1第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.5

1、1.5 復(fù)變函數(shù)一、基本概念二、圖形表示三、極限四、連續(xù)一、基本概念 在以后的討論中，D 常常是一個(gè)平面區(qū)域，稱之為定義域。按照一定法則，有確定的復(fù)數(shù) w 與它對(duì)應(yīng)，一般情形下，所討論的“函數(shù)”都是指單值函數(shù)。上定義一個(gè)復(fù)變函數(shù)，記作定義設(shè) D 是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，對(duì)于 D 中任意的一點(diǎn) ，z對(duì)每個(gè) 有唯一的 w 與它對(duì)應(yīng)； 單值函數(shù)比如 多值函數(shù)對(duì)每個(gè) 有多個(gè) w 與它對(duì)應(yīng)；比如則稱在 D一、基本概念 一個(gè)復(fù)變函數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)。分析則 可以寫成設(shè) 其中， 與 為實(shí)值二元函數(shù)。分開上式的實(shí)部與虛部得到分開實(shí)部與虛部即得代入 得解記 P21 例1.13 GG二、圖形表示C映射復(fù)變函數(shù)

2、 在幾何上被看作是把 z 平面上的一個(gè)平面z平面w點(diǎn)集 變到 w 平面上的一個(gè)點(diǎn)集 的映射(或者變換)。其中，點(diǎn)集 稱為像，點(diǎn)集 稱為原像。 函數(shù)、映射以及變換可視為同一個(gè)概念。(分析)(幾何)(代數(shù))Dzxywuv二、圖形表示反函數(shù)與逆映射雙方單值與一一映射為 w 平面上的點(diǎn)集 G，設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?z 平面上的點(diǎn)集 D，值域的一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn) z，一個(gè)函數(shù)它稱為函數(shù) 的反函數(shù)，也稱為映射 的逆映射。若映射 與它的逆映射 都是單值的，則稱映射 是雙方單值的或者一一映射。則 G 中的每個(gè)點(diǎn) w 必將對(duì)應(yīng)著 D 中按照函數(shù)的定義，在 G 上就確定了解(1) 點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的像(點(diǎn))為 (2) 區(qū)域

3、D 可改寫為：令則可得區(qū)域 D 的像(區(qū)域)G 滿足即P22 函數(shù) 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)例因此，它把 z 平面上的兩族雙曲線分別映射成 w 平面上的兩族平行直線xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c20三、極限定義設(shè)函數(shù) 在 的去心鄰域 內(nèi)有定義 ,若存在復(fù)數(shù)使得當(dāng) 時(shí)，有記作或注(1) 函數(shù) 在 點(diǎn)可以無定義；(2) 趨向于 的方式是任意的。則稱 A 為函數(shù) 當(dāng) z 趨向于 z0 時(shí)的極限， P23定義 1.1 xyz0d幾何意義三、極限它的像點(diǎn) 就落在 A 的預(yù)先給定的 e 鄰域內(nèi)。uvAe 當(dāng)變點(diǎn) 一旦進(jìn)入

4、的充分小的 d 鄰域時(shí),z0zf (z)z性質(zhì)如果則三、極限定理三、極限設(shè)證明如果則當(dāng)時(shí)，則必要性 “ ” P23定理 1.1 (跳過?)證明充分性 “ ”則當(dāng) 時(shí)，如果定理設(shè)三、極限則三、極限 關(guān)于含 的極限作如下規(guī)定：(3) 所關(guān)心的兩個(gè)問題：(1) 如何證明極限存在？(2) 如何證明極限不存在？選擇不同的路徑進(jìn)行攻擊。放大技巧 。(1)(2)xy討論函數(shù) 在 的極限。例當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，因此極限不存在。解方法一 P24 例1.15 解當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，因此極限不存在。方法二xy方法三沿著射線與 有關(guān)，因此極限不存在。討論函數(shù) 在 的極限。例xy四、連續(xù)定義則稱 在 點(diǎn)連續(xù)。若z0若 在區(qū)域

5、D 內(nèi)處處連續(xù)，則稱 在 D 內(nèi)連續(xù)。注 (1) 連續(xù)的三個(gè)要素：存在；存在；相等。(2) 連續(xù)的等價(jià)表示：其中，(3) 一旦知道函數(shù)連續(xù)，反過來可以用來求函數(shù)的極限。通常說：當(dāng)自變量充分靠近時(shí)，函數(shù)值充分靠近。 P24定義 1.2 性質(zhì)四、連續(xù)(1) 在 連續(xù)的兩個(gè)函數(shù) 與 的和、差、積、商(分母在 不為零)在 處連續(xù)。z0z0z0(2) 如果函數(shù) 在 處連續(xù)，函數(shù) 在連續(xù)，則函數(shù) 在 處連續(xù)。z0z0(由基本初等函數(shù)的連續(xù)性可得初等函數(shù)的連續(xù)性)(3) 如果函數(shù) 在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則 P26證(略) 例證明在復(fù)平面上除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的區(qū)域上連續(xù)。討論函數(shù) 的連續(xù)性。例(當(dāng) 時(shí))故函數(shù) 處處連續(xù)。解yxez0d P2