思維及其數(shù)學(xué)思維

1、思維及數(shù)學(xué)思維哲學(xué): 思維是物質(zhì)的產(chǎn)物-人腦的機(jī)能,是社會(huì)的產(chǎn)物,是客觀(guān)事物的反映,是人類(lèi)認(rèn)識(shí)的理性階段.1普通心理學(xué): 意識(shí)是心理學(xué)理論中的根本問(wèn)題,思維是人的意識(shí)活動(dòng)的產(chǎn)物,它是人腦對(duì)客觀(guān)物質(zhì)世界的能動(dòng)反映,它和語(yǔ)言一起成為意識(shí)的核心.2思維發(fā)展心理學(xué): 思維是人腦對(duì)客觀(guān)事物的本質(zhì)和事物內(nèi)在規(guī)律性關(guān)系的概括和間接的反映.3現(xiàn)代神經(jīng)生理學(xué): 大腦二個(gè)半球基本上是以不同的方式進(jìn)行思維,左腦負(fù)責(zé)語(yǔ)言和邏輯思維,右腦形象思維.4現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué): 思維是一個(gè)通過(guò)感知記憶的信息進(jìn)行提取、整合、分解、比較、選擇等一系列的加工改造而得出新信息的過(guò)程.5思維的分類(lèi)1. 按思維抽象性分類(lèi):直觀(guān)行動(dòng)思維、具體形

2、象思維、抽象邏輯思維.6直觀(guān)行動(dòng)思維(感知運(yùn)動(dòng)思維或動(dòng)作思維):具體形象思維: 以具體表象為材料的思維.抽象邏輯思維: 以概念為材料的思維,主要以概念、判斷和推理的形式表現(xiàn)出來(lái). 又分為形式邏輯思維和辯證邏輯思維.72. 按思維結(jié)果劃分: 再現(xiàn)性思維-運(yùn)用原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),按現(xiàn)成的方法去解決類(lèi)似的問(wèn)題的思維. 創(chuàng)造性思維-進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)時(shí)的思維,如科學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、技術(shù)革新、藝術(shù)創(chuàng)造等.8按思維的結(jié)果分類(lèi): 聚合思維-從已知信息中產(chǎn)生邏輯結(jié)論,從現(xiàn)成資料中尋求正確答案的一種有方向、有范圍、有條理的思維方式.又稱(chēng)為收斂思維、集中思維、求同思維、輻合思維. 發(fā)散思維-從已知信息中產(chǎn)生大量的、獨(dú)特的新信

3、息的一種沿不同方向、在不同范圍、不因循傳統(tǒng)的思維方式.又稱(chēng)為求異思維、輻射思維.9按主體意識(shí)分類(lèi)直覺(jué)思維-是指人腦基于有限的數(shù)據(jù)和事實(shí),調(diào)動(dòng)一切已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)客觀(guān)事物的本質(zhì)及其規(guī)律性聯(lián)系進(jìn)行迅速的識(shí)別、敏銳的觀(guān)察、直接的理解和整體的判斷的思維過(guò)程.分析思維-是指遵循嚴(yán)密的邏輯規(guī)則,通過(guò)逐步推理得到符合邏輯的正確答案或結(jié)論的思維方法. 又稱(chēng)為邏輯思維.10數(shù)學(xué)思維及其思維方法數(shù)學(xué)物象-現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系以及反映出來(lái)的結(jié)構(gòu)和模型.數(shù)學(xué)思維-以數(shù)學(xué)物象為思維對(duì)象,以數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)為思維載體,并以認(rèn)識(shí)和揭示數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維.11數(shù)學(xué)思維過(guò)程中,受到的刺激有二類(lèi): 一類(lèi)是數(shù)學(xué)概念的刺

4、激另一類(lèi)是圖形或圖式的刺激當(dāng)處于概念時(shí)的思維稱(chēng)為數(shù)學(xué)邏輯思維;當(dāng)處于圖形(式)時(shí)的思維稱(chēng)為數(shù)學(xué)形象思維。12數(shù)學(xué)思維的品質(zhì):思維的廣闊性思維的深刻性思維的靈活性思維的獨(dú)創(chuàng)性思維的批判性13數(shù)學(xué)思維的品質(zhì):1. 思維的廣闊性 表現(xiàn)為思路開(kāi)闊,善于從不同角度、不同層次對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面的觀(guān)察和思考.例1 求證: Cn1+2Cn2+nCnn=n2n114證法一:設(shè) Sn=Cn1+2Cn2+nCnn 則Sn= nCnn + + 2Cn2 + Cn1,于是 Sn=n(Cn1+Cn2+Cnn)=n2n 故結(jié)論成立.15證法二:注意到KCnK =nCn-1K-1 ,所以有 Cn1+2Cn2+nCnn = nCn

5、-10 + nCn-11 + +n Cn-1n-1, =n(Cn-10+Cn-11+Cn-1n-1)=n2n-1證法三: 用數(shù)學(xué)歸納法證明.16證法四:因?yàn)?1+x)n=Cn1+Cn2 x +Cnn xn,所以 對(duì)兩邊取導(dǎo)數(shù),得n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2 x +nCnn xn-1,取x=1即可.172.思維的深刻性思維的深刻性即思維的深度,它反映著分辨事物本質(zhì)的能力.表現(xiàn)為:善于洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性及其相互關(guān)系;善于從所研究的材料中揭示隱藏的特殊情況，發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西;能辯證地思考.18例 求函數(shù)y=16sinx2cos2x的最大(小)值.誤解: 因?yàn)?sinx1,且0cos2x1

6、,所以6 6sinx 6且2 2 cos2x 0,所以716sinx2cos2x7,所以最大值為7,最小值為7.193.思維的靈活性思維的靈活性是指思維的靈活程度,主要表現(xiàn)為善于擺脫已有模式的束縛,及時(shí)由一條思路轉(zhuǎn)向另一條思路。思維靈活的人善于從錯(cuò)誤思路中退出來(lái)并及時(shí)轉(zhuǎn)向,關(guān)于聯(lián)想,關(guān)于類(lèi)比,關(guān)于逆向思考,如逆用定義、公式，善于將問(wèn)題簡(jiǎn)約化歸等.20例 已知x,y,z為三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，并且x1/y=y1/z=z1/x，求證: x2y2z2=1思路1:解方程組求出x，y，z，但注意到，三個(gè)未知數(shù)，只有兩個(gè)獨(dú)立方程,方程的解不唯一,此路不通.21例 已知x,y,z為三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，并且x1

7、/y=y1/z=z1/x，求證: x2y2z2=1思路2:由x1/y=y1/z得 xyz=y2zyz, 由y1/z=z1/x得xyz=z2xzx，于是x2y2z2=(y2zyz)(z2xzx)，但化簡(jiǎn)不出1.放棄.22例 已知x,y,z為三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，并且x1/y=y1/z=z1/x，求證: x2y2z2=1思路3:據(jù)處理比例的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)x1/y= y1/z=z1/x=k，則xy=ky1， yz=kz1， zx=kx1，于是x2y2z2=(ky1)(kz1)(kx1)，但右邊化簡(jiǎn)不出1.此路不通.23例 已知x,y,z為三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，并且x1/y=y1/z=z1/x，求證: x2y2

8、z2=1思路4:注意到x，y，z間的輪換，進(jìn)行減元類(lèi)比:設(shè)x,y為二個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，并且x1/y=y1/x，求證: x2y2=1。由x1/y= y1/x得 xy(xy)=(yx) ，xy，xy=1， x2y2=1。24例 已知x,y,z為三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，并且x1/y=y1/z=z1/x，求證: x2y2z2=1思路4:類(lèi)似地，x1/y=y1/zyz(xy)=yzy1/z=z1/x zx(yz)=zxx1/y=z1/x xy(zx)=xy三式相乘，得x2y2z2(xy)(yz)(zx) =(yz)(zx)(xy)，易知結(jié)論成立.254.思維的獨(dú)創(chuàng)性思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維的創(chuàng)新程度,表現(xiàn)為思維

9、的方式、方法或結(jié)果具有新穎、獨(dú)特的特點(diǎn).如高斯的123100 =50(1001)=5050 這種算法具有獨(dú)創(chuàng)性.26例 全集I=(x,y)|x,yR, M=(x,y)|(y3)/(x2)=1，N=(x,y)|y x+1,那么MN=( )A. B . （2，3） C.（2，3） D. (x,y)|y=x127例 全集I=(x,y)|x,yR, M=(x,y)|(y3)/(x2)=1，N=(x,y)|y x+1,那么MN=( )A. B . （2，3） C.（2，3） D. (x,y)|y=x1常規(guī)思路: MNMNx2=0 或yx+1y=x1x= 2y=328例 全集I=(x,y)|x,yR, M

10、=(x,y)|(y3)/(x2)=1，N=(x,y)|y x+1,那么MN=( )A. B . （2，3） C.（2，3） D. (x,y)|y=x1創(chuàng)新性思路:I是整個(gè)平面,M是平面內(nèi)一直線(xiàn)y=x+1去掉一點(diǎn)(2,3),N是整個(gè)平面內(nèi)去掉一直線(xiàn)y=x+1,則MN是整個(gè)平面去掉一個(gè)“孔”,而MN就是這個(gè)“孔”的集合,即(2,3)295.思維的批判性思維的批判性是指主體對(duì)思維內(nèi)容和思維過(guò)程進(jìn)行反思和評(píng)價(jià)的程度,它是思維過(guò)程中主體自我意識(shí)作用的結(jié)果.主要表現(xiàn)在:評(píng)價(jià)所選擇的思路;預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)的結(jié)果并進(jìn)行檢驗(yàn);喜歡獨(dú)立思考;凡是要經(jīng)過(guò)自己思考再作結(jié)論;善于提出各種疑問(wèn),及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤等.30思維是一個(gè)通過(guò)對(duì)感知記憶的信息進(jìn)行加工改造而得出新信息的過(guò)程.要使思維能進(jìn)行,首先要有被加工的材料,即概念信