二次函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想

1、二次函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想二次函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。 正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活。 -克萊因- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第2頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。 -www.xs 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，更重要的是數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí),只有突破數(shù)學(xué)思想，才能進(jìn)行創(chuàng)造性的學(xué)習(xí).- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第3頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。 - 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所一：再學(xué)函數(shù) -類比的數(shù)學(xué)思想一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)定義圖像性質(zhì)應(yīng)用- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第4頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。一：再學(xué)函數(shù)一次函

2、數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)定義圖像性質(zhì)應(yīng)用-ww二：探究二次函數(shù)圖像與性質(zhì) -從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第5頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。二：探究二次函數(shù)圖像與性質(zhì)- 求函數(shù)解析式交點(diǎn)式頂點(diǎn)式一般式 已知某二次函數(shù)的圖像過（-1，10）、（1，4）、（2，7）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式。已知某二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)（-2，1）且經(jīng)過（1,0)，求二次函數(shù)解析式 。已知某二次函數(shù)圖像與X軸交于(2,0) (-1,0)且過點(diǎn)(0,-2)求二次函數(shù)解析式 。=+=+=+-724410cbacbacba解：設(shè)所求函數(shù)解析式為cbxaxy+=2解:拋物線的頂點(diǎn)為(2,-1)設(shè)解析式為:y=a(x-2)2-1

3、把點(diǎn)(-1,2)代入 a(-1-2)2-1=2解:拋物線與X軸交于 點(diǎn)(2,0)(-1,0)設(shè)解析式為: y=a(x-2)(x+1)把點(diǎn)(0,-2)代入a(0-2)(0+1)=-2- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第6頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。求函數(shù)解析式交點(diǎn)式頂點(diǎn)式一般式 已知某二次函數(shù)的圖像過（-1 方程思想是通過列方程（組）求解函數(shù)問題的解題策略，體現(xiàn)了已知和未知的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系， 除用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式外，在二次函數(shù)的一些綜合題目中也時(shí)有應(yīng)用。且難度可深可淺，使函數(shù)的學(xué)習(xí)變得更加多樣化。三：二次函數(shù)中的方程思想- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第7頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。 三：二次函數(shù)中的方程思想-問題： 是

4、否還有其他的數(shù)學(xué)思想也滲透在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中呢？- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第8頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。問題：- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所 如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a0) 的圖像,請(qǐng)盡可能多的說出一些結(jié)論。yxO-11-34- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第9頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。 如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a0) 的圖像, 問題1. 方程-(x+1)2+4=0有幾個(gè)實(shí)數(shù)解? 問題2. 方程-(x+1)2+4=1有幾個(gè)實(shí)數(shù)解?- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第10頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。 問題1. 問題2. - 問題1. 方程-(x+1)2+4=0有幾個(gè)實(shí)數(shù)解?方程-(x+1)2+4=1有幾個(gè)實(shí)數(shù)解?yxO-1

5、 14-3y=-(x+1)2+4011x1x2結(jié)合圖像思考:函數(shù)思想- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第11頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。 問題1. yxO-1 14-3y=- 問題2. 結(jié)合圖像思考： 當(dāng)m為何值時(shí), 方程-(x+1)2+4=m 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根; 沒有實(shí)數(shù)根?yO-1 14-3y=-(x+1)2+4y=mm1函數(shù)思想- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第12頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。 問題2. 結(jié)合圖像思考： yxO-1 14-3問題(3) 若直線y1=kx+m與拋物線y2=ax2+bx+c交于A(1,0),B(-1,4)兩點(diǎn). 觀察圖像填空：(1)方程ax2+bx+c=kx+m 的解

6、為 . (2)不等式ax2+bx+ckx+m 的解為 . (3)不等式ax2+bx+ckx+m 的解為 . ABx1=-1,x2=1-1x1函數(shù)思想x-1或x1- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第13頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。yxO-1 14-3問題(3) 點(diǎn)評(píng) 感覺到數(shù)學(xué)的美，感覺到數(shù)與形的協(xié)調(diào)，感覺到幾何的優(yōu)雅，它是所有的數(shù)學(xué)家都清楚的真實(shí)的美的感覺。 -龐加萊用數(shù)表達(dá)，用形釋義，數(shù)形結(jié)合，相得益彰。- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第14頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。點(diǎn)評(píng)- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有五：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想思路：將二元方程解的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題來求解。例：已知實(shí)數(shù)x、y滿足 ，則 的最大值為 。- 新世紀(jì)教育網(wǎng)

7、版權(quán)所有第15頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。五：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想思路：將二元方程解的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問點(diǎn)評(píng) 轉(zhuǎn)化思想就是換一個(gè)角度去看，換一種方式去想，換一種觀點(diǎn)去處理，把“新知識(shí)”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”以使問題朝著有利于解決的方向發(fā)展。- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第16頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。點(diǎn)評(píng)- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有例：若函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)，求a的取值范圍。 解析：由于題設(shè)中并未說明函數(shù)的次數(shù)也未說明圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此，所給函數(shù)既可以是二次函數(shù)，又可以是一次函數(shù)。- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第17頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。例：若函數(shù)解析：由于題設(shè)中并未說明函數(shù)的次數(shù)也未說明圖象與x六：分類討論的數(shù)學(xué)思

8、想 當(dāng)被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時(shí)，必須按可能出現(xiàn)的所有情況來分別求解，這種方法稱為分類討論思想。兩個(gè)原則：（1）每次分類按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。（2）不重復(fù)、不遺漏。- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第18頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。六：分類討論的數(shù)學(xué)思想 當(dāng)被研究的問題包含多種可能情例：若函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)，求a的取值范圍。 情況一：當(dāng) 時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，解得a=-2或a=-1；顯然a=-1不符合題意，應(yīng)舍去。而當(dāng)a=-2時(shí)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。 情況二：當(dāng) 時(shí)，解得 且 ，由函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)，得 ，所以，綜上所述，a的取值范圍是a-1- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第19頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。

9、例：若函數(shù)情況一：當(dāng) 點(diǎn)評(píng) 分類討論思想的作用是培養(yǎng)思維的周密性、克服思維的片面性，防止漏解、錯(cuò)解。這實(shí)際上是一種“分而治之，各個(gè)擊破”的策略。 在二次函數(shù)的中考?jí)狠S題中，分類討論的思想更是體現(xiàn)的淋漓盡致。- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第20頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。點(diǎn)評(píng)- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有 類比的數(shù)學(xué)思想 從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想 函數(shù)中的方程思想 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 分類討論的數(shù)學(xué)思想 思想回顧 函數(shù)思想- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第21頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。 類比的數(shù)學(xué)思想 從二次函數(shù)中的其他數(shù)學(xué)思想：圖形變換思想函數(shù)建模思想 - 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第22頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。二次函數(shù)中

10、的其他數(shù)學(xué)思想：圖形變換思想函數(shù)建模思想 數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想：例：如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1,3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，則下列說法正確的是 。 （1）2a+b=0；（2）a+b+c0；（3）只有當(dāng)a= 時(shí)，ABD是等腰直角三角形；（4）使ABC為等腰三角形的a的值可以有3個(gè)。ABCD- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第23頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想：ABCD-w數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想：例：如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1,3，與y軸負(fù)半

11、軸交于點(diǎn)C，則下列說法正確的是 。 （1）2a+b=0；（2）a+b+c0；（3）只有當(dāng)a= 時(shí)，ABD是等腰直角三角形；（4）使ABC為等腰三角形的a的值可以有3個(gè)。ABCDEADB E- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第24頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想：ABCDEA數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想：例：如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1,3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，則下列說法正確的是 。 （1）2a+b=0；（2）a+b+c0；（3）只有當(dāng)a= 時(shí)，ABD是等腰直角三角形；（4）使ABC為等腰三角形的a的值可以有3個(gè)

12、。ABCDABCO- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第25頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想：ABCDAB在數(shù)學(xué)的天地里 重要的不是我們知道什么 而是我們?cè)趺慈ブ朗裁? 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第26頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。在數(shù)學(xué)的天地里- 新世紀(jì)教育 如圖為二次函數(shù)的圖象，給出下列說法： ；方程 的根為 ； ；當(dāng) x1 時(shí)，y隨x值的增大而增大；當(dāng) 時(shí)， 其中，正確的說法有 （請(qǐng)寫出所有正確說法的序號(hào)）思維訓(xùn)練1：- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第27頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。 如圖為二次函數(shù)的圖象，給出下列說法： 思維訓(xùn)練2： 如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn),與y軸交于A點(diǎn). (1)根據(jù)圖象確定a、b、c的符號(hào),并說明理由;(2)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-3),ABC=45,ACB=60,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.- 新世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有第28頁(yè)，共30頁(yè)幻燈片。思維訓(xùn)練2：- 新世紀(jì)教育網(wǎng)思維訓(xùn)練3：例：如圖,二次函數(shù)y=x2 +（2k-1)x+k+1的圖象與x軸交于O、A兩點(diǎn). (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)在這條拋物線對(duì)稱軸右邊的圖像上有一點(diǎn)B，使銳角AOB