《數(shù)字信號處理》課程設計fir、iir濾波器的設計與實現(xiàn)

1、昆明理工大學數(shù)字信號處理課程設計 設計題目：FIR、IIR濾波器的設計與實現(xiàn)學 院：信息工程與自動化學院專 業(yè)：通信工程年 級： 2007 級 姓 名：學 號：指導老師： 摘要FIR、IIR數(shù)字濾波器是一類重要的濾波器，它用較低的階數(shù)就可以很好地實現(xiàn)頻率選擇特性，因此在通信、語言與信號處理、HDTV（高畫質(zhì)電視）、生物醫(yī)學以及地震勘測等許多方面都得到了廣泛的應用。因此，F(xiàn)IR、IIR數(shù)字濾波器設計一直是數(shù)字信號處理領域中重要的研究課題之一。多年來，國內(nèi)外學者在FIR、IIR數(shù)字濾波器設計問題上作了大量的探索并提出了許多有效的設計方法。 本文采用“巴特沃斯方法”建立了IIR數(shù)字濾波器模擬濾波器模

2、型，用窗函數(shù)法矩形窗、漢明窗、漢明窗、汗寧窗、凱撒窗建立了FIR數(shù)字濾波器模擬濾波器模型, 并用MATLAB方法對該優(yōu)化數(shù)學模型的系數(shù)進行求解。由于窗函數(shù)法設計類似只是加的窗函數(shù)不同，故本文重點闡述矩形窗的設計方法。關鍵字：濾波器 巴特沃斯 IIR FIR 矩形窗 漢明窗 漢明窗 汗寧窗 凱撒窗目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc266392379 摘要 PAGEREF _Toc266392379 h 2 HYPERLINK l _Toc266392380 目錄 PAGEREF _Toc266392380 h 3 HYPERLINK l _Toc2663923

3、81 第一章 概述 PAGEREF _Toc266392381 h 4 HYPERLINK l _Toc266392382 1.1 背景知識 PAGEREF _Toc266392382 h 4 HYPERLINK l _Toc266392383 1.2 濾波器概述 PAGEREF _Toc266392383 h 4 HYPERLINK l _Toc266392384 第二章 FIR濾波器設計 PAGEREF _Toc266392384 h 5 HYPERLINK l _Toc266392385 2.1 MATLAB仿真過程 PAGEREF _Toc266392385 h 5 HYPERLINK

4、 l _Toc266392386 濾波器的基本結構 PAGEREF _Toc266392386 h 5 HYPERLINK l _Toc266392387 2.2 FIR濾波器的MATLAB設計 PAGEREF _Toc266392387 h 6 HYPERLINK l _Toc266392388 函數(shù) PAGEREF _Toc266392388 h 6 HYPERLINK l _Toc266392389 函數(shù) PAGEREF _Toc266392389 h 7 HYPERLINK l _Toc266392390 2.3濾波器的設計（矩形窗） PAGEREF _Toc266392390 h 7

5、 HYPERLINK l _Toc266392391 高通FIR矩形窗實現(xiàn) PAGEREF _Toc266392391 h 8 HYPERLINK l _Toc266392392 低通FIR矩形窗實現(xiàn) PAGEREF _Toc266392392 h 10 HYPERLINK l _Toc266392393 帶通FIR矩形窗實現(xiàn) PAGEREF _Toc266392393 h 12 HYPERLINK l _Toc266392394 2.4濾波器的設計（漢明窗） PAGEREF _Toc266392394 h 14 HYPERLINK l _Toc266392395 2.5濾波器的設計（汗寧窗）

6、 PAGEREF _Toc266392395 h 14 HYPERLINK l _Toc266392396 2.6濾波器的設計（布萊克曼） PAGEREF _Toc266392396 h 14 HYPERLINK l _Toc266392397 2.7濾波器的設計（凱撒窗） PAGEREF _Toc266392397 h 14 HYPERLINK l _Toc266392398 第三章 IIR濾波器設計 PAGEREF _Toc266392398 h 14 HYPERLINK l _Toc266392399 3.1 IIR濾波器 PAGEREF _Toc266392399 h 14 HYPER

7、LINK l _Toc266392400 濾波器的特點： PAGEREF _Toc266392400 h 14 HYPERLINK l _Toc266392401 、IIR濾波器的結構： PAGEREF _Toc266392401 h 14 HYPERLINK l _Toc266392402 3.2 IIR濾波器的設計原理 PAGEREF _Toc266392402 h 15 HYPERLINK l _Toc266392403 濾波器的設計概述 PAGEREF _Toc266392403 h 15 HYPERLINK l _Toc266392404 濾波器的MATLAB設計原理（巴特沃斯） P

8、AGEREF _Toc266392404 h 16 HYPERLINK l _Toc266392405 3.3 設計說明 PAGEREF _Toc266392405 h 16 HYPERLINK l _Toc266392406 濾波器的MATLAB設計程序 PAGEREF _Toc266392406 h 16 HYPERLINK l _Toc266392407 音頻文件采集數(shù)據(jù) PAGEREF _Toc266392407 h 17 HYPERLINK l _Toc266392408 主要函數(shù)分析： PAGEREF _Toc266392408 h 21 HYPERLINK l _Toc26639

9、2409 3.4 結果分析 PAGEREF _Toc266392409 h 21 HYPERLINK l _Toc266392410 結論 PAGEREF _Toc266392410 h 22 HYPERLINK l _Toc266392411 總結與收獲 PAGEREF _Toc266392411 h 22 HYPERLINK l _Toc266392412 謝辭 PAGEREF _Toc266392412 h 23 HYPERLINK l _Toc266392413 參考文獻 PAGEREF _Toc266392413 h 24第一章 概述1.1 背景知識數(shù)字信號處理（Digital Si

10、gnal Processing，簡稱DSP）是一門涉及許多學科而又廣泛應用于許多領域的新興學科。DSP有兩種含義：digital Signal Processing（數(shù)字信號處理）、Digital Signal Processor（數(shù)字信號處理器）。我們常說的DSP指的是數(shù)字信號處理器。數(shù)字信號處理器是一種適合完成數(shù)字信號處理運算的處理器。20世紀60年代以來，隨著計算機和信息技術的飛速發(fā)展，數(shù)字信號處理技術應運而生并得到迅速的發(fā)展。在過去的二十多年時間里，數(shù)字信號處理已經(jīng)在通信等領域得到極為廣泛的應用。數(shù)字信號處理是利用計算機或?qū)Ｓ锰幚碓O備，以數(shù)字形式對信號進行采集、變換、濾波、估值、增強、

11、壓縮、識別等處理，以得到符合人們需要的信號形式。它是以眾多學科為理論基礎的，它所涉及的范圍極其廣泛。例如，在數(shù)學領域，微積分、概率統(tǒng)計、隨機過程、數(shù)值分析等都是數(shù)字信號處理的基本工具，與網(wǎng)絡理論、信號與系統(tǒng)、控制論、通信理論、故障診斷等也密切相關。近來新興的一些學科，如人工智能、模式識別、神經(jīng)網(wǎng)絡等，都與數(shù)字信號處理密不可分?？梢哉f，數(shù)字信號處理是把許多經(jīng)典的理論體系作為自己的理論基礎，同時又使自己成為一系列新興學科的理論基礎。1.2 濾波器概述1917年美國和德國科學家分別發(fā)明了LC濾波器，次年導致了美國第一個多路復用系統(tǒng)的出現(xiàn)。50年代無源濾波器日趨成熟。自60年代起由于計算機技術、集成工

12、藝和材料工業(yè)的發(fā)展，濾波器發(fā)展上了一個新臺階，并且朝著低功耗、高精度、小體積、多功能、穩(wěn)定可靠和價廉方向努力，其中小體積、多功能、高精度、穩(wěn)定可靠成為70年代以后的主攻方向，導致RC有源濾波器、數(shù)字濾波器、開關電容濾波器和電荷轉移器等各種濾波器的飛速發(fā)展。到70年代后期，上述幾種濾波器的單片集成被研制出來并得到應用。80年代致力于各類新型濾波器性能提高的研究并逐漸擴大應用范圍。90年代至今主要致力于把各類濾波器應用于各類產(chǎn)品的開發(fā)和研制。當然對濾波器本身的研究仍在不斷進行。濾波器的分類方法很多，目前尚無統(tǒng)一的劃分方法。但總的來說，濾波器可以分為經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器兩大類。經(jīng)典濾波器是假定輸入

13、信號中的有用成分和無用成分各占不同的頻帶，通過濾波器后，便可將不需要的頻率信號濾掉，留下有用信號。如果信號和噪聲的頻譜相互混疊，則經(jīng)典濾波器無能為力?，F(xiàn)代濾波器是從含有噪聲的輸入信號中估計出信號的某些特征或信號本身，它將信號和噪聲都看作是隨機信號，利用它們的統(tǒng)計特性（如自相關函數(shù)、功率譜等）推導出濾波器的傳遞函數(shù)。濾波器按照處理信號的類型可以分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種。當濾波器的輸入輸出是連續(xù)時間信號時，濾波器的單位沖激響應h（t）也是連續(xù)的，稱為模擬濾波器（AnaloglogFilter，簡稱 AF）。它只能用硬件電路來實現(xiàn)，其元件是電阻、電容、電感和集成運算放大器等。當濾波器的輸入輸出

14、是離散時間信號時，濾波器的單位脈沖響應h（n）也必然是離散的，該濾波器稱為數(shù)字濾波器（DigitalFilter，簡稱DF）。它既可以用硬件實現(xiàn)，如延遲器、乘法器和加法器等，也可以用軟件實現(xiàn)，即為一段線性卷積的程序。按照濾波功能可分為低通（LP），高通（HP）、帶通（BP）和帶阻（BS）濾波器四種。按照濾波器的實現(xiàn)方法，模擬濾波器可分為LC 濾波器、螺旋濾波器、晶體濾波器、陶瓷濾波器、聲表面濾波器、微帶濾波器和有源濾波器等。數(shù)字濾波器可分為有限沖激響應濾波器和無限沖激響應濾波器。第二章 FIR濾波器設計2.1 MATLAB仿真過程FIR濾波器的基本結構 數(shù)字濾波器是將輸入新號序列，按規(guī)定的算法

15、進行處理，從而得到所期望的輸出序列。一個線性位移不變系統(tǒng)的輸出序列和輸入序列之間的關系，應滿足常系數(shù)線性差分方程： 式中，為輸入序列；為輸出序列；和為濾波器系數(shù)；N為濾波器階數(shù)。若所有的均為0，則得到FIR濾波器的差分方程為;對這式進行Z變換，整理后可得FIR濾波器的傳遞函數(shù)為;FIR濾波器的結構圖如下：+ FIR濾波器的單位沖激響應是一個有限長序列。若為實數(shù)，且滿足偶對稱或奇對稱的條件，即或，則FIR濾波器具有線性相位特性。偶對稱線性相位FIR濾波器的差分方程為 式中，N為偶數(shù)。在數(shù)字濾波器中，F(xiàn)IR濾波器無反饋回路，是一種無條件系統(tǒng)；并且可以設計成具有線性相位特性。2.2 FIR濾波器的M

16、ATLAB設計濾波器的設計包含在工具箱的Signal中，它提供了多重FIR濾波器設計方法。下面介紹標準頻率響應設計法fir1和任意頻率響應法fir2. . fir1函數(shù)用來設計標準頻率響應的FIR濾波器，可實現(xiàn)加窗線性相位FIR數(shù)字濾波器設計。語法： b=fir1(n,); b=fir1(n,ftype); b=fir1(n,Window); b=fir1(n,ftype,Window);其中，n為濾波器的階數(shù)；為濾波器的截止頻率；ftype參數(shù)用來決定濾波器的類型，ftype=high時，可設計高通濾波器，當ftype=stop時，可設計帶阻濾波器。Window參數(shù)用來指定濾波器采用的窗函數(shù)

17、類型，其默認值為漢明窗。使用fir1函數(shù)可設計標準的低通、高通、帶通和帶阻濾波器。濾波器的系數(shù)包含在返回值b中，可表示為： . fir2函數(shù)用來設計有任意頻率響應的各種加窗FIR濾波器。 語法： b=fir2(n，f，m)； b=fir2(n，f，m，Window)； b=fir2(n，f，m，npt)； b=fir2(n，f，m，npt，Window)； b=fir2(n，f，m，npt，lap)； b=fir2(n，f，m，npt，lap，Window)；其中，參數(shù)n為濾波器的階數(shù)；f為頻率矢量，且，f=1對應于。矢量f按升序排列，且第一個元素必須為0，最后一個必須為1，并可以包含重復的頻

18、率點；m為幅度點矢量，在矢量m中包含了與f相對應的期望得到的濾波器幅度；Window是用來指定所使用的窗函數(shù)類型，其默認值為漢明；參數(shù)npt用來指定fir2函數(shù)對頻率響應進行內(nèi)插的點數(shù)；lap是用來指定fir2函數(shù)在重復頻率點附近插入的區(qū)域大小。2.3濾波器的設計（矩形窗）此處設計的是一個采樣頻率為16KHZ、截止頻率為200HZ的一個濾波器，并且濾波器階數(shù)為30階。對采樣頻率和截止頻率進行歸一化處理，可以得出歸一化后的截止頻率，然后產(chǎn)生濾波器系數(shù)，并且利用上面的WAV文件讀取結果進行濾波處理。下面是濾波器的主要代碼：高通FIR矩形窗實現(xiàn)低通FIR矩形窗實現(xiàn)帶通FIR矩形窗實現(xiàn)2.4濾波器的設

19、計（漢明窗）其他程序段不變，令wn= hamming(N);%漢明窗2.5濾波器的設計（汗寧窗）其他程序段不變，令wn= hanning(N);%漢寧窗2.6濾波器的設計（布萊克曼）其他程序段不變，令wn= blackman (N);%凱撒窗2.7濾波器的設計（凱撒窗）其他程序段不變，令wn= kaiser(N+1,beta);%凱撒窗第三章 IIR濾波器設計3.1 IIR濾波器.濾波器的特點：數(shù)字信號處理領域，數(shù)字濾波器的設計在其中占有很重要的地位。從實現(xiàn)方法上分，數(shù)字濾波器有兩種：有限長單位沖激響應濾波器(FIR)和無限長單位沖激響應濾波器(IIR)。如果與幅度響應相比，相位失真的重要性能

20、是第二位的，則所設計的數(shù)字濾波器可以由需要較少存儲空間、計算復雜程度較低、從而成本也較低的IIR結構來實現(xiàn),IIR濾波器要比FIR濾波器獲得更高的性能，它具有工作速度快、耗用存儲空間少的特點,即結構簡單，運算量小，經(jīng)濟，高效，用較小的階數(shù)獲得很高的選擇性，因此得到了廣泛的應用，相比之下，F(xiàn)IR的設計有一定的難度，實現(xiàn)的成本費用高。但有利就必有弊，IIR濾波器在一般的定點DSP上實現(xiàn)比較困難。因為IIR濾波器的反饋通道計算會導致結果的溢出，雖然可以用縮放輸入數(shù)據(jù)的比例的辦法來防止溢出錯誤，但是這將使輸出信號動態(tài)范圍減少，為了恢復輸出信號的動態(tài)范圍，可以對輸出信號作一定左移放大。、IIR濾波器的結

21、構：IIR濾波器差分方程的一般表達式為yn= 式中，x（n）為輸入序列；y（n）為輸出序列； 和為濾波器系數(shù)。若所有系數(shù)=0，則為FIR濾波器。IIR濾波器具有無限長的單位脈沖響應，在結構上存在反饋回路，具有遞歸性，即IIR濾波器的輸出不僅與輸入有關，而且與過去的輸出有關。傳遞函數(shù)可以寫成：H（z）=C 式中，具有N個極點和N個零點，若有極點位于單位圓外將導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于IIR濾波器，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件如下：（1）若的絕對值小于1，系統(tǒng)穩(wěn)定；（2）若的絕對值大于1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。IIR濾波器具有多種形式，主要有：直接性，標準型，變換型，級聯(lián)型和并聯(lián)型。二階IIR濾波器，又稱為二階基本節(jié)，分為直接

22、型，標準型和變換型。對于一個二階基本節(jié)，其輸出可以寫成：y（n）=x（n）+x（n-1）+x（n-2）-y(n-1)-y(n-2) 3.2 IIR濾波器的設計原理 IIR濾波器的設計概述IIR濾波器的設計可以利用模擬濾波器原型，借鑒成熟的模擬濾波器的設計結果進行雙線性變換，將模擬濾波器變成滿足預定指標的數(shù)字濾波器，即根據(jù)模擬設計理論設計出滿足要求的傳遞函數(shù)H（s），然后將H（s）變換成滿足要求的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H（z）。設計IIR濾波器的基礎是設計模擬濾波器的原型，這些原型濾波器主要有：巴特沃斯（Butterworth）濾波器，其幅度響應在通帶內(nèi)具有最平特性；切比雪夫（Chebyshev）

23、濾波器，在通帶內(nèi)具有等波紋特性，且階數(shù)小于巴特沃斯濾波器。（3） 橢圓（Elliptic）濾波器，在通帶和阻帶內(nèi)具有等波紋特性，且階數(shù)最小。 IIR 濾波器的MATLAB設計原理（巴特沃斯）IIR濾波器設計首先要得到它的系數(shù)。我們可以用MATLAB來輔助設計得到。這里用巴特沃斯方法來實現(xiàn)。主要應用函數(shù)為butter函數(shù)功能：用于設計巴特沃斯（Butterworth）濾波器。語法：b，a=butter（n，Wn）； b，a=butter（n，Wn，ftype）；說明：butter函數(shù)可以設計低通，帶通，高通和帶阻數(shù)字濾波器，其特性可使通帶內(nèi)的幅度響應最大限度地平坦，但會損失截止頻率處的下降斜度，

24、使幅度相應衰減較慢。b，a=butter（n，Wn）可以設計截止頻率為Wn的n階低通Butterworth濾波器，其中截止頻率Wn應滿足0= Wn =1,Wn=1相當于0.5fs（采樣頻率）。當Wn=W1,W2時，butter函數(shù)產(chǎn)生一個2n階的數(shù)字帶通濾波器，其通帶為W1WW2。b，a=butter（n，Wn，ftype）可以設計高通和帶阻濾波器。當ftype=high時，可設計截止頻率為Wn的高通濾波器；當ftype=stop時，可設計帶阻濾波器，此時Wn=W1，W1,阻帶為W1WW2.使用butter函數(shù)設計濾波器，可以使通帶內(nèi)的幅度響應最大限度地平坦，但會損失截止頻率處的下降斜度，因此

25、，butter函數(shù)主要用于設計通帶平坦的數(shù)字濾波器。3.3 設計說明 IIR濾波器的MATLAB設計程序1.巴特沃思方法求IIR濾波器傳遞函數(shù)系數(shù)。（1）程序段：濾波器的設計指標為：為IIR低通濾波器，采樣率為8000HZ，fp=2100HZfs=2500HZ，Rp=3dB，Rs=25dB。f_N=8000; %采樣率f_p=2100;f_s=2500;R_p=3;R_s=25; %設計要求指標Ws=f_s/(f_N/2);Wp=f_p/(f_N/2); %計算歸一化角頻率n,Wn=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s); %計算階數(shù)和截止頻率b,a=butter(n,Wn); %計算H

26、（z）freqz(b,a,1000,8000) %作出H（z）的幅頻相頻圖，freqz(b,a,計算點數(shù),采樣率)subplot(2,1,1);axis(0 4000 -30 3)（2）結果顯示：圖-1 巴特沃思濾波器的設計效果圖(3)主要函數(shù)說明：其中語句b,a=butter(n,Wn)是計算巴特沃思低通濾波器的系數(shù)，butter函數(shù)可以設計低通，帶通，高通和帶阻數(shù)字濾波器，其特性可使通帶內(nèi)的幅度響應最大限度地平坦，但會損失截止頻率處的下降斜度，使幅度相應衰減較慢。在語句中，n為低通濾波器的階數(shù)，Wn為低通濾波器的截止頻率，b為H(Z)的分子多項式的系數(shù)，a為H（Z）的分母多項式系數(shù).音頻文

27、件采集數(shù)據(jù)-2 音頻文件波形圖-3 IIR-5階低通濾波后信號的波形、頻譜-4 IIR-15階帶通濾波后信號的波形、頻譜-5 IIR-5階高通濾波后信號的波形、頻譜主要函數(shù)分析：MATLAB中，濾波器主要是使用“filter”指令實現(xiàn)，從以上巴特沃思的設計中，求得了濾波器傳遞函數(shù)的分子和分母b，a之后，用“filter”指令可以實現(xiàn)對應的濾波器，具體語法為F=filter(b,a,yyy)即n階濾波器H（z）的分子系數(shù)為b，分母系數(shù)為a，輸入數(shù)據(jù)為yyy。3.4 結果分析在數(shù)字信號處理中，濾波有極其重要的作用，數(shù)字濾波器是譜分析、雷達信號處理、通信信號處理應用中的基本處理算法.在系統(tǒng)設計中，濾

28、波器的好壞將直接影響系統(tǒng)的性能當今FIR濾波器主要的不足在于其較好的性能是以較高的階數(shù)為代價換來的.對于相同的設計指標，F(xiàn)IR濾波器所要求的階數(shù)比IIR濾波器高25倍，信號的延遲偏大.因此，在保證相同性能的前提下，盡量降低其階數(shù)是FIR數(shù)字濾波器設計的目標之一。結論這次設計主要是利用MATLAB編程，實現(xiàn)FIR、IIR濾波過程，并使用不同的編程方法編程所得到的結果進行比較。在這次設計中，通過MATLAB成功的實現(xiàn)了語音文件的讀取，F(xiàn)IR、IIR濾波，音頻文件的播放。不過還是右很多不足，比如圖形的動態(tài)顯示等等。這次設計基本完成了預期目標，驗證了MATLAB的濾波功能?；贛ATLAB的信號處理工

29、具箱為數(shù)字濾波器設計帶來了全新的實現(xiàn)手段,設計快捷方便,仿真波形直觀。在MATLAB下設計IIR濾波器可使用Butterworth函數(shù)設計出巴特沃斯濾波器；使用kaise函數(shù)設計出凱撒窗FIR型濾波器，使用blackman函數(shù)設計出布萊克曼窗型濾波器，使用boxcar函數(shù)設計出矩形窗FIR型濾波器等。與FIR濾波器的設計不同，IIR濾波器設計時的階數(shù)不是由設計者指定，而是根據(jù)設計者輸入的各個濾波器參數(shù)（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），由軟件設計出滿足這些參數(shù)的最低濾波器階數(shù)。在MATLAB下設計不同類型IIR濾波器均有與之對應的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。綜上所述，在這次設計中收獲頗多，對數(shù)字信號處

30、理有了更深層次的理解，豐富了編程知識，也讓所學的理論知識得以應用。也會盡管此次設計已經(jīng)達到預期結果，由于時間問題，在很多方面還不足，還有待與優(yōu)化改進?？偨Y與收獲本學期我們開設了數(shù)字信號處理這門課，這和我們專業(yè)有很大的聯(lián)系，而書上學的都是些理論方面的知識。正所謂“紙上談兵終覺淺，覺知此事要躬行?！睂W習任何知識，僅從理論方面去求知，而不去實踐、探索是不夠的。在進行matlab編程時我總結了如下經(jīng)驗：（1）不是很確定某個函數(shù)的用法和功能時，除了使用help或demo外，更方便更直接的方法就是自己構造一些簡單數(shù)據(jù)試用一下函數(shù)。（2）為了提高程序運行效率，能使用矩陣方法處理的數(shù)據(jù)盡量用矩陣方法處理，畢竟

31、矩陣處理是matlab的強項。 某些不能用矩陣處理，可設法構造出可以運算的矩陣。（3）當使用矩陣運算時，直接看代碼不是很容易理解，可把矩陣簡單的寫在草稿紙上，包括初始矩陣和矩陣的變換結果，然后借助草稿紙上直觀的矩陣運算理解整個表達式的意義。（4）設置斷點。設置斷點最主要的目的就是查看中間變量的值，從中了解整個程序的運算過程。（5）最主要也是最基本的就是對算法的正確理解，理解算法的原理和算法每一步的意義；當理解每一步的意義后，同樣的目的可采用不同的方法進行處理。（6）隨著版本的不同，某一版本中可以調(diào)用的函數(shù)，在另一個版本中可能是非法的，這樣就必須對其進行分析和轉換。（7）有時可以通過畫圖的幫助來感性的了解數(shù)據(jù)，這樣處理的時候不會太盲目。雖然完成這次作業(yè)用的時間很短，但對于我來說，每一天都有不同的收獲，好奇而又充實。這次作業(yè)的完成培