【新教材】人教A版高中數學必修第一冊同步練習3.1 橢圓 同步練習【含答案】

1、2019人教版選修一曲線方程橢圓一、單選題1.橢圓 x24+y23=1 的焦點坐標為（ ） A.(0,1)B.(1,0)C.(0,7)D.(7,0)2.已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1(ab0) ，若長軸長為8，離心率為 12 ，則此橢圓的標準方程為（ ） A.x264+y248=1B.x264+y216=1C.x216+y24=1D.x216+y212=1 3.P是橢圓 x2+4y2=16 上一點， F1 ， F2 是該橢圓的兩個焦點，且 |PF1|=7 ，則 |PF2|= （ ） A.1B.3C.5D.94.“ m0 ”是“方程 x2m+1+y22m=1 表示焦點在 x 軸的橢圓”的（

2、 ） A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.設 M 是橢圓 x225+y216=1 上的一點， F1,F2 為焦點，且 F1MF2=6 ，則 MF1F2 的面積為（ ） A.1633B.16(2+3)C.16(23)D.16 6.已知橢圓 x2a2+y2b2=1(ab0) ，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)為右焦點，且ABBF，則橢圓的離心率為（ ） A.22B.32C.312D.5127.已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為 e=32 ，過點 Q(1,2) 的直線1與橢圓相交于A，B兩點，若點Q是線段 AB 的中點，則直線l的斜率為（ ）

3、A.2或 18B.2或8C.12 或 18D.12 或88.橢圓 x2a2+y2b2=1 （ ab0 ）上一點 M 關于原點的對稱點為 N ， F 為橢圓的一個焦點，若 MFNF=0 ，且 MNF=3 ，則該橢圓的離心率為（ ） A.122B.22C.33D.31二、多選題9.若方程 x29k+y2k1=1 表示橢圓 C ，則下面結論正確的是（ ） A.k(1,9)B.橢圓 C 的焦距為 22C.若橢圓 C 的焦點在 x 軸上，則 k(1,5)D.若橢圓 C 的焦點在 y 軸上，則 k(5,9)10.若橢圓 C:x2m+y2m21=1 的一個焦點坐標為 (0,1) ，則下列結論中正確的是（ ）

4、 A.m=2B.C的長軸長為 23C.C的短軸長為4D.C的離心率為 13 11.如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點 P 變軌進入以月球球心 F 為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在點 P 第二次變軌進入仍以 F 為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在點 P 第三次變軌進入以 F 為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用 2c1 和 2c2 分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用 2a1 和 2a2 分別表示橢圓軌道I和II的長軸長，則下列式子正確的是（ ） A.a1+c1=a2+c2B.a1c1=a2c2C.c1a2a1c2D.c1a1b0) ， A1,A2 分別

5、為左、右頂點， B1 ， B2 分別為上、下頂點， F1 ， F2 分別為左、右焦點，P為橢圓上一點，則滿足下列條件能使橢圓C為“黃金橢圓”的有（ ） A.|A1F1|F2A2|=|F1F2|2B.F1B1A2=90C.PF1x 軸，且 PO/A2B1D.四邊形 AB2A2B1 的內切圓過焦點 F1 ， F2三、填空題13.已知過點 M(1,32) 的橢圓C的焦點分別為 F1(1,0) ， F2(1,0) ，則橢圓C的標準方程是_. 14.在直角三角形 ABC 中， AB=AC=1 ，橢圓的一個焦點為C，另一個焦點在邊 AB 上，并且橢圓經過點 A,B ，則橢圓的長軸長等于_. 15.已知橢圓

6、C： x24+y2=1 ，A，B是橢圓C上兩點，且關于點 M(12,34) 對稱，P是橢圓C外一點，滿足 PA ， PB 的中點均在橢圓C上，則點P的坐標是_. 16.已知橢圓 x2a2+y2b2=1(ab0) 的左，右焦點分別為 F1 ， F2 ，若橢圓上存在一點 P 使得 |PF1|=2|PF2| ，則該橢圓離心率的取值范圍是_. 四、解答題17.已知橢圓的長軸在 x 軸上，長軸長為4，離心率為 32 ， （1）求橢圓的標準方程，并指出它的短軸長和焦距. （2）直線 x2y2=0 與橢圓交于 A,B 兩點，求 A,B 兩點的距離. 18.已知橢圓E： x2a2+y2b2=1 （ ab0 ）

7、的焦距為 23 ，且離心率為 32 . （）求E的方程；（）若直線 y=kx+1 （ k12 ）與E相交于A，B兩點，M為E的左頂點，且滿足 MAMB ，求k.19.已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的左右焦點分別是 F1,F2 ，且離心率為 22 ，點 M 為橢圓下上動點， F1MF2 面積的最大值為 1 （1）求橢圓 C 的標準方程； （2）若 M 是橢圓 C 的上頂點，直線 MF1 交橢圓 C 于點 N ，過點 F1 的直線 l (直線 l 的斜率不為1)與橢圓 C 交于 P、Q 兩點，點 P 在點 Q 的上方若 SF1MP:SF1NQ=3:2 ，求直線 l 的方程 20.

8、已知橢圓 E:x2a2+y2b2=1(ab0) 的左右焦點分別為 F1 ， F2 ，其離心率為 32 ，點 P(2,22) 在橢圓E上. （1）求橢圓E的標準方程； （2）經過橢圓E的左焦點 F1 作斜率之積為 12 的兩條直線 l1 ， l2 ，直線 l1 交橢圓E于A，B，直線 l2 交橢圓E于C，D，G，H分別是線段AB，CD的中點，求 GHF2 面積的最大值. 21.已知四點 P1(1,22),P2(1,22),P3(1,1),P4(0,1) 中恰有三點在橢圓 C:x2a2+y2b2=1 上，其中 ab0 （1）求 a,b 的值； （2）若直線 l 過定點 M(2,0) 且與橢圓 C

9、交于 A,B 兩點（ l 與 x 軸不重合），點 B 關于 x 軸的對稱點為點 D 探究：直線 AD 是否過定點，若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由 22.在平面直角坐標系xOy中，橢圓 C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的離心率為 32 ，直線 y=x 被橢圓C截得的線段長為 4105 . （1）求橢圓C的方程； （2）過原點的直線與橢圓C交于 A(x1,y1) B(x1,y1) 兩點(AB不與橢圓C的頂點重合)，點 D(x2,y2) 在橢圓C上，且 ADAB ，直線BD與x軸交于M點，設直線BDAM的斜率分別為 k1 k2 ，證明存在常數 使得 k1=k2 ，并求出 的值. 答

10、案解析部分一、單選題1. B 解：由題意，橢圓 x24+y23=1 ，可得 a2=4,b2=3 ，所以 c=a2b2=1 ， 又由橢圓的焦點在 x 軸上，所以橢圓的焦點坐標為 F(1,0) .故B.2. D 解：因為橢圓 C:x2a2+y2b2=1(ab0) 長軸長為8，所以 2a=8 ，即 a=4 ， 又離心率為 12 ，所以 ca=12 ，解得： c=2 ，則 b2=a2c2 = 12 ，所以橢圓的標準方程為： x216+y212=1 。故D3. A 解：由 x2+4y2=16 得 x216+y24=1 ， 所以 a2=16 ，所以 a=4 ，根據橢圓的定義可得 |PF1|+|PF2|=2

11、a=8 ，又 |PF1|=7 所以 |PF2|=1 .故A4. B 解：由題意，方程 x2m+1+y22m=1 表示焦點在 x 軸上的橢圓， 則滿足 m+12m0 ，解得 0m1 ；又由當 0m0 ，但若 m0 則不一定有 0m0 ”是“方程 x2m+1+y22m=1 表示焦點在 x 軸上的橢圓”的必要非充分條件故B5. C 解：設 MF1=x1,MF2=x2,則x1+x2=10 ， 所以由余弦定理得： cosF1MF2=x12+x22-4c22x1x2=32,即x1x2=64(2-3) ，所以 SMF1F2=12x1x2sinF1MF2=16(2-3) 。6. D 解：因為 A(a,0),B

12、(0,b),F(c,0) ， ABBF ，所以 kABkBF=1 ， 所以 ba(bc)=1 ，所以 b2=ac ，所以 a2c2=ac ，所以 1e2=e ，所以 e2+e1=0 ，所以 e=512 。 故D.7. A 解：解：由題意可得 e=ca=32 ，所以 c2a2=34 ，由a，b，c之間的關系可得 1b2a2=34 ，所以 b2a2=14 ， 設 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，由題意可得 x1+x22=1 ， y1+y22=2 ，因為A，B在橢圓上，當焦點在x軸上時，則 x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1 ，作差可得 x12x22a2+y12y22b2

13、=0 ，所以 y1y2x1x2=b2a2x1+x2y1+y2=1412=18 ；當焦點在y軸上時，則 y12a2+x12b2=1y22a2+x22b2=1 作差可得 y12y22a2=x12x22b2 ，所以 y1y2x1x2=a2b2x1+x2y1+y2=412=2 ，綜上所述直線l的斜率為：2或 18 ，故A.8. D 解：如圖， E 是另一個焦點，由對稱性知 MENF 是平行四邊形， MFNF=0 ， MFNF ， MENF 是矩形MNF=3 ， MEF=3 ， |ME|=|EF|cos3=2c12=c ， |MF|=2csin3=3c ， |MF|+|ME|=(3+1)c=2a ， e

14、=ca=23+1=31 故D二、多選題9. C,D 解：由題可知， 9k0k10 ，又橢圓中 a2b2 ，故 k19k ，聯(lián)立求得 k(1,5)(5,9) ，A不符合題意； 當 9kk1 ，即 k(1,5) 時，焦點在 x 軸， c2=a2b2=9k(k1)=102k ，B不符合題意，C符合題意；當 k19k ，即 k(5,9) 時，焦點在 y 軸上， c2=a2b2=k1(9k)=2k10 ，B不符合題意，D符合題意，故CD。10. A,B 解：由已知可得 m2m1=1 ，解得 m=2 或 m=1 （舍去）, a2=3,a=3,b=2 ， c=1,長軸長為 23 ，短軸長為 22 ，離心率為

15、 e=13=33 。故AB.11. B,C 解：由題圖可得 a1a2,c1c2,a1+c1a2+c2 ，A不正確； |PF|=a1c1,|PF|=a2c2,a1c1=a2c2 ，B符合題意；由 a1c1=a2c2 得 (a1+c2)2=(a2+c1)2 ，即 a12c12+2a1c2=a22c22+2a2c1 ，即 b12+2a1c2=b22+2a2c1,b1b2,a2c1a1c2,c1a1c2a2 ，C符合題意，D不正確故BC12. B,D 解：橢圓 C:x2a2+y2b2=1(ab0) A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b),F1(c,0),F2(c,0)對于A，若

16、 |A1F1|F2A2|=|F1F2|2 ，則 (ac)2=(2c)2 ， ac=2c ， e=13 ，不滿足條件，A不符合條件；對于B， F1B1A2=90 ， |A2F1|2=|B1F1|2+|B1A2|2 (a+c)2=a2+a2+b2 ， c2+aca2=0 e2+e1=0 ，解得 e=512 或 e=512 （舍去），B符合條件；對于C， PF1x 軸，且 PO/A2B1 ， P(c,b2a) kPO=kA2B1 b2ac=ba ，解得 b=c a2=b2+c2 ， a=2c e=ca=c2c=22 ，不滿足題意，C不符合條件；對于D，四邊形 A1B2A2B1 的內切圓過焦點 F1,

17、F2即四邊形 A1B2A2B1 的內切圓的半徑為c， ab=ca2+b2 c43a2c2+a4=0 ， e43e2+1=0 ，解得 e2=3+52 （舍去）或 e2=352 ， e=512 ，D符合條件故BD三、填空題13. x24+y23=1 解：由題意 2a=(11)2+(0+32)2+(11)2+(0+32)2=4 ， a=2 ，所以 b=2212=3 , 所以橢圓方程為 x24+y23=1 故 x24+y23=1 14. 2+22 解：解：如圖， 設橢圓的長軸長為 2a ，因為 |AB|=|AC|=1 ，則 |BC|=2 ，|AF|=2a1 ， |BF|=2a2 ，則 2a1+2a2=

18、1 ，所以 2a=2+22 .故 2+2215. (1132,3394) 或 (1+132,3+394) 解：設 A(x1,y1),B(x2,y2) ， A，B是橢圓C上兩點， 則 x124+y12=1x224+y22=1 ，兩式相減得 (x1+x2)(x1x2)4+(y1+y2)(y1y2)=0 ，M(12,34) 是AB中點，則 x1x24+32(y1y2)=0 ，即 y1y2x1x2=36 ，故直線AB斜率為 36 ，則直線AB方程為 y34=36(x12) ，即 y=36x+33 ，將直線方程代入橢圓得 x2x2=0 ，解得 x1=1,x2=2 ，則可得 A(1,32),B(2,0)

19、，設 P(m,n) ，則PA中點為 (m12,2n+34) ，PB中點為 (m+22,n2) ， PA ， PB 的中點均在橢圓C上，則 (m1)216+(2n+3)216=1(m+2)216+n24=1 ，解得 m=1132n=3394 或 m=1+132n=3+394 ，P 的坐標為 (1132,3394) 或 (1+132,3+394) .故 (1132,3394) 或 (1+132,3+394) .16. 13,1) 解：由橢圓的定義可得 |PF1|+|PF2|=2a ，又 |PF1|=2|PF2| ，所以 |PF1|=4a3,|PF2|=2a3 ， 在橢圓中， |PF1|PF2|2c

20、 ，所以 2a32c ，即 e=ca13 ，又 2a2c ，所以 e=ca12 ，故 k=56 19. （1）解： F1MF2 面積的最 Smax=12|F1F2|b=122cb=bc=1 又 ca=22 ，所以 b=c ，解得 b=1c=1 即 a=2,b=1 ，故橢圓C的標準方程為 x22+y2=1 （2）解：由題可得直線 MF1 的方程為 y=x+1 ， 聯(lián)立 y=x+1x22+y2=1 ，得 N(43,13) ，則 NF1MF1=13 ，因為 SF1MP:SF1NQ=3:2 ，則 12NF1QF1sinQF1N=23(12MF1PF1sinPF1M) ，得 QF1=2PF1 ，當直線 l 的斜率為0時，不符合題意，故設直線 l 的方程為 x=my1,P(x1,y1),Q(x2,y2