羅爾拉格朗日中值定理課件

1、羅爾拉格朗日中值定理課件羅爾拉格朗日中值定理課件第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分本次學(xué)習(xí)要求：熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理，并能較好運(yùn)用上述定理解決有關(guān)問題（函數(shù)方程求解、不等式的證明等）。2第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分本次學(xué)習(xí)要求：4第五節(jié) 微分中值定理第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一. 費(fèi)馬定理二. 羅爾中值定理三. 拉格朗日中值定理四. 柯西中值定理3第五節(jié) 微分中值定理第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一. 費(fèi)費(fèi)馬定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理 微分中值定理4費(fèi)馬定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義為即函數(shù)在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)等于時(shí),

2、 函數(shù)的極限值.在點(diǎn) x 處的差商導(dǎo)數(shù)與差商5函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義為即函數(shù)在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)等于時(shí), 函數(shù)的極 我們常常需要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所給出的局部的或“小范圍”性質(zhì), 推出其整體的或“大范圍”性質(zhì). 為此, 我們需要建立函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式, 這些關(guān)系式稱為“微分學(xué)中值定理”. 這些中值定理的創(chuàng)建要?dú)w功于費(fèi)馬、拉格朗日、柯西等數(shù)學(xué)家.6 我們常常需要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所給出8首先, 從直觀上來看看“函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式”是怎么一回事.7首先, 從直觀上來看看“函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式導(dǎo)數(shù)與差商相等！8導(dǎo)數(shù)與差商相等！10將割線作平行移動, 那么它至少有一次會達(dá)

3、到這樣的位置：在曲線上與割線距離最遠(yuǎn)的那一點(diǎn)P 處成為切線, 即在點(diǎn)P 處與曲線的切線重合. 也就是說, 至少存在一點(diǎn)使得該命題就是微分中值定理.9將割線作平行移動, 那么它至少有一次會達(dá)到這樣的位置：在曲線極值的定義10極值的定義12一. 費(fèi)馬定理 可微函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零.定理11一. 費(fèi)馬定理 可微函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值的必要費(fèi)馬定理的幾何解釋 如何證明？12費(fèi)馬定理的幾何解釋 如何證明？14則有于是（極小值類似可證）證如何保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值？13則有于是（極小值類似可證）證如何保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值？1但是不保證在內(nèi)部！14但是不保證在內(nèi)部！16

4、水平的可保證在內(nèi)部一點(diǎn)取到極值15水平的可保證在內(nèi)部一點(diǎn)取到極值17二. 羅爾中值定理設(shè)則至少存在一點(diǎn)定理16二. 羅爾中值定理設(shè)則至少存在一點(diǎn)定理18 實(shí)際上, 切線與弦線 AB 平行.17 實(shí)際上, 切線與弦線 AB 平行.19最小值至少各一次.證18最小值至少各一次.證20最小值至少各一次.由費(fèi)馬定理可知：19最小值至少各一次.由費(fèi)馬定理可知：21例1證其中,20例1證其中,22綜上所述,21綜上所述,23連續(xù)可微端點(diǎn)函數(shù)值相等例2分析22連續(xù)可微端點(diǎn)函數(shù)值相等例2分析24例2證由羅爾定理, 至少存在一點(diǎn)23例2證由羅爾定理, 至少存在一點(diǎn)25 分析問題的條件, 作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵

5、 .24 分析問題的條件, 作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵 且滿足羅爾定理其它條件,例3證25且滿足羅爾定理其它條件,例3證27想想, 看能不能找到證明的方法.例4分析26想想, 看能不能找到證明的方法.例4分析28例4證則由已知條件可知:27例4證則由已知條件可知:29該矛盾說明命題為真 .如果使用一次羅爾定理后, 能否再一次使用羅爾定理?如果需要, 當(dāng)然可以使用.28該矛盾說明命題為真 .如果使用一次羅爾定理后, 能否再一次使例5證29例5證31例6證30例6證32三. 拉格朗日中值定理設(shè)則至少存在一點(diǎn)定理31三. 拉格朗日中值定理設(shè)則至少存在一點(diǎn)定理33 切線與弦線 AB 平行如何利用羅爾定理

6、來證明？32 切線與弦線 AB 平行如何利用羅爾定理來證明？34則由已知條件可得：故由羅爾定理, 至少存在一點(diǎn)證33則由已知條件可得：故由羅爾定理, 至少存在一點(diǎn)證35定理的證明方法很多, 例如, 可作輔助函數(shù)拉格朗日有限增量公式34定理的證明方法很多, 例如, 可作輔助函數(shù)拉格朗日有限增量某一時(shí)刻達(dá)到它的平均速度.拉格朗日中值定理告訴我們, 在 t=a 到t=b 的時(shí)間段內(nèi), 連續(xù)運(yùn)動的物體至少會在35某一時(shí)刻達(dá)到它的平均速度.拉格朗日中值定理告訴我們, 在 t還有什么？36還有什么？38推論 137推論 139推論 2( C 為常數(shù) )38推論 2( C 為常數(shù) )40推論 3 用來證明一

7、些重要的不等式39推論 3 用來證明一些重要的不等式41推論 4 用來判斷函數(shù)的單調(diào)性40推論 4 用來判斷函數(shù)的單調(diào)性42在推論 4 中, 41在推論 4 中, 43推論 5則再由推論 4 , 即得命題成立 . 該推論可以用來證明不等式.證42推論 5則再由推論 4 , 即得命題成立 . 該推論可以用解例743解例745故從而例8證44故從而例8證46例9證45例9證47例10證延拓!46例10證延拓!48例11證從而47例11證從而49例12解48例12解50例13解49例13解51又故從而即例14證50又故從而即例14證52則又且故即例15證51則又且故即例15證53 在拉格朗日中值定理

8、中, 將曲線用參數(shù)方程表示 , 會出現(xiàn)什么結(jié)論？52 在拉格朗日54使曲線在該點(diǎn)的切線與弦線平行, 即它們的斜率相等.注意:并不具備任意性,它們間的關(guān)系由曲線確定.53使曲線在該點(diǎn)的切線與弦線平行, 即它們的斜率相等.注意:并不作業(yè)139 6, 854作業(yè)139 6, 856練習(xí)1. 證明方程有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證: 1) 存在性 .則在 0 , 1 連續(xù) ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)55練習(xí)1. 證明方程有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證: 1)2. 設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知, 只需證即驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)562. 設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,備用題求