近世代數(shù)課件56可離擴(kuò)域

1、近世代數(shù)課件56可離擴(kuò)域近世代數(shù)課件56可離擴(kuò)域 引理 1 令 是 的一個(gè)不可約多項(xiàng)式，這里 是一個(gè)域。若 的特征是，那么 沒有重根；若 的特征是 ，那么 有重根的充分與必要條件是： ，這里 是 的一個(gè)多項(xiàng)式。 證明 有重根的充分與必要條件是： 與它的導(dǎo)數(shù) 在 中有次數(shù) 的公因子；由于 不可約，這個(gè)條件只在 時(shí)才能被滿足。令 那么 引理 1 令 是 的一個(gè) 情形1. 的特征是。這時(shí) 這就是說， ，與 不可約的假設(shè)矛盾。所以在這個(gè)情形下 不能有重根。 情形2 . 的特征是 。這時(shí) 這就是說，只要 ，就必有 。因此 證完 情形1. 的特征是。這時(shí)引理 1 特征是的域的任何代數(shù)擴(kuò)域都是可離擴(kuò)域。 特

2、征是 的域可以有不可離擴(kuò)域。 引理 2 令 是一個(gè)特征為 的域。當(dāng)而且只當(dāng) 的每一元 都是 的某一元 的 次冪； 時(shí)， 的任何代數(shù)擴(kuò)域都是可離擴(kuò)域。 證明 假定 的每一元 都可以寫成 的形式。這時(shí) 的一個(gè)多項(xiàng)式 引理 1 特征是的域的任何代數(shù)擴(kuò)域都是可離擴(kuò)域。 特征在 里一定可約。因?yàn)榱?，就有 這樣，若 的一個(gè)多項(xiàng)式在 中不可約，那么它不能在 中寫成 的形式。于是根據(jù)引理1， 的每一不可約多項(xiàng)式都沒有重根，因而F的代數(shù)擴(kuò)域都是可離擴(kuò)域。 現(xiàn)在反過來假定， 含有元 而 。看 的多項(xiàng)式 在 里一定可約。因?yàn)榱?，就有作 在 上的分裂域E。在E中 有 個(gè)根。另其中的一個(gè)為 ，那么 ，因而由假設(shè)，

3、不屬于 。設(shè) 在 上的極小，多項(xiàng)式是 ，那么 。但在 中 所以在 中 并且由于 不屬于 ，這里的 。這樣 在 上的極小多項(xiàng)式 有重根，因而E就是 的一個(gè)不可離擴(kuò)域。證完。滿足引理2的條件的域是存在的。例如有限域。作 在 上的分裂域E。在E中 有 定理 2 有限域的任何代數(shù)擴(kuò)域都是可離擴(kuò)域。 證明 令有限域 的特征是 ，并且 含 個(gè)元： 考察 的元 由于當(dāng) 時(shí)， 所以 是 個(gè)不同的元，因而是 的全部元素。因此 的每一元都是 的某個(gè)元的 次冪.證完。 不滿足引理2的條件的域 當(dāng)然有不可離擴(kuò)域，但這樣的域 仍然可以有非凡（即不屬于 ）的可離元。定理 2 有限域的任何代數(shù)擴(kuò)域都是可離擴(kuò)域。 證明 例

4、考慮特征是3的素域的單超越擴(kuò)域 。元 顯然不是 的某一個(gè)元 次冪，因此 有不可離擴(kuò)域。但 的多項(xiàng)式 顯然 在里不可約并且沒有重根。因此 有非平凡的可離元。 以下我們要證明，只要一個(gè)域 有非平凡的可離元， 就有真（即大于 的）可離擴(kuò)域。按照可離擴(kuò)域的定義，這一點(diǎn)并不是顯然的。 例 考慮特征是3的素域的單超越擴(kuò)域 引理 3 令 是一個(gè)特征為 的域。那么元 是 上的可離元的充分必要條件是： 證明 假定 是 上的一個(gè)可離元。這時(shí)， 一定是 上的一個(gè)可離元。 是 中多項(xiàng)式 的一個(gè)根。作這個(gè)多項(xiàng)式 在上的分裂E，那么在E里 因此 在 上的極小多項(xiàng)式可以在E里寫成 但 是 上的可離元，所以 。這樣 在 上的

5、極小多項(xiàng)式是 。這就是說， ，從而 引理 3 令 是一個(gè)特征為 的域。那么元 現(xiàn)在反過來假定， 不是 上的可離元。這時(shí)，由引理1， 在 上的極小多項(xiàng)式是 由于 在 里不可約，所以2在 里也不可約。但 是多少 的根，所以 在 上的極小多項(xiàng)式就是 。由于 和 的次數(shù)不同，所以 。證完。 現(xiàn)在反過來假定， 不是 上的可離元。這時(shí)， 引理 4 令E是域 的單擴(kuò)域： ，而 是 上的一個(gè)看離元。若元 是E上的一個(gè)可離元，那么 也是 上的一個(gè)可離元。 證明 若 的特征是，引理。 假定 的特征是 。 因?yàn)?是 上的可離元，所以由引理3 令 在 上的極小多項(xiàng)式是 那么，因?yàn)?引理 4 令E是域 的單擴(kuò)域： 是

6、的一個(gè)多項(xiàng)式。但 ，所以 在 上的極小多項(xiàng)式 整除 。因此有 但 是 上的一個(gè)可離元，因此也是 上的一個(gè)可離元所以必然有 。這就是說 亦即 于是，由于 我們有 這樣，由引理3， 是 上的一個(gè)可離元。證完。是 的一個(gè)多項(xiàng)式。但 應(yīng)用引理4，很容易得到 定理 3 若 與 是域 上的可離元，那么 是 的一個(gè)可離擴(kuò)域。 證明 看 的一個(gè)任意元 。 是 上的一個(gè)看離元，而 是 上的一個(gè)看離元，因而也是 上的一個(gè)可離元，于是由因理4， 是 上的一個(gè)可離元。由于 是 上的一個(gè)可離元，再一次應(yīng)用引理4，得 是 上的一個(gè)看離元。證完。應(yīng)用引理4，很容易得到 定理 3 若 與 是域 推論 若 和 是域上的可離元，

7、那么 和 （當(dāng) 時(shí)）也是 上的可離元。 根據(jù)以上定理，給了一個(gè)域 ，除非 只有平凡的可離元，也就是說，除非 上的每一個(gè)次數(shù)大于1的、不是 形狀的多項(xiàng)式都可約， 就總有可離擴(kuò)域。這樣，對(duì)最常遇到的特征為的域來說，根本沒有不可離擴(kuò)域，而對(duì)特征為 的域來說，可離擴(kuò)域出現(xiàn)的頻率也要大的多。所以可離擴(kuò)域是較重要的一種擴(kuò)域。 推論 若 和 是域上的可離元，那么 現(xiàn)在我們證明重要的 定理 4 域 是一個(gè)有限可離擴(kuò)域E是 的單擴(kuò)域。 證明 若 是一個(gè)有限域，那么E也是一個(gè)有限域。這時(shí)，由于有限域是它所含素域2的單擴(kuò)域，有 而定理成立。 現(xiàn)在假定 有無限多個(gè)元素。 E既是 的一個(gè)有限擴(kuò)域，就有 要證明這樣的一個(gè)

8、可離擴(kuò)域是單擴(kuò)域，顯然只需證明： 的一個(gè)可離擴(kuò)域 一定是 的單擴(kuò)域?，F(xiàn)在我們證明重要的 定理 4 域 是一個(gè)有限可 令 在 上的極小多項(xiàng)式是 ， 在 上的極小多項(xiàng)式是 。作多項(xiàng)式 在 上的分裂 。那么在 里 這里我們可以假定 。 我們看下列的一組方程：（1） 由于 是 上的可離元，所以 沒有重根，而 令 在 上的極小多項(xiàng)式是 ，因此（1）中每一個(gè)方程 里最多有一個(gè)解。但 有無限多元，所以能在 中找出一個(gè)元 來使 利用這個(gè) ，我們令 我們斷言， 。令 那么 和 都屬于 。我們看一看在 里這兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因子是什么。先考慮，在 里它們的最大公因子是什么。在 里 因此（1）中每一個(gè)方程 里最多有一個(gè)解。但 有無因此 和 在 里的最大公因子只能是若干 的乘機(jī)。但由 的取法 因此 和 在 里的最大公因