2023年江蘇名校高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知sin(萬(wàn)+a)=1，且sin2av0,則-的值為()

11

A.7B.-7C.-D.一一

77

x/(x.)

2.已知函數(shù)f⑴=Je-以，x￡(0,y)，當(dāng)當(dāng)>%時(shí),不等式上」<上9恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

X々X\

A.(-oo,e]B.(-oo,e)C.(一8，*|)D.(一雙]

3.已知a,1是兩平面，I,m,〃是三條不同的直線，則不正確命題是()

A.若mJ_a,n//a,則B.若機(jī)〃a,nila,則根〃〃

C.若LLa,lllfi9貝UaLffD.若a邛,皿,且/〃?則"

4.已知命題p：若a>l,b>c>\,則log/<log,a；命題q：*)((),小》),使得2』<log.3%”，則以下命題為真

命題的是()

A.P^QB.C.(->p)D.(-)p)A(->q)

5.已知正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為1,。是該正四面體外接球球心，且配=+方，x,y,zeR,則

x+y+z=（）

31

A.-B.一

43

11

C.-D.-

24

6.已知集合4=｛巾2-3工一10<（）｝,集合3=同—?jiǎng)tAA8等于（）

A.|x|-l<x<51B.|x|-l<x<5｝

C.1x|—2<x<61D.|x|-2<x<51

7.已知函數(shù)/(x)滿足/(4)=17,設(shè)“Xo)=%,貝臚%=17”是“玉)=4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.若aw[L6],則函數(shù)丁=三衛(wèi)在區(qū)間[2,+8）內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（）

4321

A.-B.—C.—D.—

5555

9.記M的最大值和最小值分別為%ax和叫…若平面向量￡、b>C，滿足同第=￡%=△伍+涕一'=2,

貝IJ（）

_V3+V7

B.|a+c|=/二也

linax2

IImax2

--I&幣V3-5/7

0~C!min-2

2

10.閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫(xiě)的條件是（

)

A.i>5B.Z>8C.z>10D.Z>12

11.若a<b<。,則下列不等式不能成立的是（）

1111,,,,,,

A.—>—B.------>—C.|。|>|句D.a'>h~

aba-ba

12.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（

A.6+2V3B.6+2及c.4+40D.4+4A/3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)=e，(x+l)2,令<(x)=7'(x),篇(x)=/；(x)(〃eN*),若/,(幻=爐(4》2+公；+1),上可

表示不超過(guò)實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)，記數(shù)列-\\的前n項(xiàng)和為S”,則[3S2(XX)]=_________

12…J-

14.已知函數(shù)/(x)=「+2A+4X2+8X，-2<A<0,若函數(shù)g(x)=4/(x)|+l有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)"的取值范圍

x2+2x-l,x<-2,x>0

是.

15.某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人，

那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為.

16.已知實(shí)數(shù)且/—。=人—由聞=幺+土的最大值是_______

2ab

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在AA6c中，角A,8,C的對(duì)邊分別為。，4c,已知c(sin2A-cosBsinC)=；hsin2c.

(1)求角A的大??；

7T

(2)若。=一,c=2,求AABC的面積.

4

18.(12分)甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次

2

數(shù)記為

(1)求4的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)在概率PC=i)(i=0,1,2,3)中，若PC=1)的值最大，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22

19.(12分)已知橢圓￡[+2=13〉。〉0)的左，右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,|耳8|=2,"是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)

6rb

點(diǎn)，且△用耳工的面積的最大值為JL

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，

(2)若4a,0),B(0,b),四邊形ABCQ內(nèi)接于橢圓￡,AB//CD,記直線AO,3c的斜率分別為左，k2,求證:《網(wǎng)

為定值.

20.(12分)已知。力都是大于零的實(shí)數(shù).

22

(1)證明幺a+幺b..〃+人；

ba

2a1

(2)若a>b,證明c/+77+-77>4.

ba(a-b)

21.(12分)設(shè)/(x)=xe"—ox?,^(x)=lnx+x-x2+1--(?>0)

a

(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)〃(x)=/(x)-ag(x)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.(10分)某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不

超過(guò)200度的部分按0.5元/度收費(fèi)，超過(guò)200度但不超過(guò)400度的部分按0.8元/度收費(fèi)，超過(guò)400度的部分按1.0元/

度收費(fèi).

(D求某戶居民用電費(fèi)用y(單位：元)關(guān)于月用電量％(單位：度)的函數(shù)解析式；

(II)為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示

的頻率分布直方圖，若這10()戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)26()元的占80%,求。，。的值；

(m>在滿足(II)的條件下，若以這loo戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)代替，記y為該居民用戶1月份的用電費(fèi)用，求丫的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

4

由5皿(乃+。)=］及5由2夕<0得到5m。、cosa,進(jìn)一步得到tana,再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.

【詳解】

443

因?yàn)閟in(%+a)=1，所以sina=-g,又sin2a=2sinacosavO,所以cosa=g,

g,所以tan]a—彳7Ttana-13r

tana---------------------=7.

41+tana〔_4

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

/(x.)/(x,)/、/、

由J："<J%變形可得)<x2/(4)，可知函數(shù)g(x)=4\x)在xe(0,+8)為增函數(shù)，由

g'(x)=ex-2ax>0)恒成立，求解參數(shù)即可求得取值范圍.

【詳解】

XG(0,+00),

二%/(%)<9/(尤2)，即函數(shù)gOO=4<(尤)二"一"?在X￡(0,+00)時(shí)是單調(diào)增函數(shù).

貝!Jg'(x)-e'-2ax>0恒成立.

2aK—

x

令m(x)=貝(1m{x}=――^―

xx

xe(0,1)時(shí),m\x)<0,m(x)單調(diào)遞減,xG(1,+00)時(shí)m{x}>0,m(x)單調(diào)遞增.

二.2a<fn(x)^n=加(1)=e,:.a<^

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查恒成立時(shí)求解參數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力

和計(jì)算求解的能力，難度較難.

3.B

【解析】

根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識(shí)，判斷A選項(xiàng)的正確性.由線面平行有關(guān)知識(shí)判斷B選項(xiàng)的正確性.根據(jù)面面

垂直的判定定理，判斷C選項(xiàng)的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項(xiàng)的正確性.

【詳解】

A.若〃//a,則在a中存在一條直線/,使得///〃，m±a,lua,則加_L/,又///〃，那么機(jī)，“，故正確；

B.若m//a,nlla,則機(jī)〃〃或相交或異面，故不正確；

C.若〃/￡,則存在au￡,使///a,又/_La,:.aLa,則。_16，故正確.

D.若a//〃，且則/u6或/〃4,又由/①〃:.U//3,故正確.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

先判斷命題P，4的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表，即可得答案.

【詳解】

,1,111

?ogfc?=-----.log(.a=------,因?yàn)閍>i,b>c>\,^T^,0<logflc<log(,/7,所以------>:-----即命題p

log?blog.,clog?clog"

為真命題；畫(huà)出函數(shù)y=2*和y=log3X圖象，知命題g為假命題，所以為真.

本題考查真假命題的概念，以及真值表的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出命題〃國(guó)的真假，難度較易.

5.A

【解析】

3

如圖設(shè)好‘平面BO,球心。在AP上'根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得=根據(jù)平面向量的加法的幾何意義'

重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出x+y+z的值.

【詳解】

如圖設(shè)平面8c。，球心。在Ab上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形8C。是正三角形,

AF逅，在直角三角形R98中,

BF告卜心:與

=A。邛,

OB2=OF2+BF2nOA2=-Aoy

AO^-AF,AF=AB+BF>AF=AD+DF>AF=AC+CF>因?yàn)槭瑸橹匦?，因此fB+EC+ED=O,則

4

3AF=AB+AC+AD>因此標(biāo)=；（而+恁+而），因此x=y=z=；,則x+y+z=；,故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.

6.B

【解析】

求出A中不等式的解集確定出集合A，之后求得4nB.

【詳解】

由A=卜,-3x-10<o|=1x|(x+2)(x-5)<o1=,卜2<x<5},

所以AcB={x卜l〈x<5},

故選：B.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

7.B

【解析】

結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)性，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：若與=4,則/(/)=/(4)=17,即％=17成立，

若/'(x)=f+l,則由/(%)=%=17,得/=±4,

貝m為=17”是“%=4”的必要不充分條件，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

22

【解析】；函數(shù)^=午@在區(qū)間[2,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，.?.，=1一點(diǎn)=￡于30,在[2,+8)恒成立，在

[2,+8)恒成立，.?.4",；4W1,6],.”€[1,4],，函數(shù).丫=￡;@在區(qū)間[2,+8)內(nèi)單調(diào)遞增的概率是合=|,

故選B.

9.A

【解析】

設(shè)。為2、坂的夾角，根據(jù)題意求得。=(,然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)2=宓=(2,0),b=0B=(l,>j3),

2=&e=(x,y),根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)c的軌跡方程，將和忖+4轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距

離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.

【詳解】

由已知可得7石=問(wèn)-Wcose=2,貝!|cose=；,Q0W8V萬(wàn)，；.e=q,

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)辦=次=(2,0),6=麗=(1網(wǎng),c=OC^(x,y),

由c?（a+2B-c）=2,可得（工,?。?（4一2X,26—2》）=2,

即以-2/+20-2丁=2,

（萬(wàn)Yq__________

化簡(jiǎn)得點(diǎn)C的軌跡方程為（x_1）2+y_t則B_《=J（x_2）2+y2,

、214

則歸一4轉(zhuǎn)化為圓（x—iy+y—與=［上的點(diǎn)與點(diǎn)（2,0）的距離，.平一4=卜+『§）+,=書(shū)包,

川=網(wǎng)?1手F

卜+C卜，（尢+2）2+y2,

|￡+，轉(zhuǎn)化為圓（％-1）2+y一與=［上的點(diǎn)與點(diǎn)（—2,0）的距離，

布+,J+田+」=回運(yùn)斗+同J+田旦叵◎

11mx丫（2J22IImim丫（2J22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵,

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.

10.C

【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計(jì)算可得輸出為25時(shí)i的值，進(jìn)而得判斷框內(nèi)容.

【詳解】

根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，S=0,i=l

則s=l,i=3,

S=4,i=5,

S=9,i=7,

S=16,i=9,

S=25,1=11,

此時(shí)輸出S,因而i=9不符合條件框的內(nèi)容，但7=11符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項(xiàng)可知C為正確選項(xiàng),

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】

選項(xiàng)A：由于a<b<0,即必>0,b—a>0?所以-----——■—>0,所以一>:，所以成立；

ababab

116c]1

選項(xiàng)B：由于。<匕<0,即。一匕<0,所以一-一一=—―-<0,所以一所以不成立；

a-baa{a-b)a-ba

選項(xiàng)C：由于a<6<0,所以一a>—b>0,所以|。|>|勿，所以成立；

選項(xiàng)D：由于。<匕<0,所以一。>—8>0,所以所以/>〃，所以成立.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

畫(huà)出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.

【詳解】

解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P-ABC,

正方體的棱長(zhǎng)為2,

該幾何體的表面積:

—x2x2+—x2x2+—x2x2^2+—x2x2^2=4+4起.

2222

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.4

【解析】

,2a1

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，求得。“=1,b“=2〃+l,c=n2+n+i,進(jìn)而得到:;~7li==，

n2%-2n-

再利用放縮法和取整函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】

，

由題意，函數(shù)/(x)=e'(x+l)2,且工(x)=/'(x),/,+I(x)=/,(x)(neN,),

22

可得工(x)=f'M=e'(x+4x+3),f2(x)=/'(x)=e\x+6x+7)

力(x)=月(x)=?+8x+13),力(x)=方(x)=e，(Y+10x+21),……

x2

又由<(x)=e(<2,,x+bnx+cn),可得｛4｝為常數(shù)列，且=1,

數(shù)列｛"｝表示首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列，所以2=2〃+2,

其中數(shù)列｛%｝滿足C2-。=4,-。2=6,一=8,…,c“一C,I=2n,

?,、i/、/、/、/(〃-1)(4+2〃)2r

所以—c]+(c2—q)+(c3—C2)d---1~(cn—)=4H---------------------=幾+〃+1,

、2an_2x1_1

所以2%-22(/+〃+1)-(2〃+2)n2

111111士一"〃之2），

又由而下----，-2<------

〃+1nn(n-l)

可得數(shù)列｛-；^的前n項(xiàng)和為1—1+不一----1--------1-----

〃(〃+1)223nn+1〃+1

J_131

數(shù)列｛--｝的前"項(xiàng)和為1H----+----H

(?-1)-?2334nn+\2n+\

所以數(shù)列二7a一的前〃項(xiàng)和為S“，滿足1———<5?<-———

2cn-bnJn+12n+l

393

所以3(1-——)<3S2001)即3———<<-———

20012(0X0X0)2001-00022001

又由上可表示不超過(guò)實(shí)數(shù)〃7的最大整數(shù)，所以［3520001=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)法求數(shù)列的和

的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.

【解析】

由題意首先研究函數(shù)y=|/（x）|的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式，求解不等式即可確定實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)T<x<0時(shí)，函數(shù)f（x）=f+2x在區(qū)間（一1,0）上單調(diào)遞增，

很明顯《X）?-1,0）,且存在唯一的實(shí)數(shù)*滿足f（xj=—g,

當(dāng)一lwr<0時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=f+j在區(qū)間（-1,一；）上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)y=V+2X+7工廠在區(qū)間（-1,不）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x，0）上單調(diào)遞增，且當(dāng)

4x+ox

X=X|時(shí)，x2+2x+—5~—=1,

4x+8x

考查函數(shù)y=,+2x—1］在區(qū)間(0,+8)上的性質(zhì)，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=卜2+2x-l|在區(qū)間(0,0-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(&-1,+8)上單調(diào)遞增,

函數(shù)g(x)=a\f(x)\+1有6個(gè)零點(diǎn)，即方程4/(刈+1=0有6個(gè)根，

也就是|f(x)|=有6個(gè)根，即y=|/(x)|與y=一_1有6個(gè)不同交點(diǎn)，

aa

注意到函數(shù)y=x1+2x關(guān)于直線x=—1對(duì)稱，則函數(shù)y■/(x)|關(guān)于直線x=—1對(duì)稱，

154

觀察可得：一一＜-,即-l＜a＜一-.

a45

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍是一1，一［)

故答案為

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)

生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

15.20

【解析】

由三個(gè)年級(jí)人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級(jí)共有600人，根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為。也c,則2/?=a+c且a+Z?+c=1800,

解得：b=600,

用分層抽樣的方法抽取60人，那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為60乂偌=20人.

18()()

故答案為：2().

【點(diǎn)睛】

本題考查分層抽樣問(wèn)題的求解，涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

163正、

lo------F1

2

【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值

【詳解】

=_1,又實(shí)數(shù)圖形為!圓，如圖：'/代'/

由=人—〃2化簡(jiǎn)得—

12；I2>

224H七

a2-a=b-b29RTWCZ2=a+b-b29b2--a-i-b-a2

i_.b~d~a+b—cra+b—b1b.aba7c

miId----Q+1H------bt=—T----a-b+2

abababab

由幾何意義得[及—1,1+0],貝![V2-L1+V2],為求最大值則當(dāng)過(guò)點(diǎn)A或點(diǎn)3時(shí)。+方取最小值，可得

M=V2-1+1+V2------+2=—+1

2222

所以例=1的最大值是----1-1

ab2

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元最值問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問(wèn)題,對(duì)要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然

后求出最值問(wèn)題，本題有一定難度。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)A=工；(2)北正

32

【解析】

⑴利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦公式與正弦的和角公式化簡(jiǎn)求解即可.

⑵由(1)有A=三，根據(jù)正弦定理可得4=#，進(jìn)而求得sinB的值，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.

【詳解】

(1)由c(sin2A-cosBsinC)=工Z?sin2C,得csin2A='bsin2C+ccosBsinC,

得2csinAcosA=—。?2sinCeosC+ccosBsinC,

由正弦定理得2sinCsinAcosA=sinBsinCcosC+cosBsin2C?

顯然sinCw0,同時(shí)除以sinC,得2sinAcosA=sinBcosC+cosSsinC.

所以2sinAcosA=sin(B+C).所以2sinAcosA=sinA.

ijr

顯然5m4。(),所以28S4=1,解得饃54=一.又46(0,1),所以4=一.

23

2_a

(2)若。=2,，=2,由正弦定理得」一=，一，得—V=-T,解得°=

4sinCsinAsin-sm-'

.百垃1&+y/2

乂vsinBD=sin(A+C)=sinA4cosC+cosAsinC=——x----F—x——=-----------

22224

LesinB=-xV6x2xV6+V23+6

所以S△/IDC

ABC22-4-2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正余弦定理與面積公式在解三角形中的運(yùn)用，需要根據(jù)題意用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再根據(jù)三角恒等

變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求解等.屬于中檔題.

18.(1)史/，&的分布列為

g0123

1,^-(1-a2)1,a2

P(1-a)—(2a—a2)

222~2

⑵同

【解析】

（i）p?是“g個(gè)人命中，3一自個(gè)人未命中”的概率.其中g(shù)的可能取值為o、1、2、3.

P(g=0)=G°(l-g)CjCl—a)2=y(1—a)2；

PC=1)=C：?；C；(l—a)2+C：(1—；)C2a(l—a)=^-(l—a2)；

P(q=2)=G'；c；a(l—a)+C；a2=^-(2a—a2)；

p（g=3）=c：cl，a2=~^'

所以g的分布列為

g0123

1,1,a2

p7-(1-a)2—(1-a2)—(2a—a2)

222~2

g的數(shù)學(xué)期望為

E(￡)=0x-(l-a)2+lx-(l-a2)+2x-(2a-a2)+3x—=.

22222

1,,

(2)P(^=l)-P(^=0)=y[(l-a2)-(l-a)2]=a(l-a)；

1),1—2a

P《=l)—P?=2)=-[(1—a2)—(2a—a2)]=——；

i1-2〃2

P(g=l)—P(q=3)=-[(1—a2)—a2]=——.

22

a(l-a)>0,

A-2a

>0,和OVaVL得OVaW^,即a的取值范圍是（0,1

由

22I2.

2

22

19.(1)—+^-=1(2)證明見(jiàn)解析

43

【解析】

(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知，當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，弱的面積取得最大值班,

求出a,瓦C,即可得答案;

(2)根據(jù)題意可知4(2,0),5(0,73).因?yàn)锳B//CD,所以可設(shè)直線的方程為

y,弘),。(々,月)，將直線代入曲線的方程，利用韋達(dá)定理得到不當(dāng)?shù)年P(guān)系，再代入斜

率公式可證得上#2為定值?

【詳解】

(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,

當(dāng)“為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值班.

c=1

所以《—x2cxb=yfi,所以。=2,b-V3>

a1=b2+c2

元2v2

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+=1.

43

(2)根據(jù)題意可知A(2,0),3((),百)，因?yàn)锳B//CD,

所以可設(shè)直線CD的方程為y=+(、

W6),Dx,y,）,C（x2,y2）.

-------1---------1

43l

由，、l9消去）可得6--4Gmx+4/%2-12=0,

y=----x+m

：2

山1、125/3mnn2yl31n

所以2+%=—-—，即為=-------%

V3

----------Y4-

直線AO的斜率Z一必_2?

X]—2Xj—2

直線8c的斜率”_力-6一一與J+

K、——

工2X2

所以

———■X]+m———馬+加--^3~%1%2一~~~(尤]+々)~1—X|+—V3)

"2=---------------------------------------------------=-------------------——7―------------------------------

芭-

2x2(x,-2)X2

3_3.

戶、々弓故攵他為定值?

(A:,-2)X24

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中的定值問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)

算求解能力，求解時(shí)注意坐標(biāo)法的運(yùn)用.

20.(1)答案見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析

【解析】

/h2

(1)利用基本不等式可得幺+。膜a,L+a2b,兩式相加即可求解.

ha

b2\

(2)由(1)知a+b-----=ab+人①一",代入不等式，利用基本不等式即可求解.

aa

【詳解】

2j2

(1)---F即勖--FCl2b

ba

j22

兩式相加得上+土..4+8

ab

(從、h2(a-b)

(2)由(1)知a+b-----=ab+

Ia)

2a1.h~(a-b)a1

于是,a+—+----------..ab+------------+—+-----------

ba(a-b)aba(a-b)

.ab2(a-b)11

ab-v—+H------------------

Ib\a(a—b))

..2“>4.

ba

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

21.(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8)；(2)0<a<e

【解析】

(1)g'(x)=T2x+；)(x-l),令g")>。，g'(x)<0解不等式即可；

(2).(x)=(x+1)爐—“(X+D=(x+1)(/—0),令/(x)=0得x。，即*=q,且/z(x)的最小值為

XXX。

/2(%0)=%0^-alnxQ-cix0-a+e9令//(不，之。，結(jié)合=—即可解決.