統(tǒng)計學基礎（第四版）第四章平均指標與標志變異指標

1、統(tǒng)計學（第4版）目錄CONTENT010302第1章緒論第2章統(tǒng)計調查與整理第3章總量指標與相對指標04第4章平均指標與標志變異指標050706第5章時間數(shù)列第6章統(tǒng)計指數(shù)第7章抽樣推斷0809第8章相關分析與回歸分析第9章Excel在統(tǒng)計分析中的應用第4章平均指標與標志變異指標【學習目標】通過本章的學習，要熟練掌握算術平均數(shù)和調和平均數(shù)的計算方法及各自的應用條件；明晰當數(shù)據(jù)有極端值時如何用眾數(shù)和中位數(shù)來描述現(xiàn)象的一般水平；熟練掌握平均指標的計算與應用條件；區(qū)別哪些指標是平均數(shù)，哪些指標是強度相對數(shù)；運用平均指標和標志變異指標的辯證關系描述總體數(shù)量分布特征，并能作簡要的分析說明。點擊添加文本點

2、擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.1平均指標的意義數(shù)據(jù)的總量描述和對比描述，只是反映了現(xiàn)象的總體規(guī)模、相對水平和總體單位在各組的分布情況，它并沒有反映數(shù)據(jù)的分布規(guī)律和分布的一般水平。因此，若要對總體單位在各組的分布狀況進行全面深刻的認識，還要對它的集中趨勢進行度量，即計算平均指標。1）平均指標的含義平均指標也稱均值或集中趨勢指標，它是反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體單位數(shù)量標志值一般水平的綜合指標。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.1平均指標的意義2）平均指標的作用平均指標可以消除因總體范圍不同而帶來的總體數(shù)量差異，從而使不同的總體具有可比

3、性。同一總體在不同時間上的平均指標可以反映現(xiàn)象總體的發(fā)展變化趨勢。利用平均指標可以分析現(xiàn)象之間的依存關系。平均指標是統(tǒng)計推斷的一個重要參數(shù)。1234平均指標可以作為制定生產(chǎn)定額的重要依據(jù)。5點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.1平均指標的意義3）平均指標的種類平均指標按其反映的時間狀況不同，分為靜態(tài)平均數(shù)和動態(tài)平均數(shù)。（1）平均指標按計算方法不同，分為算術平均數(shù)、調和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。（2）點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.2算術平均數(shù)算術平均數(shù)是平均指標中最重要的一種，一般不特別說明時，所提到的“平

4、均指標”“平均數(shù)”“集中趨勢指標”均是指算術平均數(shù)。其一般計算公式為：算術平均數(shù)=總體標志總量總體單位總量點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.2算術平均數(shù)由于掌握資料不同，算術平均數(shù)可分為簡單算術平均數(shù)和加權算術平均數(shù)兩種。1）簡單算術平均數(shù)簡單算術平均數(shù)適用于未分組的分配數(shù)列，它是將總體各單位同類標志值直接匯總，然后與總體單位總數(shù)相除而求得的。其計算公式為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.2算術平均數(shù)2）加權算術平均數(shù)當資料中被平均的變量值（也稱標志值）重復出現(xiàn)時，如某個變量值x重復出現(xiàn)f次，按照簡單平均法，就要

5、將變量值x乘以f。用這種方法計算的平均數(shù)，稱為加權算術平均數(shù)。其計算公式為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.2算術平均數(shù)3）算術平均數(shù)的數(shù)學性質平均數(shù)是統(tǒng)計學中非常重要的內(nèi)容，因為任何統(tǒng)計推算和統(tǒng)計分析幾乎都離不開平均數(shù)。從統(tǒng)計思想上看，因為平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)偶然性、隨機性特征互相抵消后的穩(wěn)定數(shù)值，所以反映了一組數(shù)據(jù)必然性的特點。平均數(shù)有很多數(shù)學性質，這里只列示其中兩個重要性質。（1）性質一，各個變量值與其算術平均數(shù)離差之和等于零，即：（2）性質二，各個變量值與其算術平均數(shù)離差平方和為最小值，即：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指

6、標分析4.14.1.3調和平均數(shù)調和平均數(shù)也稱倒數(shù)平均數(shù)，它是各個變量值倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)。由調和平均數(shù)的定義可以導出調和平均數(shù)的計算公式，具體步驟為：第一步，計算各個變量值的倒數(shù)，即第二步，計算上述各個變量值倒數(shù)的算術平均數(shù)，即第三步，計算算術平均數(shù)的倒數(shù)，即點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.4幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)是n個變量值連乘積的n次方根。它主要應用于變量值是相對數(shù)，而且這些變量值連乘有意義。例如，連續(xù)生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率、連續(xù)銷售的本利率、連續(xù)儲蓄的本利率和連續(xù)比較的（環(huán)比）發(fā)展速度等，都可以采用幾何平均數(shù)求得其平均指標。因此，幾何平均數(shù)主要應用

7、于計算平均比率和平均速度。幾何平均數(shù)也有簡單幾何平均數(shù)和加權幾何平均數(shù)之分。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.4幾何平均數(shù)1）簡單幾何平均數(shù)簡單幾何平均數(shù)適合資料未分組的條件，其計算公式為：2）加權幾何平均數(shù)加權幾何平均數(shù)適用于資料已分組的條件，其計算公式為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.5中位數(shù)對于非對稱的次數(shù)分布，數(shù)值平均數(shù)不能準確地反映其觀察的中心趨勢，會偏離數(shù)據(jù)的中心。在這種情況下，用位置平均數(shù)來反映集中趨勢較適宜。位置平均數(shù)包括中位數(shù)、眾數(shù)、四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)等，這里我們重點闡述中位數(shù)和眾數(shù)

8、。中位數(shù)就是將數(shù)據(jù)觀察值按大小順序排列，處在中間位置的那個觀察值。中位數(shù)避免了極端值影響，在某些場合比其他平均值更具有代表性。例如，在社會成員收入水平懸殊的地區(qū)，用收入中位數(shù)數(shù)值比用算術平均數(shù)計算平均收入更能反映收入的一般水平。又如，計算一組小學生的平均身高，可以不逐一測量每一個人的身高再加總計算平均數(shù)，而可以按身高排隊，那么處于中間位置的那個同學的身高就是該組同學的平均身高。此外，在工業(yè)產(chǎn)品質量檢查等方面也常用中位數(shù)。計算中位數(shù)的關鍵是確定中位數(shù)的位次，再找到或計算出這個位次的變量值。由于所掌握的資料不同，確定中位數(shù)的方法也有差別。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析

9、4.14.1.5中位數(shù)1）由未分組資料計算中位數(shù)由未分組資料計算中位數(shù)可以直接按照中位數(shù)的定義來確定，即首先將總體各單位變量值按由小到大或由大到小的順序排列起來，形成一個數(shù)列，處在這個數(shù)列中點位置的變量值就是中位數(shù)。中位數(shù)位次計算公式為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.5中位數(shù)2）由分組資料計算中位數(shù)根據(jù)已分組的變量數(shù)列資料計算中位數(shù)，應先計算各組累計次數(shù)，然后依據(jù)公式確定中位數(shù)的位次。累計可由最低組開始，也可由最高組開始。由于變量數(shù)列有單項式變量數(shù)列和組距式變量數(shù)列之分，因此，確定中位數(shù)的方法也不一樣。（1）根據(jù)單項式變量數(shù)列計算中位數(shù)。（2）根據(jù)組

10、距式變量數(shù)列計算中位數(shù)。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.6眾數(shù)眾數(shù)是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值，它能直觀地說明客觀現(xiàn)象分配中的集中趨勢。在實際工作中有時要利用眾數(shù)代替算術平均數(shù)來說明社會經(jīng)濟現(xiàn)象的一般水平。例如，集貿(mào)市場上某種商品一天的價格可能在早、午、晚或大宗、小量交易中有幾次變化，其中成交量最大的那一個價格就是眾數(shù)。又如，在大批量生產(chǎn)的女式皮鞋中，有多種尺碼，其中23.5碼是銷量最多的尺碼，那么23.5碼就是眾數(shù)，它代表女式皮鞋尺碼的一般水平，適合大量生產(chǎn)，而其余尺碼生產(chǎn)量可相應小一些，這樣才能滿足市場上大部分消費者的需要。如果總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的

11、變量值不是一個，而是兩個，就出現(xiàn)復眾數(shù)。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標分析4.14.1.6眾數(shù)1）根據(jù)單項數(shù)列計算眾數(shù)由單項數(shù)列確定眾數(shù)的方法很簡單：觀察次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個變量值就是眾數(shù)。2）根據(jù)組距數(shù)列計算眾數(shù)由組距數(shù)列確定眾數(shù)，其方法也是觀察次數(shù)，但究竟哪個具體值是眾數(shù)，要分兩步確定。首先，根據(jù)最多次數(shù)確定眾數(shù)所在組；其次，用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。其計算公式為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標志變異指標分析4.24.2.1標志變異指標的意義1）標志變異指標的含義要研究統(tǒng)計資料所具有的內(nèi)在規(guī)律，集中趨勢指標的計算是必不可少的過程。集中趨

12、勢指標反映的是數(shù)據(jù)的一般水平，主要測度值是平均數(shù)，它作為全部數(shù)據(jù)的代表值，在統(tǒng)計資料的量度中居于十分重要的位置。對數(shù)據(jù)資料中各單位標志值平均差異程度的測定，實質上就是對各標志值離中程度的測定，這種反映各單位標志值之間差異程度大小的指標，叫標志變異指標，也稱離中趨勢指標。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標志變異指標分析4.24.2.1標志變異指標的意義2）標志變異指標的作用標志變異指標大，說明總體各單位間的標志變異程度大，平均指標的代表性就?。环粗?，標志變異指標小，則平均指標的代表性就大。二者成反比。（1）它可以衡量平均指標代表性的大小標志變異指標大，說明總體各單位間的標志變異程

13、度大，產(chǎn)品質量不穩(wěn)定或不均衡；標志變異指標小，則說明產(chǎn)品質量穩(wěn)定性好或生產(chǎn)的均衡性強。（2）它可以反映社會生產(chǎn)和其他經(jīng)濟活動的均衡性或協(xié)調性的強弱點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標志變異指標分析4.24.2.2全距全距又稱極差，是指在總體各單位標志值中，最大標志值與最小標志值的差額。其計算公式為：全距=最大標志值-最小標志值全距大，表明標志值的變動幅度大，標志變動度大，所對應的平均數(shù)代表性小，或生產(chǎn)均衡性、穩(wěn)定性差；反之，變動幅度小，標志變動度小，所對應的平均數(shù)代表性大，或生產(chǎn)均衡性、穩(wěn)定性強。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標志變異指標分析4.24.2.3平均

14、差平均差是各項標志值與其算術平均數(shù)離差絕對值的算術平均數(shù)。由于各標志值與算術平均數(shù)的離差之和等于零，即 ，各項離差的平均數(shù)也等于零。因此，在計算平均差時，需采用離差的絕對值，即 。平均差能夠綜合反映總體中各單位標志變動的影響。平均差越大，表明標志變動度越大，則平均數(shù)代表性越小；反之，平均差越小，表明標志變動度越小，說明平均數(shù)代表性越大。由于掌握的資料不同，平均差可分為簡單平均差與加權平均差。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標志變異指標分析4.24.2.3平均差1）簡單平均差在資料未經(jīng)分組時，可用簡單平均差來測定標志變動的程度。其計算公式為：2）加權平均差對于經(jīng)過分組的變量數(shù)列，

15、應采用加權平均差來測定標志變動的程度。其計算公式為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標志變異指標分析4.24.2.4標準差標準差是總體各單位的標志值與其算術平均數(shù)離差平方的平均數(shù)的平方根，故又稱均方根差。它是測定標志變動度最主要的方法，標準差的意義與平均差基本相同。它也是各個標志值對其算術平均數(shù)的平均離差，但在數(shù)學處理上與平均差有所不同，它是采用平方的方法來消除離差的正負號，即先求出各個標志值與算術平均數(shù)的離差，再計算各項離差平方，然后計算這些離差平方的算術平均數(shù)，最后再把這個平均數(shù)開方。它也分為簡單平均式與加權平均式兩種形式。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標

16、志變異指標分析4.24.2.4標準差1）簡單平均式根據(jù)未分組資料計算標準差時，運用如下公式：標準差的一般計算步驟為：（1）計算出算術平均數(shù) 。（2）計算出變量值與其算術平均數(shù)的離差 。（3）計算離差平方，并求和，即 。（4）計算算術平均數(shù)，并求方根，即 。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標志變異指標分析4.24.2.4標準差2）加權平均式加權平均式標準差適用于資料已分組的條件，而實際工作中我們面對的資料常常是分組資料。加權平均式標準差計算公式為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標志變異指標分析4.24.2.5標志變異系數(shù)1）標志變異系數(shù)的含義測定總體各單位標志值

17、離中程度主要目的在于考察各單位標志值差異程度的同時，判定該總體的集中趨勢值的集中程度，即確定各單位標志值平均數(shù)的代表性大小。標志變異系數(shù)也稱離散系數(shù)，它是標志變異指標與平均指標之比，是說明變量值變異程度的相對指標。該指標數(shù)值大，則變量值變異程度大，其平均數(shù)代表性小；若該指標數(shù)值小，則變量值變異程度小，其平均數(shù)代表性大。從理論上講，各種標志變異指標均可與平均指標相比計算其相對數(shù)，但由于全距和平均差在使用和計算中存在著局限，因此在實際工作中，更多使用的是標準差系數(shù)。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標志變異指標分析4.24.2.5標志變異系數(shù)2）標志變異系數(shù)的計算標志變異系數(shù)包括平均

18、差系數(shù)和標準差系數(shù)，但由于平均差在計算上有缺陷，通常意義上的標志變異系數(shù)主要是指標準差系數(shù)。標準差系數(shù)是標準差與其算術平均數(shù)之比，用來說明現(xiàn)象標志變異的相對程度。其計算公式為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標與標志變異指標的應用4.34.3.1平均指標測度方法評價前面介紹了五種平均指標測度方法，即數(shù)據(jù)平均指標中的算術平均數(shù)、調和平均數(shù)和幾何平均數(shù)，位置平均指標中的中位數(shù)和眾數(shù)。這五種平均指標各有特點，各有不同的應用范圍，在應用中究竟使用哪一種平均指標來反映現(xiàn)象的平均水平，要根據(jù)占有統(tǒng)計資料的性質、特點及研究目的來確定。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標與標志變異指標的應用4.34.3.1平均指標測度方法評價1）算術平均數(shù)、調和平均數(shù)、幾何平均數(shù)之間的關系如果單純從數(shù)量關系上考察算術平均數(shù)、調和平均數(shù)和幾何平均數(shù)，我們會發(fā)現(xiàn)，若根據(jù)同一資料計算三種平均數(shù)，其計算結果會有以下關系：調和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術平均數(shù)只有在資料中所有的變量值都相等時，即當x1=x2=xn時，所計算的三種平均數(shù)才有相等關系，即：調和平均數(shù)=幾何平均數(shù)=算術平均數(shù)而在實際生活中，所有變量值都