內(nèi)蒙古大學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)課件01量子力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

1、 Structural Chemistry結(jié)構(gòu)化學(xué)的研究范圍結(jié)構(gòu)化學(xué)的主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)化學(xué)的發(fā)展歷程結(jié)構(gòu)化學(xué)的研究范圍1. 結(jié)構(gòu)化學(xué)是在原子、分子水平上研究物質(zhì)分子構(gòu)型與組成的相互關(guān)系，原子、分子和晶體的微觀結(jié)構(gòu)2. 原子和分子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律各種運(yùn)動(dòng)的相互影響的化學(xué)分支學(xué)科3. 物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)與其宏觀性能的相互關(guān)系結(jié)構(gòu)化學(xué)的主要內(nèi)容決定反映原子結(jié)構(gòu)（原子中電子的分布和能級）分子結(jié)構(gòu)（化學(xué)鍵的性質(zhì)和分子的能量狀態(tài)）晶體結(jié)構(gòu)（晶胞中分子的堆垛）實(shí)驗(yàn)方法（IR、NMR、UPS、XPS、XRD）結(jié)構(gòu)與性能的關(guān)系（結(jié)構(gòu) 性能）微觀粒子運(yùn)動(dòng)所遵循的量子力學(xué)規(guī)律結(jié)構(gòu)化學(xué)的發(fā)展近代實(shí)驗(yàn)物理方法的發(fā)展和應(yīng)用，為結(jié)構(gòu)化學(xué)

2、提供了各種測定物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)方法； 采用電子技術(shù)、計(jì)算機(jī)、單晶衍射、多晶衍射、原子光譜、 分子光譜、核磁共振等現(xiàn)代手段，積累了大量結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，為歸納總結(jié)結(jié)構(gòu)化學(xué)的規(guī)律和原理作基礎(chǔ)；量子力學(xué)理論的建立和應(yīng)用又為描述分子中電子和原子核運(yùn)動(dòng)狀態(tài)提供了理論基礎(chǔ)。量子化學(xué)中的價(jià)鍵理論、分子軌道理論以及配位場理論等，不但能用來闡明物質(zhì)分子構(gòu)成和原子的空間排布等特征，而且還用來闡明微觀結(jié)構(gòu)和宏觀性能之間的聯(lián)系。由于量子化學(xué)計(jì)算方法的發(fā)展和逐步提高完善，加上高速電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，有關(guān)分子及其不同聚集狀態(tài)的量子化學(xué)方法已有可能用于特殊材料的“分子設(shè)計(jì)”和制備方法的探索，把結(jié)構(gòu)化學(xué)理論推向新的高度。1. 當(dāng)今結(jié)

3、構(gòu)化學(xué)主要研究新構(gòu)型化合物的結(jié)構(gòu)化學(xué)，尤其是原子簇結(jié)構(gòu)化學(xué)和金屬有機(jī)化合物。這一類研究涉及“化學(xué)模擬生物固氮”等在理論研究上極其重要的課題，以及尋找新型高效的工業(yè)催化劑等與工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)息息相關(guān)的應(yīng)用研究課題。2. 結(jié)構(gòu)化學(xué)的信息工程的研究能充分利用電子計(jì)算機(jī)的高速、高效率，充分發(fā)揮結(jié)構(gòu)化學(xué)數(shù)據(jù)庫的作用。有關(guān)方法的建立將對于“分子設(shè)計(jì)”的實(shí)現(xiàn)起著重要的作用。3. 結(jié)構(gòu)化學(xué)已成為一門不但與其他化學(xué)學(xué)科聯(lián)系密切，而且與生物科學(xué)、地質(zhì)科學(xué)、材料科學(xué)等各學(xué)科的研究相互關(guān)聯(lián)、相互配合、相互促進(jìn)。第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)1.1 微觀粒子的運(yùn)動(dòng)特征1.2 量子力學(xué)基本假設(shè)1.3 箱中粒子的Schrdinger方

4、程及其解1.1 微觀粒子的運(yùn)動(dòng)特征 經(jīng)典物理學(xué)遇到了難題 19世紀(jì)末，物理學(xué)理論（經(jīng)典物理學(xué)）已相當(dāng)完善：Newton力學(xué)Maxwell電磁場理論Gibbs熱力學(xué)Boltzmann統(tǒng)計(jì)物理學(xué) 上述理論可解釋當(dāng)時(shí)常見物理現(xiàn)象，但也發(fā)現(xiàn)了解釋不了的新現(xiàn)象。1. 黑體輻射與能量量子化Phenomena that could not be explained by classical physics: I. Black Body Radiation 一個(gè)吸收全部入射線的表面稱為黑體表面。一個(gè)帶小孔的空腔可視為黑體表面。它幾乎完全吸收入射幅射。通過小孔進(jìn)去的光線碰到內(nèi)表面時(shí)部分吸收，部分漫反射，反射光線

5、再次被部分吸收和部分漫反射，只有很小部分入射光有機(jī)會(huì)再從小孔中出來。 圖表示在四種不同的溫度下，黑體單位面積單位波長間隔上發(fā)射的功率曲線。十九世紀(jì)末，科學(xué)家們對黑體輻射實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了仔細(xì)測量，發(fā)現(xiàn)輻射強(qiáng)度對腔壁溫度 T的依賴關(guān)系。 隨溫度增加，E增大，且其極大值向高頻移動(dòng)。Wien（維恩）曲線能量波長實(shí)驗(yàn)曲線Rayleigh-Jeans（瑞利金斯）曲線黑體輻射能量分布曲線Rayleigh-Jeans把分子物理學(xué)中能量按自由度均分原則用到電磁輻射上，按其公式計(jì)算所得結(jié)果在長波處比較接近實(shí)驗(yàn)曲線。Wien假定輻射波長的分布與Maxwell分子速度分布類似，計(jì)算結(jié)果在短波處與實(shí)驗(yàn)較接近。Plancks

6、solution - Blackbody radiationClassical explanation fails even resulting in the color change with T. Also Ultraviolet Catastrophe.Max Planck found empirical formula, which was found to be in complete agreement with dataassuming that oscillators emit electromagnetic radiation in chunks of nhnhc/. Ene

7、rgy absorbed: E= h PlankThe Nobel Prize in Physics 1918 for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions Max Karl Ernst Ludwig Planck Germany Berlin University Berlin, Germany 1858 - 1947 普朗克2. 光電效應(yīng)與光的波粒二象性光電效應(yīng)：光照射在金屬表面，使金屬發(fā)射出電子的現(xiàn)象。Phenomena that could not be

8、explained by classical physics: II.金屬光電子Ek00光電子動(dòng)能與照射光頻率的關(guān)系1. No electrons are ejected, even at high intensities,until a threshold frequency is reached2. When the threshold frequency is reached, electronsare ejected instantly, even at low intensities3. The kinetic energy of the photo-ejected electron

9、 islinearly proportional to the frequency (and thereforeenergy) of the incident lightEinstein光子學(xué)說 1905年，Einstein在Planck能量量子化的啟發(fā)下，提出光子說：光是一束光子流，每一種頻率的光其能量都有一個(gè)最小單位，稱為光子，光子的能量與其頻率成正比：h光子不但有能量，還有質(zhì)量（m），但光子的靜止質(zhì)量為零。根據(jù)相對論的質(zhì)能聯(lián)系定律mc2，光子的質(zhì)量為：mh/c2，不同頻率的光子具有不同的質(zhì)量。光子具有一定的動(dòng)量：pmch/ch/ (c）光的強(qiáng)度取決于單位體積內(nèi)光子的數(shù)目（光子密度）。 將

10、頻率為的光照射到金屬上，當(dāng)金屬中的一個(gè)電子受到一個(gè)光子撞擊時(shí)，產(chǎn)生光電效應(yīng)，光子消失，并把它的能量h轉(zhuǎn)移給電子。電子吸收的能量，一部分用于克服金屬對它的束縛力，其余部分則表現(xiàn)為光電子的動(dòng)能。Ek = h WEinsteinThe Nobel Prize in Physics 1921 for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions Albert Einstein Germany and SwitzerlandKaiser-Wilhelm-Institut (now

11、Max-Planck-Institut) fr Physik Berlin-Dahlem, Germany 1879 - 1955 愛因斯坦Matter Waves3. 實(shí)物微粒的波粒二象性德布羅意此即de Broglie關(guān)系式。Not only does light behave like a particle sometimes, but particles behave like waves! WAVE-PARTICLE DUALITYCombined these two equations: E = mc2and E = hn（1）de Broglie波與光波不同：光波的傳播速度和光子

12、的運(yùn)動(dòng)速度相等；de Broglie波的傳播速度（u）只有實(shí)物粒子運(yùn)動(dòng)速度的一半：v2u。對于實(shí)物微粒：u，Ep2/(2m)(1/2)mv2 ,對于光：c，Epcmc2（2）微觀粒子運(yùn)動(dòng)速度快，自身尺度小，其波性不能忽略；宏觀粒子運(yùn)動(dòng)速度慢，自身尺度大，其波性可以忽略：實(shí)物微粒也有波粒二象性（3）1927年，Davisson和Germer用鎳單晶電子衍射、Thomson用多晶金屬箔電子衍射，分別得到了與X-射線衍射相同的斑點(diǎn)和同心圓，證實(shí)電子確有波性。后來證實(shí)：中子、質(zhì)子、原子等實(shí)物微粒都有波性。 電子衍射示意圖 CsI箔電子衍射圖de Broglie wavelength of a macr

13、oscopic object What is the de Broglie wavelength of a small car moving at highway speeds? Can the wave nature of the car be detected?There is no measurement macroscopic or atomic to resolve 10-38 m. The oscillations cannot be seen. The car does not seem to behave like a wave at all. 實(shí)物微粒波的物理意義Born的統(tǒng)

14、計(jì)解釋Born認(rèn)為，實(shí)物微粒波是幾率波：在空間任一點(diǎn)上，波的強(qiáng)度和粒子出現(xiàn)的幾率成正比。用較強(qiáng)的電子流可在短時(shí)間內(nèi)得到電子衍射照片；但用很弱的電子流，讓電子先后一個(gè)一個(gè)地到達(dá)底片，只要時(shí)間足夠長，也能得到同樣的電子衍射照片。電子衍射不是電子間相互作用的結(jié)果，而是電子本身運(yùn)動(dòng)所固有的規(guī)律性。實(shí)物微粒的波性是和微粒行為的統(tǒng)計(jì)性聯(lián)系在一起的，沒有象機(jī)械波（介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)）那樣直接的物理意義，實(shí)物微粒波的強(qiáng)度反映粒子出現(xiàn)幾率的大小。對實(shí)物微粒粒性的理解也要區(qū)別于服從Newton力學(xué)的粒子，實(shí)物微粒的運(yùn)動(dòng)沒有可預(yù)測的軌跡。一個(gè)粒子不能形成一個(gè)波，但從大量粒子的衍射圖像可揭示出粒子運(yùn)動(dòng)的波性和這種波的統(tǒng)計(jì)

15、性。 空間任意一點(diǎn)處微粒物質(zhì)波的強(qiáng)度與粒子出現(xiàn)在此處的幾率成正比,此即物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)解釋. 德布羅意（Louis Victor de Broglie，1892-1987）法國物理學(xué)家。德布羅意提出的物質(zhì)波假設(shè)。為人類研究微觀領(lǐng)域內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律指明了方向。為了表彰德布羅意，他被授予1929年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。The uncertainty principle1927, Werner HeisenbergIt is impossible to know simultaneously both the momentum and the position of a particle with cer

16、tainty.Heisenberg uncertainty relation4. Heisenberg測不準(zhǔn)原理Time-energy uncertaintySimilar to the momentum-coordinate uncertainty there is an uncertainty relationship between time and energy. Just like the uncertainty between p and x the uncertainty between E and t is a law of nature and not the consequ

17、ence of the imprecise nature of our measurement. Uncertainty of the coordinate of an insectDoes the uncertainty relation contradict to our experience of being able to measure the velocity and the location of an object simultaneously?crawls with a velocity of 10 m/h. velocity with a precision of v=10

18、-2 cm/h. the size of the insect is 1 mm = 10-3 m the mass of the insect is 10-3 g, what is the limit of precision of measurement of the location of the insect allowed by the Heisenberg uncertainty relation? Dp=mDv=10-6kg10-4m/h1h/3600s=2.7810-14mkg/sDxh2Dp=1.0.510-34Js22.7810-14kgm/s210-21m=210-12nm

19、It is impossible to measure the location of a moving object of size 1 mm with such a precision. So the Heisenberg uncertainty relation does not practically limit the measurement of velocity and coordinate even for small (even microscopic) objects. For objects of larger size the limitation is more im

20、possibly weak. 海森伯(W. K. Heisenberg，1901-1976)德國理論物理學(xué)家，他于1925年為量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早的貢獻(xiàn)，而于26歲時(shí)提出的不確定關(guān)系則與物質(zhì)波的概率解釋一起，奠定了量子力學(xué)的基礎(chǔ)，為此，他于1932年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。海森伯 宏觀物體 微觀粒子具有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量 沒有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量可用牛頓力學(xué)描述。 需用量子力學(xué)描述。 有連續(xù)可測的運(yùn)動(dòng)軌道， 有概率分布特性，不可能分可追蹤各個(gè)物體的 辨出各個(gè)粒子的軌跡。運(yùn)動(dòng)軌跡。體系能量可以為任意的、連 能量量子化 。續(xù)變化的數(shù)值。不確定度關(guān)系無實(shí)際意義 遵循不確定度關(guān)系微觀粒子和宏觀物體的特性對比

21、量子力學(xué)的基本假設(shè)，象幾何學(xué)中的公理一樣，是不能被證明的。公元前三百年歐幾里德按照公理方法寫出幾何原本一書，奠定了幾何學(xué)的基礎(chǔ)。二十世紀(jì)二十年代，狄拉克，海森伯，薛定鍔等在量子力學(xué)假設(shè)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了這個(gè)量子力學(xué)大廈。假設(shè)雖然不能直接證明，但也不是憑科學(xué)家主觀想象出來的，它來源于實(shí)驗(yàn)，并不斷被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。 第二節(jié).量子力學(xué)基本假設(shè)1.2.1 The postulate one of quantum mechanics Any state of a dynamical system of N particles is described as fully as is possible by a f

22、unction, ,such that the quantity *d3r is proportional to the probability of finding particles between r and r + d3r one1. 幾率解釋 2. 定態(tài)波函數(shù)：3. 的復(fù)數(shù)形式：4. 波函數(shù)的奇偶性5. 合格波函數(shù)（品優(yōu)波函數(shù)）(1)用波函數(shù)描述的波為幾率波。(2) 由于空間某點(diǎn)波的強(qiáng)度與波函數(shù)絕對值的平方成正比，所以在該點(diǎn)附近找到粒子的幾率正比于*，(3) 幾率：空間某點(diǎn)附近體積元d中電子出現(xiàn)的概率，即*d。(4) 幾率密度：單位體積內(nèi)找到電子的幾率，即*。1. The proba

23、bility interpretation of the wave function 2. 定態(tài)波函數(shù)：不含時(shí)間的波函數(shù)(x,y,z)。本課程只討論定態(tài)波函數(shù)。3. 一般為復(fù)數(shù)形式： fig，f和g均為坐標(biāo)的實(shí)函數(shù)。 的共軛復(fù)數(shù)*fig， *f2g2，因此*是實(shí)函數(shù)，且為正值。為書寫方便，常用2代替*。4. 波函數(shù)(x,y,z)在空間某點(diǎn)取值的正負(fù)反映微粒的波性；波函數(shù)的奇偶性涉及微粒從一個(gè)狀態(tài)躍遷至另一個(gè)狀態(tài)的幾率性質(zhì)（選率）。的性質(zhì)與它是奇函數(shù)還是偶函數(shù)有關(guān)偶函數(shù)： (x,y,z)= (-x,-y,-z) 奇函數(shù)： (x,y,z)= -(-x,-y,-z)5. 合格波函數(shù)（品優(yōu)波函數(shù)）平方

24、可積：即在整個(gè)空間的積分*d應(yīng)為一有限數(shù)，通常要求波函數(shù)歸一化，即*d 1。 單值：即在空間每一點(diǎn)只能有一個(gè)值連續(xù)：即的值不會(huì)出現(xiàn)突躍，而且對x，y，z 的一級微商也是連續(xù)函數(shù)波函數(shù)For every observable property of a system, there exists a corresponding linear hermitian operator, and the physical properties of the observable can be inferred from the mathematical properties of its associat

25、ed operator.1.2.2 The postulate quantum mechanics TWO2. 線性算符：3. 自軛算符：1. 量子力學(xué)算符：1.算符：對某一函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,規(guī)定運(yùn)算操作性質(zhì)的符號(hào)。如：sin，log坐標(biāo)動(dòng)量勢能動(dòng)能：力學(xué)量算符力學(xué)量算符位置 x勢能 V動(dòng)量的x軸分量px動(dòng)能T=p2/2m角動(dòng)量的z軸分量Mzxpyypx總能量E=T+V力學(xué)量與算符的對應(yīng)關(guān)系如下表：H =（h2/82m）2 + V總能 E = T+V線性算符：(c11c22) c11 c2 23. 自軛算符：1*1 d1(1 )*d或1*2 d2(1 )*d量子力學(xué)需用線性自軛算符，目的是使算符對

26、應(yīng)的本征值為實(shí)數(shù)。對于任意品優(yōu)函數(shù)，滿足上式的算符叫軛米算符？勢能算符勢能為實(shí)數(shù)The measurement of a physical observable gives only one of the eigenvalues corresponding to that observable. 1.2.3 The postulate quantum mechanics three該式將數(shù)學(xué)表達(dá)式與實(shí)驗(yàn)測量溝通起來，對該物理量可以進(jìn)行試驗(yàn)測量，也可以計(jì)算，二者結(jié)果相同1. 厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)2. 能量本征方程3. 含時(shí)的本征方程4. 本征函數(shù)正交歸一1. 厄米算符對應(yīng)的本征值是實(shí)數(shù)若 為厄

27、米算符，則對任意函數(shù):2. 能量本征方程一個(gè)保守體系的總能量為3N個(gè)粒子Schrdinger方程能量算符的本征方程，是決定體系能量算符的本征值（體系中某狀態(tài)的能量E）和本征函數(shù)（ 定態(tài)波函數(shù)，本征態(tài)給出的幾率密度不隨時(shí)間而改變）的方程，是量子力學(xué)中一個(gè)基本方程。具體形式為：對于定態(tài)：3.含時(shí)的Schrodinger方程4.厄米算符對應(yīng)的本征函數(shù)是正交的歸一的對于一個(gè)微觀體系，自軛算符給出的本征函數(shù)組1，2，3形成一個(gè)歸一的函數(shù)組。粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的幾率為1。即 i*id1若f1(x),f2(x)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)域(a,b)內(nèi)滿足則函數(shù)f1(x),f2(x)正交正交性可證明如下：設(shè)有 iaii；

28、jajj；而aiaj，當(dāng)前式取復(fù)共軛時(shí)，得：(i)*ai*i*aii*，（實(shí)數(shù)要求aiai*）由于i*jdaji*jd，而 (i)*jdaii*jd上兩式左邊滿足自軛算符定義，故(aiaj)i*jd0，而aiaj i*jd0Kronecker delta態(tài)疊加原理 若1，2 n為某一微觀體系的可能狀態(tài)，由它們線性組合所得的也是該體系可能的狀態(tài)。1. 任意波函數(shù)的展開2. 本征態(tài)的力學(xué)量的平均值3. 非本征態(tài)的力學(xué)量的平均值1.2.4 The postulate quantum mechanics four因?yàn)橐粋€(gè)任意的函數(shù)都可以被一組完整函數(shù)的集合展開組合系數(shù)ci的大小反映i貢獻(xiàn)的多少。例如：

29、為適應(yīng)原子周圍勢場的變化，原子軌道通過線性組合，所得的雜化軌道（sp，sp2，sp3等）也是該原子中電子可能存在的狀態(tài)。設(shè)與1，2 n對應(yīng)的本征值分別為a1，a2，an，當(dāng)體系處于狀態(tài)并且已歸一化時(shí)，可由下式計(jì)算力學(xué)量的平均值a（對應(yīng)于力學(xué)量A的實(shí)驗(yàn)測定值）2. 力學(xué)量的平均值1.2.5 The postulate quantum mechanics fivePauli Theorem在同一原子軌道或分子軌道上，至多只能容納兩個(gè)自旋相反的電子。或者說，兩個(gè)自旋相同的電子不能占據(jù)相同的軌道。Pauli原理的另一種表述：描述多電子體系軌道運(yùn)動(dòng)和自旋運(yùn)動(dòng)的全波函數(shù)，交換任兩個(gè)電子的全部坐標(biāo)（空間坐標(biāo)

30、和自旋坐標(biāo)），必然得出反對稱的波函數(shù)。1.微觀粒子的不可區(qū)分性2.描述電子運(yùn)動(dòng)的完全波函數(shù)3.費(fèi)米子和玻色子4.Pauli 不相容原理5. Pauli 排斥原理(q1,q2)2= (q2,q1) 2 (q1,q2)= (q2,q1)1.微觀粒子具有波性，相同微粒是不可分辨的。2.描述電子運(yùn)動(dòng)的完全波函數(shù)(q1,q2,qn) = (x1,y1,z1,w1,xn,yn,zn,wn)費(fèi)米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子。如，電子、質(zhì)子、中子等。(q1,q2,qn)(q2,q1,qn)倘若q1q2， (q1,q1,q3,qn)(q1,q1,q3,qn) 則 (q1,q1,q3,qn)0，3.費(fèi)米子和玻色子

31、處在三維空間同一坐標(biāo)位置上，兩個(gè)自旋相同的電子存在的幾率密度為零玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子。如，光子、介子、氘、粒子等。(q1,q2,qn)(q2,q1,qn)4. Pauli不相容原理：多電子體系中，兩自旋相同的電子不能占據(jù)同一軌道，即，同一原子中，兩電子的量子數(shù)不能完全相同；5. Pauli排斥原理：多電子體系中，自旋相同的電子盡可能分開、遠(yuǎn)離。一、數(shù)學(xué)函數(shù)復(fù)數(shù)品優(yōu)*=|2= 22dv二、算符運(yùn)算符號(hào)線性厄米本征值是實(shí)數(shù)本征函數(shù)正交歸一(c11c22) c11 c2 2三、本征方程本征函數(shù)（本征態(tài)）-正交歸一函數(shù)完備集本征值四、平均值=2G1,2,3a1,a2,a3死活五、微觀粒子的不

32、可分辨性(q1,q2)2= (q2,q1) 2 (q1,q2)= (q2,q1)處在三維空間同一坐標(biāo)位置上，兩個(gè)自旋相同的電子存在的幾率密度為零1.3 箱中粒子的Schrdinger方程及其解1.3.1 The Particle in a Box1.3.2 受一定勢能場束縛的粒子的共同特征1.3.3 箱中粒子物理量的計(jì)算1.3.4 一維試箱模型應(yīng)用示例1.3.5 量子力學(xué)處理微觀體系的一般步驟1.3.6 三維勢箱中粒子運(yùn)動(dòng)的Schrdinger方程A particle in a one-dimensional region with impenetrable walls. Potential

33、energy is zero between x = 0 and x = L, Rises sharply to infinity at the walls.Since the potential energy has different analytic forms in the three intervals, indicated above, one must solve the Schrodinger equation independently in the three regions and then insure that the conditions of continuity

34、 are satisfied.1.3.1一維勢箱V0 0 xl（區(qū)）V x0，xl（ 、，0）Consider first the regions x 0 and x L. The Schrodinger equation isSince in these regions V(x)=, 1. 阱外we can only satisfy the equation for finite energy, E, if (x)=0. 粒子不可能出現(xiàn)在阱外Consider now the region 0 x L. Since in this interval V(x)=0, the Schrodinge

35、r equation simplifies to2.阱內(nèi)How to solve this equation? 微分方程1. N 階微分方程F(x,y,y,y,.y(n) = 0( 1-x2)y -2xy + sinx cosy =exSupplementary Materials2. 線性齊次微分方程An(x)y(n) + An-1(x)y(n-1) + . + A0(x) y = g(x) 線性微分方程g（x）= 0 則為線性齊次微分方程(x2 + 1)y + cosx y + (ex -1) y = sinx常系數(shù)二階奇次線性微分方程y + py +qy = 0 y=esxs2esx +

36、 psesx + q esx = 0s2 + ps + q = 0 特征方程設(shè)有兩個(gè)不相等的根 s1, s2則上式的通式為 y = c1es1x + c2es2y -3y + 2y = 0Y=c1e2x+c2exs2-3s+2=0Y + py +qy = 0通解： 確定特解 用波函數(shù)“單值、有限、連續(xù)”條件，以及波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的連接條件，在通解中選擇物理上可以接受的特解。根據(jù)品優(yōu)波函數(shù)的連續(xù)性和單值性條件，x0時(shí)，0即 (0)c1cos(0)+c2sin(0)=0， 由此 c1=0 x=l時(shí)，(l)c2sin(82mE/h2)1/2l=0， c2不能為0 (否則波函數(shù)處處為0) 只能是(82m

37、E/h2)1/2l=n n1,2,3, （n0，否則波函數(shù)在X不是L時(shí)也等于零，即處處為0) En2h28ml2 n1,2,3, （能量量子化是求解過程中自然得到的）將c1=0和En2h28ml2 代入（2），得 (x)c2sin(nx/l)C2可由歸一化條件求出，因箱外0，所以 3、本征值與本征函數(shù) 4、討 論 （1）受束縛微觀粒子的能量是量子化的，由量子數(shù)表征. 最低能量狀態(tài)為基態(tài). 每一個(gè)能級有對應(yīng)的波函數(shù). The energy of the particle depends directly on the value of n! En=n2h2/（8ml2）表明：對于給定的n，En與

38、l2成反比,即粒子運(yùn)動(dòng)范圍增大，能量降低.這正是化學(xué)中大鍵離域能的來源(下圖分別是苯和丁二烯大軌道中能量最低的軌道,它們都有離域化特征):從這一規(guī)律定性地看更復(fù)雜的三維體系就不難理解：普通金屬費(fèi)米能級附近的準(zhǔn)連續(xù)能級在納米顆粒中會(huì)變?yōu)殡x散能級，而半導(dǎo)體中本來存在的窄能隙在納米顆粒中會(huì)變寬. 當(dāng)這種能級差大于熱能、電場能或者磁場能時(shí)，就會(huì)呈現(xiàn)出與宏觀物體不同的反常特性，即量子尺寸效應(yīng). 例如，金屬在超微顆粒時(shí)可變成絕緣體，光譜線向短波長方向移動(dòng)，等等.能級差與粒子質(zhì)量成反比，與粒子運(yùn)動(dòng)范圍的平方成反比.這表明量子化是微觀世界的特征.(2). 零點(diǎn)能按經(jīng)典力學(xué)基態(tài)能量為零，按量子力學(xué)零點(diǎn)能為；E1= h2/8ml2 0(3). 相中的粒子的幾率密度是不均勻按經(jīng)典力學(xué)粒子在箱內(nèi)所有位置都一樣，按量子力學(xué)箱內(nèi)各處粒子的幾率密度是不均勻的；The first two wavefunctions and the corresp