數(shù)字信號(hào)處理常用公式(不懼怕繁瑣的推導(dǎo))

1、n=gn=g數(shù)學(xué)信號(hào)處理基本公式1、傅里葉變換定義連續(xù)正變換：X(js)=嚴(yán)x(t)e-j3tdt8連續(xù)反變換：x(t)=丄J8X(j3)ej3td32n8離散正變換：X(k)=因x(n)WnkNn=02打W=e-jN,k=0,1,，N-1N2仃W=e-jN,n=0,1,，N-1N序列乘積：若w(n)=x(n)y(n)，則W(z)=1/71JX(v)Y-v-1dvRR|z|RRx-y-x+y+離散反變換：x(n)=丄因X(k)W-nkNNn=02、傅里葉變換性質(zhì)線性：Fl(af(t)+Pg(t)=aFf(t)+Fg(t)位移：Ff(t-1)=e-jFf(t)；F-iF)=ejtF-iF(3).

2、00尺度：設(shè)F(3)=ff(t),Ff(at)=丄F(-).IaIa微分：Ff(t)=j3Ff(t),要求limf(t)=0Ff(n)(t)=(j3)nFf(t),要求limf(k)(t)=0(k=1,2，n-1)tT+s積分:F卩tf(t)dt=丄Ff(t),要求limJtf(t)dt=0-sj3帕塞瓦爾等式：J+s(f(t)2dt=丄J+s|F(3)|2d3,F(3)=ff(t)-s2兀-s頻率位移：若x(n)oXej3，則ej30nx(n)oXC;(3-30)時(shí)間共軛：若x(n)oX(j3則x*(n)oX*(-j)頻率共軛：若x(n)oxJ則x*(-n)oX*(j3)序列卷積：若w(n)

3、=x(n)*y(n)，則W(z)=X(z)Y(z)輸入x(n)=Acos(n+申)，則輸出響應(yīng)為：y(n)=At(j!A輸入x(n)=x(n)+x(n)，則輸出響應(yīng)為：y(n)=1223、傅立葉級(jí)數(shù)、丿+H()ej、j(伽+*)+Heje-j(伽+e)j)ej(n+q)+H(e-j)ej(n+q)滿足狄利克雷條件的周期函數(shù)可由三角函數(shù)的線性組合表示:f(t)=a+acos01+acosn=a+xg0Ln=1(t)+bsin(t)+acos(2t)+bsin(2t)(nt)+bsin(nt)+1n1(nt)+bsin(nt)1acosn1(1)f(t)的周期為t，2兀=-1Ti其中：a=F。+T

4、f(t)dt；oTt10指數(shù)形式的付里葉級(jí)數(shù)表示:=ft0+T1f(t)cos(nt)dt；T1t01Tfo+T1f(t)sin(n/)dt10f(t)=a+藝acos(nn)+bsin(nn)0n1n1n=1=(ejn11+ejn11)12j11由歐拉公式：cos(nn)=(ejn1t+e-jn1t)sin(nn)124、隨機(jī)信號(hào)定義4.1均值、方差離散均值：p=EX=Exxp連續(xù)均值：kkp=EX=fxp(x)dxx離散方差：o2=ElXpXX連續(xù)方差：Q2二ElXXX|2=Y|xP|2kXkI2=f|xp|2p(x)dxXPk4.2相關(guān)函數(shù)的定義互相關(guān)：r(m)=區(qū)x(n)y(n+m)x

5、y自相關(guān)：r(m)=Xx(n)x(n+m)xx有限點(diǎn)自相關(guān)函數(shù)估計(jì)值為：r(m)=藝x(n)x(n+m)TOC o 1-5 h zNNNn=0平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)：r(m)=Ex(n)y*(n+m)自相關(guān)：r(m)=Ex(n)x(n+m)xyXX4.3功率譜r(m)exym=g自功率譜：P(ej)=藝r(m)e-jm互功率譜：P(ej)=藝XxXYm=g注意：功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜是一對(duì)傅里葉變換:8PX(ej3)=re-j3mm=-85、三角函數(shù)變換sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB；sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosA

6、cosB-sinAsinB；cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtanA+tanBtanAtanBtan(A+B)=；tan(A-B)=1-tanAtanB1+tanAtanBcotAcotB-1cotAcotB+1cot(A+B)=；cot(A-B)=cotB+cotAcotB一cotA倍角公式tan2A=2tanA；sin2A=2sinAcosA；Cos2A=Cos2A-Sin2A=2Cos2AT=l-2sin2A1tan2A三倍角公式sin3A=3sinA-4(sinA)3；cos3A=4(cosA)3-3cosAtan3a=tanatan(寧+a)tan(3-a)和差化

7、積a+ba一ba+b.a一bsina+sinb=2sincos；sina-sinb=2cossin2222a+ba一ba+b.a一bcosa+cosb=2coscos；cosa-cosb=-2sinsin2222.sin(a+b)tana+tanb=cosacosb積化和差sinasinb=一扣5心(砂,zb=|cos(a+b)+cos(a-b)sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)，cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)22誘導(dǎo)公式:22兀兀sin(-a)=-sina;cos(-a)=cosa;sin(-a)=cosa;cos(-a)=sina22兀兀sin(+a)=cosa;cos(+a)=-sinasin(兀-a)=sina,cos(兀-a)=-cosasin(兀+a)=-sina;cos(兀+a)=-cosaaaaa1+sin(a)=(sin+cos)2；1-sina=(sin-cos)2函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：f(x)=f(x0)(x-x0)+-x0)2+斗山一X0)n+余項(xiàng)：R=上凹n(n+1)!(X-x)n+i,f(x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：limR=0nnsX=0時(shí)即為麥克勞林公式:f(x)=f(0)+f(0)x+口0X2+f(n)(0)02!XnHn!一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù):.、.m(m一1)m(m一1