滬科版八年級上冊數(shù)學(xué)課件（第15章 軸對稱圖形與等腰三角形）

1、第15章 軸對稱圖形與等腰三角形15.1 軸對稱圖形第1課時 軸對稱1課堂講解軸對稱圖形軸對稱線段的垂直平分線與軸對稱及軸對稱圖形的性質(zhì)2課時流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升 現(xiàn)實(shí)世界中，許多物體具有對稱性，如氣勢恢宏的天安門的正面圖，顯示出和諧、莊重的對稱美.1知識點(diǎn)軸對稱圖形觀察 人們很欣賞物體的對稱美，設(shè)計(jì)師、藝術(shù)家常利用對稱性使作品美觀大方（如圖）.知1導(dǎo)鐵路標(biāo)志北京天壇祈年殿正面平面圖中國人民銀行標(biāo)志知1導(dǎo)在我們的周圍存在著許多具有對稱性的平面圖形（如圖）.上述這些平面圖形的對稱性有什么特點(diǎn)呢？（1）蜻蜓（2）雪花（3）楓葉知1講軸對稱圖形：1.定義：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，

2、直線兩 旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖 形這條直線就是它的對稱軸，重合的點(diǎn)叫做對稱點(diǎn) 要點(diǎn)精析： (1)一個整體圖形； (2)一條直線：對稱軸； (3)直線兩旁的部分能完全重合2.常見的軸對稱圖形(已學(xué)過部分) (1)直線是軸對稱圖形；其對稱軸是：本身和過直線上任 一點(diǎn)的垂線，有無數(shù)條；知1講 (2)射線是軸對稱圖形；其對稱軸是：射線本身所在的直線， 有一條； (3)線段是軸對稱圖形；其對稱軸是：線段本身所在直線和過 線段中點(diǎn)的垂線，有兩條； (4)角是軸對稱圖形；其對稱軸是：角平分線所在的直線，有 一條 要點(diǎn)精析： (1)軸對稱圖形是一個圖形自身的對稱特性，它被對稱軸分成 的

3、兩部分能夠完全重合，其對稱點(diǎn)在同一圖形上 (2)軸對稱圖形的對稱軸是一條直線，而不是線段或射線，它 可以是一條，也可以是多條，甚至是無數(shù)條. 例1 （天津）下列標(biāo)志中，可以看作是軸對稱圖形的是 ()導(dǎo)引：按軸對稱圖形的定義判斷，選項(xiàng)D沿豎直的一條直線 折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，其他三個圖 形沿任何直線折疊，直線兩旁的部分都不重合知1講 D總 結(jié)知1講 判斷軸對稱圖形的方法：根據(jù)圖形的特征，嘗試找到一條直線，沿著這條直線折疊，如果直線兩邊的部分能夠重合，即可確定這個圖形是軸對稱圖形，否則就不是軸對稱圖形注意：嘗試多角度來觀察圖形和折疊圖形 例2 如圖1所示，判斷下列圖形是否為軸對稱圖形如

4、果是， 指出它的對稱軸導(dǎo)引：按照軸對稱圖形的定義，只要能夠找到一條直線，使圖形 沿這條直線折疊之后直線兩旁的部分重合在一起，這個圖 形就是軸對稱圖形同時，該直線即為它的對稱軸注意 一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也許有兩條或 多條知1講圖1解：圖1中是軸對稱圖形它們的對稱 軸如圖2所示：知1講 圖2總 結(jié)知1講 找軸對稱圖形時，可以試著畫對稱軸，通過觀察兩部分是否重合來判定；找對稱軸要注意全方位去找，不要遺漏 操作 使用折紙的方法，很容易畫出或剪成一個軸對稱圖形.如圖是制作一片楓葉平面圖的過程圖.知1講(1)在一薄紙上畫出軸對稱圖形的一半(包括對稱軸) (2)沿對稱軸對折(3)將紙翻轉(zhuǎn)，

5、可見原半個圖的輪廓（4)沿著輪廓線描出圖形的另一半（5)將紙展開，可以看到一片具有對稱性的楓葉1指出下列圖形各有幾條對稱軸，畫出每個圖的對稱軸.知1練 圖形代號對稱軸條數(shù)2(中考天津)在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對稱圖形，下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是()如圖，其中所有軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)之和為()A13 B11 C10 D8知1練 34（山東泰安）如圖，下列四個圖形，其中是軸對稱 圖形，且對稱軸的條數(shù)為2的圖形的個數(shù)是() A1 B2 C3 D4知1練 2知識點(diǎn)軸對稱知2導(dǎo)觀察 圖中有兩對圖形，其中的每一對圖形，它們在一條直線（圖中畫成虛線）的兩旁，如果沿著這條直線折疊，兩個圖形

6、重合.（1）（2）知2講1.軸對稱的定義：平面內(nèi)兩個圖形在一條直線的兩旁，如果 沿著這條直線折疊，這兩個圖形能夠重合，那么稱這兩個 圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸，折疊后重合的兩點(diǎn) 叫做對應(yīng)點(diǎn)，也叫做對稱點(diǎn) 注意：不在對稱軸上的對稱點(diǎn)在對稱軸的兩側(cè)，對稱軸上 的點(diǎn)的對稱點(diǎn)是它本身2.軸對稱的定義包含兩層含義：(1)有兩個圖形，且形狀、 大小完全相同(2)兩個圖形的位置必須滿足沿一條直線 折疊后能完全重合 知2講 例3 分別觀察圖中中的兩個圖形，它們成軸對稱 嗎？有什么共同特點(diǎn)？導(dǎo)引：嘗試沿著一條直線折疊，觀察兩個圖形是否能夠完全重 合，并根據(jù)軸對稱的定義判斷 解：它們都成軸對稱，每一組中都有

7、兩個圖形，都可以沿某 一條直線折疊使兩個圖形完全重合在一起，所以每組圖 中的兩個圖形成軸對稱總 結(jié)知2講 識別軸對稱的方法：判斷兩個圖形是否關(guān)于某條直線成軸對稱，先觀察兩個圖形的形狀、大小，如果形狀、大小相同，再看能否找到一條直線且將兩個圖形沿這條直線折疊，如果能夠重合，則這兩個圖形成軸對稱，否則不成軸對稱 知2講 名稱關(guān)系 軸對稱軸對稱圖形區(qū)別對象不同兩個圖形一個圖形意義不同兩個圖形的特殊位置關(guān)系一個具有特殊形狀的圖形對應(yīng)點(diǎn)位置不同對稱點(diǎn)分別在兩個圖形上對稱點(diǎn)在同一個圖形上對稱軸位置不同兩個圖形成軸對稱，其對稱軸可能在兩個圖形的外部，也可能經(jīng)過兩個圖形的內(nèi)部或它們的公共邊(點(diǎn))軸對稱圖形的對

8、稱軸一定經(jīng)過這個圖形的內(nèi)部對稱軸數(shù)量不同只有一條對稱軸未必只有一條聯(lián)系(1)定義中都有一條直線，都要沿著這條直線折疊(2)把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形，把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系：知2講 例4 如圖所示，其中是軸對稱圖形的有 _， 與甲成軸對稱的圖形是_導(dǎo)引：根據(jù)軸對稱和軸對稱圖形的定義，知甲、乙、丙、丁都 是軸對稱圖形沿某一條直線折疊后與甲能夠完全重合 的是丁甲、乙、丙和丁丁 總 結(jié)知2講 判斷軸對稱圖形和軸對稱都需判斷重合軸對稱圖形是指一個圖形的特性，軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，區(qū)別時要緊抓

9、“一個圖形還是兩個圖形” 1將一張紙片對折，在折痕上選兩點(diǎn)A, B,從A到B任意剪去紙片的一部分，打開時，你能看到什么樣的圖案？請?jiān)囋嚳?如圖，成軸對稱的有()個A1 B2 C3 D4知2練 2 3下列說法中，正確的是()A關(guān)于某條直線對稱的兩個三角形是全等三角形B全等的兩個三角形是關(guān)于某條直線對稱的C若兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，則這兩個圖形一 定分別位于這條直線的兩側(cè)D全等的兩個圖形一定成軸對稱知2練 下列圖形中，ABC與ABC關(guān)于直線MN成軸對稱的是()知2練4 知3講3知識點(diǎn)線段的垂直平分線與軸對稱及軸對稱圖形的性質(zhì)思考 如圖，ABC與ABC，關(guān)于直線l 對稱，點(diǎn)A，B，C分別是點(diǎn)A，

10、B，C的對應(yīng)點(diǎn). 連接AA，設(shè)AA與直線l交于點(diǎn)O1.(1)直線l與線段AA有怎樣的位置 關(guān)系？(2)O1A與O1A的長度有何關(guān)系？1.線段的垂直平分線： (1)定義：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線叫做這條 線段的垂直平分線 要點(diǎn)精析：線段的垂直平分線必須滿足兩個條件： 經(jīng)過線段的中點(diǎn)；垂直于這條線段 (2)如圖，CD是AB的垂直平分線2.軸對稱及軸對稱圖形的性質(zhì)： (1)如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng) 點(diǎn)所連線段的垂直平分線；成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點(diǎn) 的連線被對稱軸垂直平分知3講 (2)軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分 線 (3)關(guān)于某一

11、條直線成軸對稱的兩個圖形是全等形3.軸對稱的判定： (1)如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)所連線段被同一條直線垂直平分，那 么這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱 (2)如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個 圖形全等，并且這兩個圖形成軸對稱 要點(diǎn)精析：無論是軸對稱圖形還是兩個圖形成軸對稱都有一個 共同特性：折疊后兩部分(兩個圖形)能夠完全重合；即兩個 圖形成軸對稱，其對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等 知3講 例5 如圖，直線AE是線段BC的垂直平分線，垂足為E. 求證：ABDACD.導(dǎo)引：利用線段垂直平分線的定義結(jié)合全等三角形知識證明證明：直線AE是線段BC的垂直平分線， BECE，AEBC，AEBAE

12、C90. 在BDE和CDE中， BDECDE，DBEDCE. 在ABE和ACE中， ABEACE，ABEACE，ABDACD. 知3講 例6 如圖是軸對稱圖形，圖中直線l是它的對稱軸 (1)3和4有什么關(guān)系？AB與AB呢？ 為什么？ (2)DD與直線l有什么關(guān)系？為什么？ (3)寫出圖中其他相等關(guān)系(不少于三對) 解：(1)34，ABAB，因?yàn)檩S對稱 圖形中對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等 (2)直線l是DD的垂直平分線，因?yàn)檩S對稱圖形的對稱軸是 任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線 (3)ADAD，12，DCDC等 知3講總 結(jié)知3講 要學(xué)會熟練應(yīng)用軸對稱圖形的性質(zhì)中的相等關(guān)系和垂直關(guān)系要準(zhǔn)確找出圖中

13、的對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)角和對應(yīng)線段 例7 如圖，ABC是軸對稱圖形，且直線AD是 ABC的對稱軸，點(diǎn)E，F(xiàn)是線段AD上的任 意兩點(diǎn)，若ABC的面積為12 cm2，則圖中 陰影部分的面積是_cm2. 導(dǎo)引：因?yàn)锳BC是軸對稱圖形，且直線AD是 對稱軸，所以ABD與ACD關(guān)于直線 AD對稱，所以 SABDSACD 又因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)是AD上的任意兩點(diǎn)，所以BEF與 CEF關(guān)于直線AD對稱， 所以SCEFSBEF，所以陰 影部分的面積S陰影SABESBEFSBDFSABD SABC 知3講61已知直線l和ABC(如圖），畫ABC ，使得它與ABC關(guān)于直線l對稱.知3練 2如圖，已知ABC與ABC關(guān)于直線MN對稱

14、，則MN垂直平分線段_如圖，ABC與DEF關(guān)于直線MN對稱，則以下結(jié)論中錯誤的是()AABDF BBECABDE DA、D的連線段被MN垂直平分知3練 34如圖，ABC和ABC關(guān)于直線l對稱，下列結(jié)論：ABCABC；BACBAC；直線l垂直平分線段CC；直線BC和BC的交點(diǎn)不一定在直線l上其中正確的有()A4個 B3個C2個 D1個知3練 第15章 軸對稱圖形與等腰三角形15.1 軸對稱圖形第2課時 平面直角坐標(biāo)系 中的對稱1課堂講解對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征平移點(diǎn)的坐標(biāo)的特征旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征2課時流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1知識點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征思考 在平面直角坐標(biāo)系中，如何作出圖形的軸對稱

15、圖呢？下面只介紹以特殊直線（坐標(biāo)軸）為對稱軸的情形. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(1, 1)，B(3, 1)，C(3, 3)，D(1, 3).知1導(dǎo)知1導(dǎo)(1)分別作出點(diǎn)A，B，C，D關(guān)于x軸對稱的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1，D1， 并寫出它們的坐標(biāo)；(2)分別作出點(diǎn)A，B，C，D關(guān)于y軸對稱的對應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2，D2， 并寫出它們的坐標(biāo). 觀察上表，指出已知點(diǎn)與它關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？與它關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)又有什么關(guān)系呢？已知點(diǎn)的坐標(biāo)A(l, 1)B(3, 1)C(3, 3)D(1,3)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)A1(_，_ )B1(_，_

16、)C1(_，_ )D1(_，_ )關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)A2(_，_ )B2(_，_ )C2(_，_ )D2(_，_ )知1講對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：1.用坐標(biāo)表示軸對稱的性質(zhì)： (1)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，其特征為：橫 坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)； (2)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，其特征為：橫 坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等 要點(diǎn)精析：(1)上述性質(zhì)可簡稱為：橫對稱，橫不變，縱相反； 縱對稱，縱不變，橫相反 (2)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)只有符號不同，其絕對值相同2.在直角坐標(biāo)系中作軸對稱圖形：作一個圖形關(guān)于x軸(或y軸)對稱 的圖形的步驟：(1)

17、求出特殊點(diǎn)關(guān)于x軸(或y軸)的對稱點(diǎn)的坐 標(biāo)；(2)描點(diǎn)；(3)連接所描的點(diǎn) 例1 已知點(diǎn)A(m2，3)，B(5，n6)關(guān)于y軸對 稱，則m_，n_導(dǎo)引：由關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得m25， n63，解得，m3，n3.知1講 33總 結(jié)知1講 本題運(yùn)用了方程思想，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是縱坐標(biāo)互為相反數(shù)、橫坐標(biāo)相等；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是橫坐標(biāo)互為相反數(shù)、縱坐標(biāo)相等 例2 (內(nèi)蒙古赤峰)如圖1，在平面直角坐標(biāo) 系中，已知點(diǎn)A(0，3)，B(2，4)， C(4，0)，D(2，3)，E(0，4)寫出 B，C，D關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)H，G，F(xiàn)的 坐標(biāo)，并描出點(diǎn)H，

18、G，F(xiàn).順次平滑地 連接A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，A 各點(diǎn)導(dǎo)引：方法一：點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐 標(biāo)是(x，y)，作點(diǎn)B，C，D關(guān)于y軸對 稱的點(diǎn)的關(guān)鍵是求出各對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后順次平滑地連 接各點(diǎn)即得所要求的圖形；方法二：利用軸對稱先作出圖 形，再直觀判斷H，G，F(xiàn)的坐標(biāo)知1講圖1解：如圖2. 方法一：點(diǎn)B，C，D關(guān)于y軸對稱的點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為H(2，4)，G(4，0)， F(2，3)；根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)H，G， F并順次平滑地連接A，B，C，D，E， F，G，H，A各點(diǎn)即得所求圖形 方法二：先作出點(diǎn)B，C，D關(guān)于y軸 的對稱點(diǎn)H，G，F(xiàn).觀察得出H(2，4)，G(4，0)， F(

19、2，3)，最后順次平滑地連接A，B，C，D，E， F，G，H，A各點(diǎn)即得所求圖形知1講 圖2總 結(jié)知1講 在坐標(biāo)系中作關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的圖形的方法有兩種：一是首先找到已知圖形的各關(guān)鍵點(diǎn)，然后根據(jù)軸對稱的特征確定各關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)，順次連接各點(diǎn)即可；二是按照一般情況，先作出特殊點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，再連接對應(yīng)點(diǎn)即可 例3 如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A(ab，2a)與點(diǎn)B(a5，b2a) 關(guān)于y軸對稱，(1)試確定點(diǎn)A，B的 坐標(biāo)；(2)如果點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn) 是C，求ABC的面積導(dǎo)引：(1)根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，先列方程組求 出a，b的值，再確定點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)AB

20、C為直 角三角形，可求直角邊AB，CB的長，進(jìn)而可得 ABC的面積知1講 解：(1)由題意得， 點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，1), 點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，1) (2)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是C， 點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4，1)， AB8，BC2， ABC的面積知1講 總 結(jié)知1講 本題運(yùn)用了方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)題意列方程組是解題的關(guān)鍵，在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合圖形使求ABC的面積變得簡單易行 1分別寫出下列各點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：A(2，0)， B(2，3)，C(4，2)， D(3， 2)，E(0， 1)， F(2，3).(中考貴港)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(m，mn)與點(diǎn)Q(2，3)關(guān)于原點(diǎn)對稱

21、，則點(diǎn)M(m，n)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限已知點(diǎn)P1(a1，5)和P2(2，b1)關(guān)于x軸對稱，則(ab)2 017的值為()A0 B1 C1 D(3)2 017知1練 23 2知識點(diǎn)平移點(diǎn)的坐標(biāo)的特征知2練(中考安順)點(diǎn)P(2，3)向左平移1個單位，再向上平移3個單位，則所得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(3，0) B(1，6) C(3，6)D(1，0)在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A(x，y)向右平移4個單位，再向下平移2個單位后與點(diǎn)B(3，2)重合，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是()A(2，5)B(7，4)C(7，1)D(1，1)12 3如圖，把圖中的圓A經(jīng)過平移得到圓O(如圖)，如果圖中圓A

22、上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n)，那么平移后在圖中的對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為() A(m2，n1) B(m2，n1)C(m2，n1) D(m2，n1)知2練 知3練3知識點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征(中考黔東南州)如圖，在ABO中，ABOB，OB ，AB1.將ABO繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90后得到A1B1O，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為()A(1， ) B(1， )或(1， )C(1， ) D(1， )或( ，1)1 2知3練(中考揚(yáng)州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，C，E在y軸上，RtABC經(jīng)過變換得到RtODE.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，AC2，則這種變換可以是()AABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90，再向下平移3BABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)9

23、0，再向下平移1CABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90，再向下平移1DABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90，再向下平移3 1.對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征；2.平移點(diǎn)的坐標(biāo)的特征；3.旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征.第15章 軸對稱圖形與等腰三角形15.2 線段的垂直平分線1課堂講解線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的判定2課時流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1知識點(diǎn)線段垂直平分線的性質(zhì) 怎樣作出線段的垂直平分線? 通過折紙可以作出線段的垂直平分線.在半透明紙上畫一條線段AA，折紙，使A與A重合，得到的折痕l是線段 AA的垂直平分線（如圖).知1導(dǎo)問 題步驟1步驟2步驟3知1導(dǎo) 也可以用刻度尺量出線段的中點(diǎn)，再用三角尺過中點(diǎn)畫垂線的方法

24、作出線段的垂直平分線. 下面介紹用尺規(guī)作圖，作出線段AB的垂直平分線. 作法：1.分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于 交于點(diǎn)E，F(xiàn).2.過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線.則直線EF就是線段AB的垂直平分線（如圖).知1導(dǎo)思考 為什么這樣作出的直線EF，就是線段AB的垂直平分線呢？設(shè)所作直線EF交AB于點(diǎn)O，你能給出證明嗎？知1講線段的垂直平分線的性質(zhì)：1.定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相 等； 條件：點(diǎn)在線段的垂直平分線上； 結(jié)論：這個點(diǎn)到線段兩端的距離相等 表達(dá)方式：如圖，lAB，AOBO， 點(diǎn)P在l上，則APBP.2.作用：可用來證明兩線段相等 例1 (山東臨沂)如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分

25、BD， 垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是() AABADBCA平分BCD CABBD DBECDEC 導(dǎo)引：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB與AD的關(guān)系，結(jié)合三 角形全等對四個選項(xiàng)進(jìn)行逐一驗(yàn)證 AC垂直平分BD， ABAD，BCDC， 又ACAC， ABCADC，BCADCA. 又BCDC，CECE， BECDEC，選項(xiàng)A，B，D成立知1講 C總 結(jié)知1講 平面幾何圖形問題的解決方法：分析圖形，結(jié)合已知條件對基本圖形的形狀進(jìn)行判定是常用的方法，然后再根據(jù)具體圖形的性質(zhì)作出判斷即可 例2 如圖，在ABC中，AC5，AB的垂直 平分線DE交AB，AC于點(diǎn)E，D， (1)若BCD的周長為8，求BC的

26、長； (2) 若BC4，求BCD的周長導(dǎo)引：由DE是AB的垂直平分線，得ADBD，所以 BD與CD的長度和等于AC的長，所以由BCD 的周長可求BC的長，同樣由BC的長也可求BCD的周長 解：DE是AB的垂直平分線， ADBD，BDCDADCDAC5. (1)BCD的周長為8， BCBCD的周長(BDCD)853. (2)BC4， BCD的周長BCBDCD549.知1講 總 結(jié)知1講 本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，用線段垂直平分線的性質(zhì)把BD的長轉(zhuǎn)化成AD的長，從而把未知的BD與CD的長度和轉(zhuǎn)化成已知的線段AC的長本題中AC的長、BC的長及BCD的周長三者可互相轉(zhuǎn)化，知其二可求第三者 例3 如圖，在AB

27、C中，A40，B90，線段AC的 垂直平分線MN與AB交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，則 BCD的度數(shù)是_導(dǎo)引：在ABC中，B90，A40， ACB50. MN是線段AC的垂直平分線， DCDA，AECE. 又DEDE， ADECDE(SSS)， DCEA40. BCDACBDCA504010.知1講10 總 結(jié)知1講 利用線段的垂直平分線的性質(zhì)和定義得出邊相等，從而得出三角形全等，再利用全等三角形中對應(yīng)角相等確定DCA的度數(shù)，根據(jù)角度差解決問題 1(中考義烏)如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA5，則線段PB的長度為()A6 B5 C4 D3(中考臨沂)如圖，在

28、四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是()AABAD BCA平分BCD CABBD DBECDEC知1練2 3(中考遂寧)如圖，在ABC中，AC4 cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，若BCN的周長是7 cm，則BC的長為()A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm(中考荊州)如圖，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分線交邊AB于D點(diǎn)，交邊AC于E點(diǎn)，若ABC與EBC的周長分別是40 cm，24 cm，則AB_知1練4 2知識點(diǎn)線段垂直平分線的判定知2導(dǎo)思考 你能寫出上面定理的逆命題嗎？它是真命題 嗎？如果是真命題，請給出證明.知2講線段的垂直平分線的判

29、定：1定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上 (1)條件：點(diǎn)到線段兩端距離相等；結(jié)論：點(diǎn)在線段垂直平分 線上 (2)表達(dá)方式：如圖，PAPB， 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上 (3)作用：作線段的垂直平分線的依據(jù)； 可用來證線段垂直、相等2拓展：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形的三 個頂點(diǎn)的距離相等，這個點(diǎn)叫這個三角形的外心 例4 如圖，在ABC中，ACB90，AD平分BAC， DEAB于E.求證：直線AD是CE的垂直平分線導(dǎo)引：根據(jù)角平分線的定義可得BADCAD，結(jié)合已知條件 可證ADEADC，所以DEDC，AEAC，所以點(diǎn) D、A都在CE的垂直平分線上，從而就能證明結(jié)論

30、證明：AD平分BAC， BADCAD. ACB90，DEAB， AEDACB90. 又ADAD， ADEADC，CDDE，ACAE， 點(diǎn)D、A都在CE的垂直平分線上， 直線AD是CE的垂直平分線知2講 總 結(jié)知2講 利用判定定理證一條直線是線段的垂直平分線，必須證明這條直線上有兩點(diǎn)到線段兩端的距離相等(即證有兩點(diǎn)在線段的垂直平分線上)易錯之處：只證明一個點(diǎn)在線段的垂直平分線上，就說過該點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線因?yàn)檫^該點(diǎn)的直線有無窮多條，其中只有一條是線段的垂直平分線注意：證線段的垂直平分線也可以利用定義 例5 已知：如圖，ABC的邊AB, AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P. 求證：點(diǎn)P在BC的垂直

31、平分線上.證明：連接PA，PB，PC. 點(diǎn)P在AB, AC的垂直平分線上,（已知） PA = PB, PA = PC.(線段垂直平分線 上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等） PB = PC.(等量代換） 點(diǎn)P在BC的垂直平分線上.（到線段 兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分 線上）知2講 例6 如圖，已知ABAD，BCDC，E是AC上一點(diǎn)， 求證：(1)BEDE；(2)ABEADE.導(dǎo)引：(1)連接BD，要證BEDE，只要證明 E點(diǎn)是線段BD的垂直平分線上的點(diǎn)即可 由ABAD，說明A點(diǎn)是線段BD的垂直 平分線上的點(diǎn)，由BCDC，說明C點(diǎn) 也是線段BD的垂直平分線上的點(diǎn)，所 以AC是線段BD的垂直平分線，

32、而已知E是AC上一 點(diǎn)，問題得以解決(2)要證明角相等，只需證明 ABEADE即可知2講證明：(1)連接BD，如圖， ABAD，BCCD， A，C兩點(diǎn)均在線段BD的垂直平分線上 AC是線段BD的垂直平分線 又E是AC上一點(diǎn)， BEDE. (2)在ABE和ADE中， ABAD，BEDE，AEAE， ABEADE(SSS)， ABEADE.知2講 總 結(jié)知1講 由線段的垂直平分線的判定定理確定AC是線段BD的垂直平分線，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得BEDE，這是線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用 例7 如圖，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生 活，計(jì)劃在三個住宅小區(qū)A，B，C之間 修建一個購物中心，

33、試問：該購物中心 應(yīng)建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的 距離相等？導(dǎo)引：本題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是要找一個點(diǎn)， 使它到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等 首先考慮到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在線段AB的垂直平 分線上，到B，C兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在線段BC的垂直平 分線上，兩條垂直平分線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)解：連接AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線DE，GF，兩直 線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所要確定的購物中心的位置如圖. 知2講 總 結(jié)知2講 解決作圖選點(diǎn)性問題：若要找到某兩個點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，一般在這兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上去找 1已知：C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且CA = CB，DA = DB.求證：

34、直線CD垂直平分線段AB.銳角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PAPBPC，則點(diǎn)P是ABC()A三條角平分線的交點(diǎn) B三條中線的交點(diǎn)C三條高的交點(diǎn) D三邊垂直平分線的交點(diǎn)如圖，點(diǎn)D在三角形ABC的BC邊上，且BCBDAD，則點(diǎn)D在線段()的垂直平分線上AAB BAC CBC D不確定知2練 23 1線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定的“兩點(diǎn)作用”： (1)利用線段垂直平分線的性質(zhì)可證明兩線段相等，只需 直線滿足垂直、平分即可； (2)利用線段垂直平分線的判定可證明垂直關(guān)系和線段的 相等關(guān)系2應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)要注意兩點(diǎn)：(1)點(diǎn)一定在垂 直平分線上；(2)距離指的是點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離 第15章

35、 軸對稱圖形與等腰三角形15.3 等腰三角形第1課時 等腰三角形的性質(zhì)1課堂講解等腰三角形的邊角性質(zhì)：等邊對等角等腰三角形的軸對稱性：“三線合一”2課時流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升 等腰三角形是一類特殊的三角形.等腰三角形除具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有什么樣的特殊性質(zhì)呢？1知識點(diǎn)等腰三角形的邊角性質(zhì)：等邊對等角操作 畫一個等腰三角形ABC，如圖(1).把邊AB疊合到邊AC上，這時點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，并出現(xiàn)折痕AD，如圖(2).觀察圖形：ADB與ADC有什么關(guān)系？圖中哪些線段或角相等？AD與BC垂直嗎？為什么？知1導(dǎo)知1導(dǎo) 等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸.知1講等腰三

36、角形的邊角性質(zhì)：等邊對等角定理1：等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”)要點(diǎn)精析：(1)適用條件：必須在同一個三角形中(2)應(yīng)用格式：在ABC中，因?yàn)锳BAC，所以B C.(3)作用：它是證明角相等常用的方法，應(yīng)用它可省 去三角形全等的證明，因而更簡便 例1 已知：如圖，在ABC中，AB=AC，BAC= 120，點(diǎn) D，E是底邊上兩點(diǎn)，且BD=AD，CE=AE.求DAE的度數(shù). 解：AB=AC，（已知） B=C.（等邊對等角） B=C= 又 BD=AD，（已知） BAD=B=30.（等邊對等角） 同理，CAE=C=30. DAE=BAC-BAD-CAE =120-30-30 =60. 知

37、1講 知1講 本例中去掉AB=AC這個條件，能否求得DAE的度數(shù)？ 本題給你怎樣的啟示？ 例2 (1)在ABC中，ABAC，若A50，求B； (2)若等腰三角形的一個角為70，求頂角的度數(shù)； (3)若等腰三角形的一個角為90，求頂角的度數(shù) 導(dǎo)引：給出的條件中，若底角、頂角已確定，可直接運(yùn)用三角形 的內(nèi)角和定理與等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)求解；若 給出的條件中底角、頂角不確定，則要分兩種情況求解 解：(1)ABAC， BC. ABC180， 502B180， 解得B65.知1講知1講 (2)當(dāng)?shù)捉菫?0時，頂角為18070240. 當(dāng)頂角為70時，70即為所求 因此頂角為40或70. (3)若

38、頂角為90，則底角為 若底角為90，則三個內(nèi)角的和將大于180，不 符合三角形內(nèi)角和定理 因此頂角為90.總 結(jié)知1講 在等腰三角形中求角時，要看給出的角是否確定為頂角或底角若已確定，則直接利用三角形的內(nèi)角和定理求解；若沒有指出所給的角是頂角還是底角，要分兩種情況討論，并看是否符合三角形內(nèi)角和定理若等腰三角形中給出的一內(nèi)角是直角或鈍角，則此角必為頂角 知1講 例3 （廣西賀州）如圖，在等腰ABC中，AB AC，DBC15，AB的垂直平分線MN 交AC于點(diǎn)D，則A的度數(shù)是_導(dǎo)引：根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距 離相等可得ADBD，根據(jù)等邊對等角可得AABD， 然后表示出ABC，再根據(jù)等腰

39、三角形兩底角相等可得C ABC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可 MN是AB的垂直平分線，ADBD，AABD， DBC15，ABCA15， ABAC，CABCA15， AA15A15180，解得A50.50 總 結(jié)知1講 由線段的垂直平分線可以得到相等的線段，運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)可以將同一個三角形中線段的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為所對內(nèi)角之間的相等關(guān)系 知1講 例4 已知：如圖，在ABC中，AB= AC，點(diǎn)D在AC上，且 BD=BC=AD，求A和C的度數(shù).解：AB=AC，BD=BC=AD，（已知） ABC=C=BDC， A=ABD.(等邊對等角） 設(shè)A=x， 則BDC=A+ABD=2x.（三角形的

40、一 個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和） ABC=C=BDC=2x, x+ 2x + 2x=180.(三角形內(nèi)角和等于 180） 解方程，得x= 36. A=36，C=72. 知1講 例5 求證：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等. 已知：如圖(1)，在RtABC和RtABC中，C=C =90，AB=AB，AC=AC. 求證：RtABCRtABC.本例是14.2節(jié)中已經(jīng)學(xué)過的判定兩個直角三角形全等的定理“HL”的證明.知1講證明：在平面內(nèi)移動RtABC和RtABC，使點(diǎn)A和點(diǎn)A、 點(diǎn)C和點(diǎn)C重合，點(diǎn)B和點(diǎn)B在AC的兩側(cè)圖(2). BCB=90+90=180,（等式性質(zhì)） B，C，B三

41、點(diǎn)在一條直線上.（平角的定義） 在ABB中， AB=AB， (已知) B=B.(等邊對等角) 在RtABC和RtABC中， RtABCRtABC. (AAS) 1填空：(1)等腰直角三角形的每一個銳角的度數(shù)是_;(2)如果等腰三角形的底角等于40，那么它的頂角的 度數(shù)是_;(3)如果等腰三角形有一個內(nèi)角等于80，那么這個三角形 的最小內(nèi)角等于_.(中考鹽城)若等腰三角形的頂角為40，則它的底角度數(shù)為() A40 B50 C60 D70知1練 2 3(中考湘西州)如圖，在等腰三角形ABC中，ABAC，BD平分ABC，A36，則1的度數(shù)為()A36 B60 C72 D108(中考丹東)如圖，在AB

42、C中，ABAC，A30，E為BC延長線上一點(diǎn)，ABC與ACE的平分線交于點(diǎn)D，則D的度數(shù)為()A15 B17.5 C20 D22.5知1練 42知識點(diǎn)等腰三角形的軸對稱性：“三線合一”知2講等腰三角形的軸對稱性：“三線合一”定理2：等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊結(jié)論：等腰 三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相 互重合(簡稱“三線合一”)要點(diǎn)精析：(1)含義：這是等腰三角形所特有的性質(zhì)，它實(shí)際是 一組定理，應(yīng)用過程中，在三角形是等腰三角形前提下， “頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高”只要知道其 中“一線”，就可以說明是其他“兩線”(2)作用：是證明線段相等、角相等、垂直等關(guān)系

43、的重要方法， 應(yīng)用廣泛知2講 (3)對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(或底邊上 的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸(4)應(yīng)用格式：如圖，在ABC中， ABAC，ADBC，AD平分BAC(或BDCD)； ABAC，BDDC，ADBC(或AD平分BAC)； ABAC，AD平分BAC，BDDC(或ADBC)知2講 例6 如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線， ABC的平分線BG交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E， EFAB，垂足為F. (1)若BAD25，求C的度數(shù)； (2)求證：EFED.解： (1) ABAC，AD是BC邊上的中線， BADCAD， BAC2BAD50. A

44、BAC， CABC知2講證明： (2) ABAC，AD是BC邊上的中線， ADBC，BDE90. EFAB， BFE90，BFEBDE. 又BG平分ABC， FBEDBE. BE為公共邊， BDEBFE， EFED. 總 結(jié)知2講 等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是證明角相等、線段相等和垂直關(guān)系的既重要又簡便的方法；因?yàn)轭}目的證明或計(jì)算所求結(jié)果大多都是單一的，所以“三線合一”的性質(zhì)的應(yīng)用也是單一的，一般得出一個結(jié)論，因此應(yīng)用要靈活在等腰三角形中，作“三線”中“一線”，利用“三線合一”是等腰三角形中常用的方法 知2講 例7 如圖所示，ABAE，BCDE，BE， AMCD， 垂足為M.求證：CMMD.

45、 導(dǎo)引：由已知AMCD和結(jié)論CMMD，聯(lián)想到等腰三角形“三 線合一”的性質(zhì)，由此連接AC，AD構(gòu)造等腰三角形 證明：如圖，連接AC，AD. 在ABC和AED中， ABCAED(SAS)ACAD. 又AMCD，CMMD.總 結(jié)知2講 對于單一等腰三角形構(gòu)造“三線合一”的基本圖形，作底邊上的高、中線還是頂角平分線，可根據(jù)解題需要作輔助線；對于疊合等腰三角形構(gòu)造“三線合一”的基本圖形，則需巧作輔助線，下面就如下幾種圖形說明巧作輔助線的方法：總 結(jié)知2講 1如圖甲的情形，需作底邊上的高；2如圖乙的情形，需作頂角平分線；3如圖丙的情形，需作中線；4如圖丁的情形，需連接AD并延長再證其是“三線”即可 1已

46、知：如圖，AB=AC，AB的垂直平分線ED交AC于點(diǎn)D，A =40.求DBC的度數(shù).如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，那么下列結(jié)論不一定正確的是()AADBCBEBCECBCABEACEDAEBE知2練 2 3如圖，在ABC中，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，下列結(jié)論：BADCAD；DEDF；BDCD；若點(diǎn)P在直線AD上，則PBPC.其中正確的是()A BC D知2練 1.等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)包含三層含義： (1)已知等腰三角形底邊上的中線，則它平分頂角，垂 直于底邊； (2)已知等腰三角形頂角的平分線，則它垂直平分底邊； (3)已

47、知等腰三角形底邊上的高，則它平分底邊，平分頂 角2.等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)常常可以用來證明角相等、 線段相等和線段垂直在遇到等腰三角形的問題時，嘗 試作這條輔助線，常常會有意想不到的效果第15章 軸對稱圖形與等腰三角形15.3 等腰三角形第2課時 等腰三角形 的判定1課堂講解等腰三角形的判定 等腰三角形的判定和性質(zhì)2課時流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1知識點(diǎn)等腰三角形的判定 思考 “等腰三角形兩個底角相等”的逆命題 是真命題嗎？請與你的同學(xué)研究討論后 作出判斷. 知1導(dǎo)知1講1.定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形 (簡稱“等角對等邊”) 應(yīng)用格式：在ABC中，BC, ABAC.2等腰

48、三角形的判定與性質(zhì)的異同 相同點(diǎn)：都是在一個三角形中； 區(qū)別：判定是由角到邊，性質(zhì)是由邊到角 即：等邊 等角 知1講 導(dǎo)引：要說明ABC為等腰三角形，由圖可知只要說明 BC即可，而B，C分別在兩個直角三角 形中，因此只要說明B，C的余角BQP， R相等即可 例1 如圖，在ABC中， P是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作 BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長線于點(diǎn)R， 若AQAR，則ABC是等腰三角形嗎？請說明 理由知1講解：ABC是等腰三角形理由如下： AQAR，RAQR. 又BQPAQR，RBQP. 在RtQPB和RtRPC中， BBQP90，CR90， BC, ABAC. 總 結(jié)知1講 本題運(yùn)用了

49、轉(zhuǎn)化思想，將要說明的兩相等角利用等角的余角相等轉(zhuǎn)化為說明其余角相等；對頂角這一隱含條件在推導(dǎo)角的相等關(guān)系中起了關(guān)鍵的橋梁作用 知1講導(dǎo)引：要證DEBDAE，而由圖知DEDPPE.因此 只需證BDAEDPPE即可即需證BDDP， AEPE，而要證這兩組邊相等，只需證明它們所 對的角相等，因此我們可以把證角相等作為切入口 進(jìn)行證明 例2 如圖，在ABC中，ABC，CAB的平分線交 于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作DEAB，分別交BC，AC于點(diǎn) D，E.求證：DEBDAE.知1講證明：DEAB， ABPDPB, BAPEPA. ABC，CAB的平分線交于點(diǎn)P， ABPDBP, BAPEAP， DBPDPB, EAP

50、EPA， DPDB，EPAE， DPEPDBAE，即DEBDAE. 總 結(jié)知1講 (1)本題運(yùn)用平行線性質(zhì)以及角平分線的定義證 明角之間的相等關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用等腰三角形 的判定得出線段之間的長度關(guān)系，這是證幾 何題常用的方法(2)如圖中角的一邊與角的平分線及角另一邊的 平行線所構(gòu)成的三角形是等腰三角形，這是 一個基本的圖形，在以后學(xué)習(xí)平行四邊形時 會經(jīng)常遇到 已知：如圖，AB與CD交于點(diǎn)P， CP=PD，A=42，CPB= 138，B=69.求證:AC=PB. 在ABC中，A和B的度數(shù) 如下，能判定ABC是等腰三角 形的是() AA50，B70 BA70，B40 CA30，B90 DA80，B6

51、0知1練 知1練 如圖，BC36，ADEAED 72，則圖中的等腰三角形有() A3個 B4個 C5個 D6個 如圖，在ABC中，ABAC，BD是AC邊上 的高，CE是AB邊上的高，它們相交于點(diǎn)O， 則圖中除ABC外一定是等腰三角形 的是() AABD BACE COBC DOCD知1練 如圖所示，已知ACBC， BDAD， AC與BD交于點(diǎn)O，ACBD.求證： (1)BCAD； (2)OAB是等腰三角形2知識點(diǎn)等腰三角形的判定和性質(zhì)知2講拓展：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理可知，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)的逆命題可得出等腰三角形的三個判定方法：(1)當(dāng)三角形一邊上的中線和高

52、線重合時，利用線段垂直 平分線的性質(zhì)，可以判定這個三角形為等腰三角形；(2)當(dāng)三角形一邊上的中線和對角的平分線重合時，將中 線倍長，利用三角形全等可以判定這個三角形為等腰 三角形；(3)當(dāng)三角形一邊上的高線和對角的平分線重合時，直接 利用三角形全等可判定這個三角形為等腰三角形 知2講導(dǎo)引：要證DEDF，可構(gòu)造以DE和DF為對應(yīng)邊的全等三 角形，不妨過點(diǎn)E作EGAC交BC于點(diǎn)G，則只要證 明EDGFDC即可，缺少的條件可運(yùn)用等腰三角 形的性質(zhì)及判定得出 例3 如圖，在ABC中，ABAC，EF交AB于點(diǎn)E，交 AC的延長線于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，且BECF. 求證：DEDF.知2講證明：過點(diǎn)E作EG

53、AC交BC于點(diǎn)G，如圖， 則1F，23. ABAC，B3(等邊對等角) B2. BEEG(等角對等邊) 又BECF，EGCF. 在EDG和FDC中， EDGFDC(AAS) DEDF. 總 結(jié)知2講 證明線段(或角)相等，以其中一邊(或角)所在三角形作為“基礎(chǔ)三角形”在另一邊(或角)上作與其全等的三角形是常用的作輔助線的方法；如本例是以DF所在的DFC為“基礎(chǔ)三角形”，以DE為邊作與DFC全等的DEG；若以DE所在的DEB為“基礎(chǔ)三角形”，以DF為邊作與DEB全等的DFG該怎么作呢？請讀者試一試知2練 (中考泰安)如圖，AD是ABC的角平分線， DEAC，垂足為E，BFAC交ED的延長線 于點(diǎn)

54、F，若BC恰好平分ABF，AE2BF.給 出下列結(jié)論：DEDF；DBDC； ADBC；AC3BF， 其中正確的結(jié)論共有() A4個 B3個 C2個 D1個知2練 如圖，在ABC中，ABC和ACB 的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MNBC 交AB于M，交AC于N，若BMCN9，則線段MN 的長為() A6 B7 C8 D9 在下列三角形中，若ABAC，則不能被一條直線分 成兩個小等腰三角形的是()等腰三角形的三種判定方法：(1)當(dāng)三角形有兩條邊相等時，應(yīng)用“有兩條邊相等的三 角形是等腰三角形”來證明(2)當(dāng)三角形中有兩個角相等時，應(yīng)用“有兩個角相等的 三角形是等腰三角形”來證明(3)當(dāng)線段垂直平分線上

55、的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)構(gòu)成三角形 時，應(yīng)用“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離 相等”來證明 第15章 軸對稱圖形與等腰三角形15.3 等腰三角形第3課時 等邊三角形的性質(zhì) 和判定1課堂講解等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的判定2課時流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1知識點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)1.定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形 要點(diǎn)精析： (1)它是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性 質(zhì)；(2)它是特殊的等腰三角形，任意兩邊都可以作為腰，任意一 個角都可以作為頂角2性質(zhì)：(1)等邊三角形的三邊都相等；(2)等邊三角形的三個內(nèi)角相 等，每一個內(nèi)角都等于60.(3)等邊三角形是軸對稱圖

56、形，它有三 條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高、中線、對 角的平分線重合，且長度相等 知1講知識點(diǎn)例1 如圖，ABC是等邊三角形，D，E， F分別是三邊AB，AC，BC上的點(diǎn)， 且DEAC，EFBC，DFAB， 計(jì)算DEF各個內(nèi)角的度數(shù)知1講導(dǎo)引：要計(jì)算出DEF各個內(nèi)角的度數(shù)，有兩個途徑，即證DEF 為等邊三角形或直接求各個內(nèi)角的度數(shù)，由垂直定義及等邊三角形的性質(zhì)，顯然直接求各個內(nèi)角的度數(shù)較容易 知識點(diǎn)解：因?yàn)锳BC是等邊三角形， 所以ABC60. 因?yàn)镈EAC，EFBC，DFAB， 所以AEDEFCFDB90， 所以ADE90A906030， 所以EDF 180309060.

57、 同理可得DEFEFD60. 即DEF各個內(nèi)角的度數(shù)都是60.知1講 總 結(jié)知1講 利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)時，通過利用等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都為60的性質(zhì)，找出要求角與已知角間的關(guān)系來進(jìn)行計(jì)算；有時還要結(jié)合全等圖形等知識來解決知1講 例2 如圖，已知ABC，BDE都是 等邊三角形求證：AECD.導(dǎo)引：要證AECD，可通過證分別含有AE，CD的兩個三角形全等來實(shí) 現(xiàn)，即證ABECBD，所需條件可從等邊三角形中去尋找證明：ABC和BDE都是等邊三角形， ABBC，BEBD，ABCDBE60. 在ABE與CBD中， ABECBD(SAS)AECD. 總 結(jié)知1講 運(yùn)用等邊三

58、角形性質(zhì)證明線段相等的方法：把要證的兩條線段放到一個三角形中證其為等腰或等邊三角形或者放到兩個三角形中，利用全等三角形的性質(zhì)證明；注意等邊三角形的三個內(nèi)角相等、三條邊相等、三線合一是隱含的已知條件 知1講例3 如圖，ABC是等邊三角形，分別延長AB至點(diǎn)F，BC至點(diǎn)D， CA至點(diǎn)E，使AF3AB，BD3BC，CE3CA， 求證：DEF是等邊三角形導(dǎo)引：利用等邊三角形定義判定證明：ABC是等邊三角形， ABBCCA，BACABCACB60， EAFFBDDCE120. 又AF3AB，BD3BC，CE3CA， AFBDCE，AEBFCD， AEFBFDCDE. EFFDDE. DEF是等邊三角形 總

59、 結(jié)知1講 充分挖掘等邊三角形中的有關(guān)性質(zhì)是解決問題的前提，然后利用三角形全等得到三邊相等，根據(jù)定義證得DEF是等邊三角形1如圖，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在AC邊上，DBC35，則ADB的度數(shù)為()A25 B60 C85 D95如圖，一張等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中的度數(shù)是()A180 B220 C240 D300知1練2 3(中考黔西南州)如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CGCD，DFDE，則E_.四川瀘州如圖所示，已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)P在AB 上，以CP為邊作等邊三角形PCE，使點(diǎn)E，A在直線PC的同 側(cè)求證：AEBC.知1練 4

60、2知識點(diǎn)等邊三角形的判定知2講等邊三角形的判定1.推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形； 推論2：有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形2.注意事項(xiàng)：推論1在任意三角形中都適用，推論2的 前提條件是等腰三角形因此要結(jié)合題目的條件選 擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄖ?講如圖，在等邊三角形ABC中，ABC和ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OB，OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF.求證：OEF是等邊三角形 例4 導(dǎo)引：從題中條件看，利用三角形的外角性質(zhì)易求得OEFOFE60，從而證明OEF是等邊三角形知2講 證明：E，F(xiàn)分別是線段OB，OC的垂直平分線上的點(diǎn)， OEBE，OFCF， OBEBOE，OC