人教部編版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件 13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)

1、13.1 軸對(duì)稱13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線的性質(zhì) 某區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問(wèn)，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等。ABC實(shí)際問(wèn)題1導(dǎo)入新知ABL實(shí)際問(wèn)題2 在成渝高速公路L的同側(cè)，有兩個(gè)化工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的工人都沒(méi)意見(jiàn)，問(wèn)醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？成 渝 高 速 公 路導(dǎo)入新知你能用不同的方法驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？ 如圖，直線l 垂直平分線段AB，P1，P2，P3是l 上的點(diǎn)，請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3 到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離之間的數(shù)量關(guān)系.

2、相等 ABlP1P2P3線段的垂直平分線的性質(zhì)定理探究新知知識(shí)點(diǎn) 1探究 請(qǐng)?jiān)趫D中的直線l 上任取一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)與線段AB 兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等嗎？ 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等ABlP1P2P3探究新知探究猜想與證明證明：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”已知：如圖，直線lAB，垂足為C，AC =CB，點(diǎn)P 在l 上求證：PA =PBABPCl探究新知猜想與證明用符號(hào)語(yǔ)言表示為： CA =CB，lAB， PA =PB證明：lAB， PCA =PCB 又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PBABPCl探究新知猜想與證明線段垂直平分

3、線的性質(zhì)： 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等探究新知 歸納總結(jié)1.如圖，在ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分線交BC于D，AC 的中垂線交BC 與E，則ADE 的周長(zhǎng)等于_A B C D E 8鞏固練習(xí)解：ADBC，BD =DC， AD 是BC 的垂直平分線， AB =AC 點(diǎn)C 在AE 的垂直平分線上， AC =CE2.如圖，ADBC，BD =DC，點(diǎn)C 在AE 的垂直平分線上，AB，AC，CE 的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE 有什么關(guān)系？A B C D E 鞏固練習(xí)A B C D E 解： AB =AC =CE AB =CE，BD =DC， AB +BD =CD

4、+CE 即AB +BD =DE 鞏固練習(xí)2.如圖，ADBC，BD =DC，點(diǎn)C 在AE 的垂直平分線上，AB，AC，CE 的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE 有什么關(guān)系？反過(guò)來(lái)，如果PA =PB，那么點(diǎn)P 是否在線段AB 的垂直平分線上呢？點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上 已知：如圖，PA =PB求證：點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上PAB C 線段的垂直平分線的判定定理探究新知知識(shí)點(diǎn) 2探究證明：過(guò)點(diǎn)P 作線段AB 的垂線PC，垂足為C則PCA =PCB =90在RtPCA 和RtPCB 中，PA =PB，PC =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC =BC又 PCAB， 點(diǎn)P 在線

5、段AB 的垂直平分線上PAB C 探究新知用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：PA =PB，點(diǎn)P 在AB 的垂直平分線上到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上PAB C 探究新知猜想與證明 這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？ 你能再找一些到線段AB 兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB 兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？ 在線段AB 的垂直平分線l 上的點(diǎn)與A，B 的距離都相等；反過(guò)來(lái)，與A，B 的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l 可以看成與兩點(diǎn)A、B 的距離相等的所有點(diǎn)的集合PAB C l探究新知試一試?yán)? 如圖，已知：在ABC中，ABAC，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OBOC，求證：AOBC.證明：OBO

6、C， 點(diǎn)O在BC的垂直平分線上， 又ABAC， 點(diǎn)A在BC的垂直平分線上， 即A，O均在BC的垂直平分線上， AOBC線段垂直平分線的判定定理的應(yīng)用探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 13.如圖，已知在ABC中，ON是AB的垂直平分線，并且OA=OC求證：點(diǎn)O在 BC的垂直平分線上.ABCON鞏固練習(xí)點(diǎn)O在BC的垂直平分線上.（到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）ABCON證明：連結(jié)OB. ON是AB的垂直平分線（已知） OA=OB（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等） OA=OC（已知） OB=OC（等量代換）鞏固練習(xí)如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線

7、？CABDKFE過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn) D和E.（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于 的長(zhǎng) 為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.（4）作直線.直線CF就是所求作的垂線.探究新知知識(shí)點(diǎn) 3探究（1）為什么任意取一點(diǎn)K ，使點(diǎn)K與點(diǎn)C 在直線兩旁？（2）為什么要以大于 的長(zhǎng)為半徑作弧？ （3）為什么直線CF 就是所求作的垂線？探究新知想一想4. 如圖，求作點(diǎn)P，使PAPB，且點(diǎn)P到MON兩邊的距離相等 解：(1)作MON的角平分線； (2)作線段AB的垂直平分線與MON的平分線交于點(diǎn)P，那么，點(diǎn)P即為所

8、求作的點(diǎn).鞏固練習(xí)連接中考解析：DE是AC的垂直平分線，DA=DC，DAC=C=25，B=60，C=25，BAC=95，BAD=BACDAC=701.（2018黃岡）如圖，在ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，B=60，C=25，則BAD為（）A50B70C75D802.（2018南充）如圖，在ABC中，AF平分BAC，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，B=70，F(xiàn)AE=19，則C= 度B24鞏固練習(xí)1如圖，在ABC中，ABAC20 cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，若DBC的周長(zhǎng)為35 cm，則BC的長(zhǎng)為()A5 cm B10 cmC15 cm D17.

9、5 cm基礎(chǔ)鞏固題C課堂檢測(cè)2.如果一個(gè)三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三邊上，那么這個(gè)三角形是()A銳角三角形 B鈍角三角形C直角三角形 D不能確定CC課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題3如圖，CD是AB的垂直平分線，若AC1.6 cm，BD2.3 cm，則四邊形ACBD的周長(zhǎng)為 cm.7.84. 如圖，在ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且BCBDAD，則點(diǎn)D在線段 _ 的垂直平分線上AC解析：BC=BD+AD，又BC=BD+DC，AD=DC.點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上.課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題1. 如圖，點(diǎn)A，B，C表示某公司三個(gè)車間的位置，現(xiàn)要建一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要求它到三個(gè)車間的距離相等，則倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在什么位置？能力提升

10、題答：ABC 三邊垂直平分線的交點(diǎn)上.課堂檢測(cè)2.如圖，已知E為AOB的平分線上一點(diǎn)，ECOA，EDOB，垂足分別為C，D.求證：OE垂直平分CD. 證明：E在AOB的平分線上，EDOB于D.ECOA于C，EDEC在RtEDO和RtECO中EDEC，OEOERtEDORtECOODOCO，E都在CD的垂直平分線上，OE垂直平分CD.課堂檢測(cè)能力提升題 如圖，已知AB比AC長(zhǎng)2 cm，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，ACD的周長(zhǎng)是14 cm，求AB和AC的長(zhǎng)拓廣探索題課堂檢測(cè)解：DE垂直平分BC，DBDC.ACADDC14 cm，ACADBD14 cm.即ACAB14 cm.設(shè)ABx

11、 cm，ACy cm.根據(jù)題意，得 解得AB長(zhǎng)為8 cm，AC長(zhǎng)為6 cm.線段的垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.集合定義線段的垂直平分線的集合定義： 線段的垂直平分線可以看作是與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.關(guān)系PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等課堂小結(jié)作線段的垂直平分線 如圖，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站，使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(zhǎng)，該公共汽車站應(yīng)建在什么地

12、方？AB公路導(dǎo)入新知線段垂直平分線的畫法有時(shí)我們感覺(jué)一（兩）個(gè)平面圖形是軸對(duì)稱的，如何驗(yàn)證呢？ABCA B C 通過(guò)折疊，如果這（兩）個(gè)圖形能夠互相重合，則這（兩）個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形.不折疊圖形，你能準(zhǔn)確地作出軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸嗎？ 探究新知知識(shí)點(diǎn) 1問(wèn)題1：?jiǎn)栴}2： 如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？AB分析：我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B，作出線段AB的垂直平分線，就可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸.為此作出到點(diǎn)A，B的距離相等的兩點(diǎn)，即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn)，從而作出線段AB的垂直平分線.探究新知畫一畫ABCD作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于 AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩

13、弧交于C，D兩點(diǎn).（2）作直線CD. CD即為所求.特別說(shuō)明：這個(gè)作法實(shí)際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，我們也可以用這種方法確定線段的中點(diǎn).探究新知 如圖，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站.使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(zhǎng)，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB分析：增設(shè)的公共汽車站要滿足到兩個(gè)小區(qū)的路程一樣長(zhǎng)，應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，又要在公路邊上，所以找到AB垂直平分線與公路的交點(diǎn)即可.公共汽車站探究新知探究例1 如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B以及直線l.(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線l上求作一點(diǎn)P，使PAPB.(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)；(2)在(1)所作的圖中，若AMPN，

14、BNPM，求證：MAPNPB.MNABl利用線段的垂直平分線的性質(zhì)作圖探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 1解：(1)如圖所示：(2)在AMP和BNP中，AM=PN，APBP，PMBN， AMPPNB(SSS)，MAPNPB.MNABlP探究新知1.如圖，在ABC中，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于 AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)D，E，則直線DE是（）AA的平分線 BAC邊的中線 CBC邊的高線 DAB邊的垂直平分線 D鞏固練習(xí)例2 如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉(cāng)庫(kù)，希望倉(cāng)庫(kù)到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等，你能確定出倉(cāng)庫(kù)P應(yīng)該建在什

15、么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)ONMAB利用作圖解決實(shí)際問(wèn)題探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 2ONMAB方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.兩線的交點(diǎn)即為所求.解：如圖所示：P鞏固練習(xí)2.電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置.解：如圖所示，兩條高速公路相交的角的角平分線和AB的垂直平分線的交點(diǎn)P1與P2點(diǎn).鞏固練習(xí)作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸下圖中的五角星有幾條對(duì)稱軸？如何作出這些對(duì)稱軸呢？

16、AB作法：（1）找出五角星的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A和B，連接AB（2）作出線段AB的垂直平分線l則l就是這個(gè)五角星的一條對(duì)稱軸 l 用同樣的方法，可以找出五條對(duì)稱軸，所以五角星有五條對(duì)稱軸 探究新知知識(shí)點(diǎn) 2想一想探究新知 歸納總結(jié)方法總結(jié)：對(duì)于軸對(duì)稱圖形，只要找到任意一組對(duì)稱點(diǎn)，作出對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線，即能得此圖形的對(duì)稱軸.例3 如圖，ABC和ABC關(guān)于直線l對(duì)稱，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作出它們的對(duì)稱軸.解：延長(zhǎng)BC、BC交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AC，AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，則直線PQ即為所要求作的直線l.作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸探究新知ABCA B C lPQ素養(yǎng)考點(diǎn) 3探究新知 歸納總結(jié)方法總結(jié)：過(guò)成軸對(duì)稱圖

17、形的兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線（或延長(zhǎng)線）交點(diǎn)的直線是這個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸.如果成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)稱點(diǎn)連線（或延長(zhǎng)線）相交，那么交點(diǎn)必定在對(duì)稱軸上.3.作出下列圖形的一條對(duì)稱軸.和同學(xué)比較一下，你們作出的對(duì)稱軸一樣嗎？鞏固練習(xí)連接中考解析：DE垂直平分線段AC，DA=DC，AE=EC=6cm，AB+AD+BD=13cm，AB+BD+DC=13cm，ABC的周長(zhǎng)=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm， （2018襄陽(yáng)）如圖，在ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于 AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交BC，AC于點(diǎn)D，E若AE=3cm，ABD的周長(zhǎng)為13cm，則ABC的周長(zhǎng)為（

18、）A16cmB19cmC22cmD25cmB鞏固練習(xí)1.（2018河北）尺規(guī)作圖要求：、過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；、作線段的垂直平分線；、過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線；、作角的平分線如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：則正確的配對(duì)是（）A，B，C，D，D基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測(cè)2.如圖，已知線段AB的垂直平分線CP交AB于點(diǎn)P，且AP=2PC，現(xiàn)欲在線段AB上求作兩點(diǎn)D，E，使其滿足AD=DC=CE=EB，對(duì)于以下甲、乙兩種作法：甲：分別作ACP、BCP的平分線，分別交AB于D、E，則D、E即為所求；乙：分別作AC、BC的垂直平分線，分別交AB于D、E，則D、E兩點(diǎn)即為所求下列說(shuō)法正確的是（）A甲、乙都正確 B甲、乙都錯(cuò)誤 C甲正確，乙錯(cuò)誤 D甲錯(cuò)誤，乙正確 D課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題APBC3.如圖，與圖形A 成軸對(duì)稱的是哪個(gè)圖形？畫出對(duì)稱軸ABCD課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題 4.如圖，角是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？ 角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線就