年江蘇地區(qū)數(shù)學科空間的角資料VIP

1、立體幾何專題復習2空間的角2021/8/8 星期日1一、概念名稱定義圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。2021/8/8 星期日2abo.aO是空間中的任意一點 點o常取在兩條異面直線中的一條上booooo2021/8/8 星期日3一、概念名稱定義圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線

2、a和b所成的角。平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，特別地，若L則L與所成的角是直角，若L/或 L ，則L與所成的角是0的角。2021/8/8 星期日4oLBA2021/8/8 星期日5一、概念名稱定義圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角

3、。LoBA平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，特別地，若L則L與所成的角是直角，若L/或 L ，則L與所成的角是的角。2021/8/8 星期日6ALBO2021/8/8 星期日7一、概念名稱定義圖形兩條異面直線 所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。LoB

4、AALBO平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，特別地，若L則L與所成的角是直角，若L/或 L ，則L與所成的角是的角。2021/8/8 星期日8二、數(shù)學思想、方法、步驟： 解決空間角的問題涉及的數(shù)學思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化，即把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，進而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得。2.方法：3.步驟：b.求直線與平面所成的角：a.求異面直線所成的角：c.求二面角的大?。鹤鳎ㄕ遥?證 點 算1.數(shù)學思想：平移 構(gòu)造可解三角形找（或作）射影 構(gòu)造可解三角形找（或作）其平面角 構(gòu)造可解三角形2021/8/8 星期日9A1ABB1CDC1D1FE

5、G解：如圖，取AB的中點G ，O（證）A1D1FGAD又ADA1D1FG四邊形A1GFD1為平行四邊形A1GD1FA1G與AE所成的銳角（或直角）就是AE與D1F所成的角。（點）（算）FG ，A1G ， A1G與AE交于O連結(jié)（作）三、例題例1： 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1 、CD中點。求AE與D1F所成的角。即直線AE與D1F所成的角為直角。E是BB1的中點tRA1AGABEAOG=90GA1A= GAO2021/8/8 星期日10例2.已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC邊上的中點，沿AE折成60的二面角，分別求DE、DC與平面AC所成的

6、角。ABDE34C34DEABC2二面角 DAEB 為60 2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日12解：如圖（1），作DMAE于M，延長DM交CB于N ，ABCD2234MEMDEACBNDDDDDDDFN圖（1）圖（2）過D作DF平面ABCE, 連結(jié)EF、 DC 、 CF.沿AE折成60的二面角后如圖（2）于是DEF是DE與平面ABCE所成的角， DCF是DC與平面ABCE所成的角.2021/8/8 星期日13ABCD2234MEN圖（1）EACBMNF圖（2）DDMAE，MNAE DMN=60，且AE 平面 DMN又AE 平面ABCE 平面DMN平面ABCE,從而垂足F在M

7、N上.F如圖（1）在RtADE中，DM=ME=2021/8/8 星期日14在RtDFM中， DEF=即DE與平面AC所成的角為ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）在RtEFM中，在RtDFE中，CosDEF=F2021/8/8 星期日15在圖（1）中，設(shè)EDM=，在RtDME中，DF=DM+MF=在DFC中，由余弦定理得：CF=DF+DC-2DFDCCos=73/13在RtDFC中，即DC與平面AC所成的角為：ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）FDF=在圖（2）中2021/8/8 星期日16ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）F另外，過D

8、作DF 平面ABCE于F；過F作FM AE于M；連結(jié)DM，則DM AE，從而 DMF=60 也可。2021/8/8 星期日17注：在求解圖形翻折問題時， （1）分別畫好平面圖形和翻折后的立體圖， 字母一定要一致； （2）弄清平面圖中的量與位置關(guān)系在翻折后的變 與不變的情況； （3）按題意作出包含已知與未知的圖形，然后 計算和證明。2021/8/8 星期日18B1A1C1 ABC例3： 如圖，在直三棱柱ABC-A1 B1 C1中， BAC=90，AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC成30的角，求二面角B B1C A的余弦值。分析：求二面角B B1C A的度數(shù)，要作出平面角，顯然二面角的棱為B

9、1C，故需在B1C上取一點，然后分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線。2021/8/8 星期日19C1 AA1B1BC解：作AN BC于N，則AN 平面BCC1B1，作NQ B1C于Q，則AQ B1C AQN是二面角B B1C A的平面角。AN BC=AB ACAN= ABACBC=36123=ANAQ又AC AB1 AQ B1C=AC AB1 AQ= = =1 AB1ACB1C22233SinCosAQN=36AQN=QN2021/8/8 星期日20ABCA1C1B1另解： AC AB AC AA1 AC 平面AA1B1B 又 AC 平面ACB1 平面ACB1 平面AA1B1B設(shè)E為AB1的中

10、點，連接BE則BE 平面ACB1作EF B1C于F，連接BF，則BF B1C EFB是二面角B B1C A的平面角。33即二面角B B1CA的平面角的余弦值為AB BB1=AB1 BEBE = AB BB1AB1=1 12又BC BB1= B1C BF=22BF=BC BB1B1C=321=23SinEFB=BEBF=2322=36CosEFB=33FE2021/8/8 星期日21B1B1例4：如圖，已知在正三棱柱ABC- 中，側(cè)棱長大于底面邊長，M、N分別在側(cè)棱AA1、B 上，且 N= =2 M，求截面 MN與底面 所成的二面角的大小。A1B1C1B1A1A1C1 A1B1C1分析：由題意平

11、面 MN與平面 的 公共點是 ，但二面角沒有棱，需要作出，再找平面角。C1C1B1 A1C1A1B1C1ABCNM2021/8/8 星期日22A1B1C1ABCNMD解：連結(jié)NM并延長交 的延長線于點D，連結(jié) D，則截面 MN與底面 所成二面角的棱為 D。C1 A1B1C1 A1B1C1C1在 N D中， N=2 M，且 N M，D =2D D = = 又 為等邊三角形 D=180-60=120 D=30，又 =60 D=90，即D 又 C 平面 C D D 平面 BC A1B1B1 A1B1C1 A1C1B1A1B1B1A1A1C1A1C1A1B1A1C1A1C1B1C1C1B1C1 A1B1C1C1C1C1C1B1又 N 平面 ， D N N