圓錐曲線知識點(diǎn)歸納匯總 - 雙曲線

1、學(xué)習(xí)奧數(shù)的優(yōu)點(diǎn)1、激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，更容易讓學(xué)生體驗成功，樹立自信。2、訓(xùn)練學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和思維品質(zhì)。要使經(jīng)過奧數(shù)訓(xùn)練的學(xué)生，思維更敏捷，考慮問題比別人更深層次。3、鍛煉學(xué)生優(yōu)良的意志品質(zhì)?？梢耘囵B(yǎng)持之以恒的耐心和克服困難的信心，以及戰(zhàn)勝難題的勇氣。可以養(yǎng)成堅韌不拔的毅力4、獲得扎實的數(shù)學(xué)基本功，發(fā)揮創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力的最大空間。雙曲線1雙曲線定義定義1（教材定義）：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)

2、且a0，c0.(1)當(dāng)2a|F1F2|時，P點(diǎn)不存在滿足以下三個條件的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(1)在平面內(nèi)；(2)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為一定值；(3)這一定值一定要小于兩定點(diǎn)的距離定義2（補(bǔ)充定義）：平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到對應(yīng)定直線l的距離之比為定值e(e1)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，對應(yīng)的定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，定值e叫做離心率e集合SPF2（e1），PQ其中直線l1、l2叫做對應(yīng)準(zhǔn)線，F(xiàn)1，F(xiàn)2叫做對應(yīng)的焦點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)方程x2y22雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)(教材定義)a2b21(a0，b0)y2x2a2b21(a0，b0)圖形范圍對稱性xa或xa，yRxR，ya或y

3、a對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)yxyx性質(zhì)頂點(diǎn)漸近線A1(a,0)，A2(a,0)baA1(0，a)，A2(0，a)abe，e(1，)，其中ca2b2離心率ca實虛軸a、b、c的關(guān)系線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長c2a2b2(ca0，cb0)以焦點(diǎn)在x軸為例：xy1(a0，b0)3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)（含補(bǔ)充）22a2b2b1）漸近線：yax，右準(zhǔn)線l：xccx2）準(zhǔn)線：左準(zhǔn)線l：1a2a223）通徑：（過焦點(diǎn)的所有弦長中通徑最短為MN）4）焦點(diǎn)到漸近線距離為PFb

4、2b2a25）一般弦長公式：直線l：y=kx+m與雙曲線C交于A（x1，y1）B（x2，y2）則弦長AB的計算公式為1x1xABk21xxk21x12224x2或者AB1kky1y122211yy1224yy124雙曲線的重要二級結(jié)論（補(bǔ)充）1）焦點(diǎn)三角形周長如圖一所示：過其中一個焦點(diǎn)F構(gòu)成的弦長PQ與另外一個焦點(diǎn)F21圍成的三角形的周長為：LPQF1=4a+2PQ當(dāng)PQ=通徑時取最小值推導(dǎo)：由PF-PF=2a,QF-QF=2a可知1212PF+QF-PF-QF=PF+QF-PQ=4a112211所以eqoac(,L)PQF1=PF1+QF1+PQ=PF1+QF1-PQ+2PQ=4a+2PQ2

5、）焦點(diǎn)三角形面積如圖二所示：雙曲線上一動點(diǎn)P與左右焦點(diǎn)F、F圍成的三角形的面積為：12PF1F2b2Stan2，（其中FPF）12推導(dǎo)：設(shè)PF=m，PF=n12則PF-PF=m-n=2a12在三角形PF1F2由余弦定理可知：PFFF122PF12222PFPFcosFPF1212-=2mn1cos4b2即2mn12sin214b2從而得出mnsin2b2所以：4c2m2n22mncos2化為4a2m2n22mn22PF1F2b2又因為SPF1F211mnsinmn2sincos2222mnsin2tan22，代入式可得Stan23）過雙曲線上異于左右頂點(diǎn)A1、A2兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)P，直線PA1與

6、直線PA2的斜率之積為定值。如圖三：kPA1kPA2b2a2推導(dǎo)：設(shè)P（x，y）則P點(diǎn)滿足雙曲線方程：xy1，移項變式得22a2b21x2a2所以就有y2y2x2b2b2a2a2x2a2a2，代入式可得kPA1kPA2又因為kPAkPBy0y0y2b2xaxax2a2a24）被焦點(diǎn)截的線段倒數(shù)之和=42a通徑b21通徑b21BF如圖四所示：1142aAF(2)過已知兩個點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(mn0，b0)中，離心率e與雙曲線的漸近線a的斜率kb滿足關(guān)系式e21k2.c2a2和e轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍5【知識拓展】巧設(shè)雙曲線方程x2y2x2y2(1)與雙曲線a2b21(a0，b0)有共同漸近線的方程可表示為a2b2t(t0)x2y2mnx2y2ba(2)求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2ca(1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，