概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件 引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 . 引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是求置信區(qū)間的一般步驟:1. 明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平 是多少?2. 尋找參數(shù) 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T (X1,X2,Xn)稱S(T, )為樞軸量. 3. 尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量T的函數(shù) S(T, ),且其分布為已知. 求置信區(qū)間的

2、一般步驟:1. 明確問題, 是求什么參數(shù)的置信4. 對(duì)于給定的置信水平 ，根據(jù)S(T, )的分布，確定常數(shù)a, b，使得 P(a S(T, )b)= 5. 對(duì)“aS(T, )b”作等價(jià)變形,得到如下形式:則 就是 的100( )的置信區(qū)間. 4. 對(duì)于給定的置信水平 ，根據(jù)S(T, )的分布 可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量T 的函數(shù)S(T, ), 且S(T, )的分布為已知, 不依賴于任何未知參數(shù)(這樣我們才能確定一個(gè)大概率區(qū)間).而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要. 可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)待估參數(shù) 這里，我們主要

3、討論總體分布為正態(tài)的情形. 若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì). 這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形. 主要討論以下幾種情形：?jiǎn)蝹€(gè)正態(tài)總體均值 和方差 的區(qū)間估計(jì).兩個(gè)正態(tài)總體均值差 和方差比 的區(qū)間估計(jì).主要討論以下幾種情形：?jiǎn)蝹€(gè)正態(tài)總體均值 和方差 書末附有 分布、t 分布、F分布的上側(cè)分位數(shù)表，供使用. 需要注意的事項(xiàng)在教材上有說明. 至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表求得分位數(shù)，若你對(duì)分布函數(shù)定義熟悉的話，這個(gè)問題不難解決.在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù). 書末附有 分布、t 分布、F分布的上側(cè)分位數(shù)表一、單個(gè)總體

4、 的情況由例1可知:1.一、單個(gè)總體 的情況由例1可知:1. 包糖機(jī)某日開工包了12包糖,稱得質(zhì)量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 假設(shè)重量服從正態(tài)分布,解.新建文件夾42-1.ppt2-1例2 包糖機(jī)某日開工包了12包糖,稱得質(zhì)量(單位:克)分概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件附表2-2查表得附表2-2查表得推導(dǎo)過程如下:推導(dǎo)過程如下:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件解 有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋, 稱得重量(克)如下: 設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布, 試求總體均值附表3-1例

5、3解 有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋, 稱就是說估計(jì)袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間, 這個(gè)估計(jì)的可信程度為95%.這個(gè)誤差的可信度為95%.就是說估計(jì)袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間推導(dǎo)過程如下:根據(jù)第六章第二節(jié)定理二知推導(dǎo)過程如下:根據(jù)第六章第二節(jié)定理二知概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件進(jìn)一步可得:注意: 在密度函數(shù)不對(duì)稱時(shí), 習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來確定置信區(qū)間(如圖).進(jìn)一步可得:注意: 在密度函數(shù)不對(duì)稱時(shí), 習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分 (續(xù)例2) 求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間附表4-1附表

6、4-2例4 (續(xù)例2) 求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為0.9 需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的.對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間. 需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間N(0, 1)取樞軸量由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對(duì)任意a、b，我們可以求得P( aUb) . 例如，設(shè)X1,Xn是取自 的樣本， 求參數(shù) 的置信水平為 的 置信區(qū)間.N(0, 1)取樞軸量由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對(duì)任意a、b，我們N(0, 1)例如，由P(-1.96U1.96)=0.95我們得到均值 的置信水平為的置信區(qū)間為N(0, 1)例如，由P(-1.96U1.96)=0.由 P(-1.75U2.

7、33)=0.95這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長(zhǎng)一些.置信區(qū)間為我們得到均值 的置信水平為的由 P(-1.75U2.33)=0.95這個(gè)區(qū)間比前面我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.類似地，我們可得到若干個(gè)不同的置信區(qū)間. 任意兩個(gè)數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個(gè)95%的置信區(qū)間.我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.類似地，我們可得到若干個(gè)不同的在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a =-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短.a =-b在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a =-b時(shí)求得的置信區(qū)間的 即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如 分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間. 我們

8、可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于1的置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間平均長(zhǎng)度越長(zhǎng). 即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如 分布，F(xiàn)分布，習(xí) 也就是說，要想得到的區(qū)間估計(jì)可靠度高，區(qū)間長(zhǎng)度就長(zhǎng)，估計(jì)的精度就差.這是一對(duì)矛盾. 實(shí)用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間的長(zhǎng)度短一些 . 也就是說，要想得到的區(qū)間估計(jì)可靠度高，區(qū)間長(zhǎng)度就長(zhǎng)，休息片刻繼續(xù)休息片刻繼續(xù)二、兩個(gè)總體 的情況討論兩個(gè)總體均值差和方差比的估計(jì)問題.二、兩個(gè)總體 的情況討論兩個(gè)總體均值差和方差比的估計(jì)問題.推導(dǎo)過程如下:1.推導(dǎo)過程如下:1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第

9、七章3講2課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件例5為比較, 兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度,隨機(jī)地取型子彈10發(fā), 得到槍口速度的平均值為隨機(jī)地取型子彈20發(fā), 得槍口速度平均值為假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差相等, 求兩總體均值差信區(qū)間.解由題意, 兩總體樣本獨(dú)立且方差相等(但未知),例5為比較, 兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度,隨機(jī)地取型概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件推導(dǎo)過程如下:2.推導(dǎo)過程如下:2.根據(jù)F分布的定義, 知根據(jù)F分布的定義, 知概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件解例6研究由機(jī)器 A 和機(jī)器 B 生產(chǎn)的鋼

10、管內(nèi)徑, 隨機(jī)抽取機(jī)器 A 生產(chǎn)的管子 18 只, 測(cè)得樣本方差為均未知, 求方差比區(qū)間.設(shè)兩樣本相互獨(dú)抽取機(jī)器B生產(chǎn)的管子 13 只, 測(cè)得樣本方差為立,且設(shè)由機(jī)器 A 和機(jī)器 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布信解例6研究由機(jī)器 A 和機(jī)器 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑, 隨機(jī)抽取概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件解例7甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件, 在機(jī)床甲加工的零件中抽取9個(gè)樣品, 在機(jī)床乙加工的零件信區(qū)間. 假定測(cè)量值都服從正態(tài)分布, 方差分別為的置在置信度由所給數(shù)據(jù)算得0.98下, 試求這兩臺(tái)機(jī)床加工精度之比中抽取6個(gè)樣品,并分別測(cè)得它們的長(zhǎng)度(單位:mm),解例7甲、乙兩臺(tái)機(jī)床

11、加工同一種零件, 在機(jī)床甲加工的零件中抽概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件一個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限一個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量雙側(cè)置兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（一）待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（一）待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量?jī)蓚€(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（二）待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布 雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（二）待估隨機(jī)變量隨機(jī)變量 雙三、單側(cè)置信區(qū)間 上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問題，人們

12、關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限. 例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長(zhǎng)沒什么問題，過短就有問題了. 這時(shí)，可將置信上限取為+，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.三、單側(cè)置信區(qū)間 上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設(shè) 是 一個(gè)待估參數(shù)，給定 若由樣本X1,X2,Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間 是 的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信下限.于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設(shè) 是 一個(gè)又若統(tǒng)計(jì)量 滿足則稱區(qū)間 是 的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間. 稱為單側(cè)置信上限.又若統(tǒng)計(jì)量 單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間單個(gè)正態(tài)總體均值與

13、方差的單側(cè)置信區(qū)間概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第七章第七章3講2課件設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均值 的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限. 例8從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差 未知，取樞軸量解： 的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值 設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均值 的置信水平 對(duì)給定的置信水平 ，確定分位數(shù)使即于是得到 的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間為 對(duì)給定的置信水平 ，確定分位數(shù)使即于是得到 將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065小時(shí)的置

14、信水平為 的單側(cè)置信下限為即 將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065 同學(xué)們可通過練習(xí)，掌握各種求未知參數(shù)的 置信區(qū)間的具體方法.這一講，我們介紹了區(qū)間估計(jì). 同學(xué)們可通過練習(xí)，掌握各種求未知參數(shù)的 置信區(qū)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)與阿貝爾獎(jiǎng),沃爾夫獎(jiǎng) 為什么諾貝爾在以他名字命名的獎(jiǎng)項(xiàng)中不設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)？這個(gè)問題曾經(jīng)引起許多猜測(cè)。比較流行的說法有兩種：一個(gè)傳說是諾貝爾本人認(rèn)為數(shù)學(xué)與人類的進(jìn)步?jīng)]有直接的關(guān)聯(lián)，因而不值得為數(shù)學(xué)設(shè)立專門獎(jiǎng)項(xiàng)；另一個(gè)更為廣泛的說法是，當(dāng)時(shí)瑞典的領(lǐng)頭數(shù)學(xué)家萊夫勒，他是諾貝爾的情敵，如果設(shè)立諾貝爾數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，則很可能非萊夫勒莫屬。當(dāng)然，事實(shí)真相究竟如何，現(xiàn)在已經(jīng)難以精確地

15、考證，但諾貝爾部設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)卻早已成為不爭(zhēng)的事實(shí)，引起數(shù)學(xué)界的普遍抱怨。數(shù)學(xué)獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)與阿貝爾獎(jiǎng),沃爾夫獎(jiǎng) 為什么諾貝爾在以他菲爾茲是加拿大的數(shù)學(xué)家，熱心倡導(dǎo)數(shù)學(xué)國(guó)際交流活動(dòng)，曾成功組織了多倫多舉辦的第7屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)。菲爾茲是萊夫勒的好朋友，他對(duì)諾貝爾不設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)?lì)H有不滿，于是他提議將第7屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)剩余經(jīng)費(fèi)用來設(shè)立一個(gè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。在他去世前，菲爾茲又把自己的財(cái)產(chǎn)中的一大筆錢捐獻(xiàn)出來，以增加數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的費(fèi)用。在1932年蘇黎世舉行的第9屆數(shù)學(xué)大會(huì)上，大會(huì)組織成員決定把這個(gè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)命名為“菲爾茲獎(jiǎng)”。菲爾茲獎(jiǎng)用來獎(jiǎng)勵(lì)年齡不超過40歲的年輕數(shù)學(xué)家，每次獲獎(jiǎng)?wù)卟怀^4人，每位獲獎(jiǎng)?wù)呖傻玫揭幻都兘皙?jiǎng)?wù)潞鸵还P數(shù)額不大的獎(jiǎng)金。 1982年華裔美國(guó)數(shù)學(xué)家丘成桐獲得了菲爾茲獎(jiǎng)，成為目前唯一獲此殊榮的華人。菲爾茲是加拿大的數(shù)學(xué)家，熱心倡導(dǎo)數(shù)學(xué)國(guó)際交流活動(dòng)，曾成功組織菲爾茲獎(jiǎng)每4年頒發(fā)一次，且獎(jiǎng)金數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能和諾貝爾獎(jiǎng)相比較。2002年，挪威政府宣布將于2