立體幾何中求角的問題

1、11立體幾何中求角的問題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角的概念；2、會尋找異面直線所成的角，結(jié)構(gòu)簡單的直線與平面所成的角，二面角的平面角3、會已知角求角問題中準(zhǔn)確計算。二、知識梳理線線角與線面角異面直線所成的角定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點0作直線a7/a,b/b,把a(bǔ)與b所成的叫做異面直線a與b所成的角或夾角）.范圍：_直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的,叫做這條直線和這個二面角的平面角如圖，過二面角al-0的棱l上一點0在兩個半平面內(nèi)分別作B0丄lAO丄l則就叫做二面角*卜0的平面角.二面角的范圍設(shè)二面角的

2、平面角為Q則茨4當(dāng)吐n時，二面角叫做三、問題自查異面直線所成的角概念清楚嗎？你會尋找異面直線所成的角？（平移一線來構(gòu)造異面直線所成角）如：正方體ABCDA1B1C1D中，E為AB的中點，則異面直線DACAEBDB與EC所成角的余弦值是（）廊D45DACAEB直線與平面所成的角的概念清楚嗎？你會尋找直線與平面所成的角？基本方法：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面如：(1)四面體P-ABC中，PA平面ABC,ABBC，如何確定過點A作面PBC的垂線的垂足?找出直線PB與平面ABC所成的角？PA與平面PBC所成的角?、四面體P-ABC中，PA平面ABC,ABAC，

3、如何確定過點A作面PBC的垂線的垂足?、四面體P-ABC中，PA平面ABC,ABAC，如何確定過點A作面PBC的垂線的垂足?找出直線PB與平面ABC所成的角？PA與平面PBC所成的角？3.二面角的平面角的概念清楚嗎？你會尋找二面角平面角？大致可歸納為以下幾種類型：(1)根據(jù)平面角的定義找出二面角的平面角;(2)根據(jù)三垂線定理或者逆定理找出二面角的平四、例題和變式考點1：求異面直線所成角(方法1、平移法；2、補(bǔ)全法；3、向量夾角法)例1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3,AD=2,PA=2,匚ZPAB=60(I)證明AD丄平面PAB；)求異面直線PC與AD所成的角的

4、正切值;（選題意圖：訓(xùn)練學(xué)生掌握平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過2，2，CCC11,則異面直線與C所成角的余弦值為（）罷A.-2B-于D.f變式1.【2017課標(biāo)II理10】已知直三棱柱CF中,C120，（選題意圖：通過將直三棱柱補(bǔ)成四棱柱ABCDA1BC1D1，再平移到相交求夾角。）方法歸納：1、平移一線來構(gòu)造異面直線所成角求解步驟是：第一步：確定角的頂點，一般先從兩條異面直線段的四個端點中的一個或幾何體其他線的中點第二步：確定平移平面，往往以所做的角的頂點和欲平移直線所確定的平面為平移平面。（對于直棱柱，尤其是長方體、正方體內(nèi)異面直線所成角的問題，可以采用補(bǔ)形的辦法

5、進(jìn)行平移線段，這種方法既直觀又便于計算）第三步：解三角形2、求異面直線所成角時，易求出余弦值為負(fù)值而盲目得出答案而忽視了夾角范圍為n0,G。當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.考點2：求線面角、二面角=16BC=10AA1=8點E，=16BC=10AA1=8點E，F(xiàn)分別在AB,Af=DF=4過點E，F(xiàn)的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；作出直線AF與平面ABCD所成的角；并說明理由。作出直線AF與平面a所成的角；并求出該線面角的如圖，長方體ABCDA

6、1B1C1D1中，ABDe上，1（1）1（2）（3）大小。（選題意圖：加強(qiáng)學(xué)生對角的概念理解，特別是直線與平面二面角的平面角）變式2、(2016年全國II高考)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,5AB5，AC6,點E,F分別在AD,CD上,AECF才，EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF位置，OD10.證明：DH平面ABCD；求二面角BDAC的正弦值.考點3：已知角求角例3.【2017課標(biāo)理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBC2AD,BADABC90。，E是PD的中點。2證明：直線CE/平面PAB;點M在棱PC上,且直線BM與

7、底面ABCD所成角為45。，求二面角MABD的變式3、(2016年四川高考)如圖，在四棱錐PABCD中，AD/BC，ADCPAB90，BCCD2ad,E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90A(I)在平面PAB內(nèi)找一點M,使得直線CMA(I)在平面PAB內(nèi)找一點M,使得直線CM/平面PBE,并說明理由；(II若二面角PCDA的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.變式4、(2016年全國I高考)如圖，在以A，B，C,正方形，AF=2FD，AFD90，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60.O求二面角E-BC-A的余弦值.D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEFD，

8、E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為其中B與C在平面AAOO1的同側(cè)。1、(2016年上海高考)將邊長為1的正方形其中B與C在平面AAOO1的同側(cè)。求三棱錐C0,”的體積；求異面直線Bp與AA所成的角的大小?！窘馕觥吭囶}分析：(1)由題意可知，圓柱的高h(yuǎn)1,底面半徑r1.確定3.計算S后即得.1112)設(shè)過點1的母線與下底面交于點，根據(jù)1/1，知C1或其補(bǔ)角為直線確定3.計算S后即得.1112)設(shè)過點1的母線與下底面交于點，根據(jù)1/1，知C1或其補(bǔ)角為直線1C試題解析:(1)由題意可知，圓柱的高h(yuǎn)1,底面半徑r1與1所成的角.確定C3,C1.得出C11113S1sin11121111由的長為m

9、，可知11141s122)設(shè)過點1的母線與下底面交于點，則1/1所以C1或其補(bǔ)角為直線1C與1所成的角由c長為+，可知111所以111所以從而C為等邊二角形，得C1.因為1平面C，所以1C在C1中，因為ic在C1中，因為ic2，C1，所以c從而直線F與所成的角的大小為才.2、(2016年天津高考)如圖，正方形ABCD的中心為0，四邊形0BEF為矩形，平面0BEF丄平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.(I)求證:EG/平面ADF;(II求二面角0dEF的正弦值；2(I5設(shè)H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.【解析】(I)證明：找到AD中點I，連結(jié)F

10、I,矩形OBEF,EF丄OB.G、I是中點，GI是厶ABD的中位線GI/BD且GID2O是正方形ABCD中心.0B-BD2.EF/GI且EF=GI四邊形EFIG是平行四邊形EG/FIFI面ADFEG/面ADF(II)0EFC正弦值解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系0 xyzB0,v2,0,C2,0,0,E0,v2,2,F0,0,2設(shè)面CEF的法向量片x,y,znEFx,y,z0,v2,02y0inCF.x,y,z-;2,0,2、;2x2z0*xx得：y0z1nl、；2,0,1OC面OEF,面OEF的法向量n21,0,0InnJ岡COSn得：y0z1nl、；2,0,1OC面OEF,面OEF的法向量n

11、21,0,0InnJ岡COSn,n1P2-12麗山63Sinn，n12(111)加一訓(xùn)卩322=AHAF2,0,25514設(shè)皿X,yAHx2,y,z2違4,0,55得：3V25045BHcosBH，n2bh|bh213、(2018全國卷2.20.)如圖，在三棱錐P5ABC中,ABBC2七,PAPBPCAC4，O為AC的中點.證明：PO平面ABC;若點M在棱BC上，且二面角MPAC為30,求PC與平面PAM所成角的正弦值.CC3.(12分)解：(1)因為APCPAC連結(jié)O解：(1)因為APCPAC連結(jié)OB.因為ABBC空2且OBAC，OB1AC:2由OP2OB2PB2知po”由OPOB,OPAC

12、知POOB平面ABC.AC，所以ABC為等腰直角三角形,4,0為AC的中點，所以O(shè)PAC,且OP2、密.uuur(2)如圖，以0為坐標(biāo)原點，0B的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系0 xyz.uur由已知得O(0,0,02(2,0,0)A(0,2,0)C(0,2,0：P(0,0,23),AP(0,2,23),取uuur平面PAC的法向量OB(2,0,0)uuur設(shè)M(a,2a,0)(0a2)，則AM(a,4a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n(x,y,z).uuuruuur由APn0,AMn0得2yax2；3：）y0O,可取“馬（a4）伍a)，juur所以cos；OB,n2j3(a4)由已知得

13、|cosOB2：3(a4)23a2a2uur3心1-y4|所以2&(a4)23a2a2.解得a4（舍去），a4uur3又PC(2,滴.uurcOPC所所以pc與平面PAM所成角的正弦值為f答案：例1在IUD在IUD巾PD）用可得,PA2IAD2-PI?2,F斤丄,在矩卅一丄丘二0中：山）丄釦n4P-A.所以為I平面P止0。由題設(shè).SCJ/AD.所以疋円存杲異向盲踐此三i知所成射田。PAB4由全耳玄京爭得.PE4.WJ-2P.4.4Hccb眉,由知-心L平面PAB,FBCZ平面PAH,所以XZJLPB,囚而BCPBT是厶只比是直呈二角衛(wèi)；:故心心=囂=普所I；信面亙知心4所為甬笊正唯為0出C：2

14、XAH-X出C：2XAH-XAD:,1)*匚1方空一袴.記.陵AABC-ABtC補(bǔ)形為1L縷已A/.Jj-A：刃：門門：綁牢皆示，連人SADB,Di，BD.由題tZABC=120w=mc-i,折l?AD.Bf.l/21在AMD中由余強(qiáng)定理知,BD2-警+12X2X1Xcos60=3，所八門=馱冷；I-/T.匯加S：方九門護(hù)辰?兀即詁人R.BCI所咸的角0、門ABf+ADf-BjD；片訂：口一-丄11-_-S4-2j-./.(2X応X、遼、:;J喪選匕方法二以B為坐標(biāo)原點G所在的直線為才軸，垂直于BiCi的直線為$軸，BB)所在的直線為之軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示*由已知條件知Bi(0,0,

15、0)嚴(yán)(0,0,1,G(0),(-1,73,1),則祐=(i,o,_i),就=g,-7|所以cos就花=翌竺IABiHBGI_2_71075X25所以異面直線ABj與EG所成角的余弦值為字.故選C.例2解；T交我用成的_7jEIIGF2D：()作EM_A=垂丘為一則=4=斗昴=】2：EM=A=8:因訶是正月總所鳳F.rf=F.F=JlC：=.干旱朋=J刃廠附：=0砧=1丄胡?=百天法*右體神平旨/令戒兩八過F作FPDC,平面DCCD平面ABCD于DC,FP平面ABCD,連接AP,FAP直線11AF與平面ABCD所成的角;過A作AQEH,平面平面ABB占于EH,AQ平面，連接FQ,FAP直線AF

16、與平面ABCD所成的角；AFQ直線AF與平面a所成的角.門惟珈丄直於，垂足為耐AM=AtE4rEM“尹.因為EHGF囂玉方羽，=于是捆h亠EM：6-r所以AHa10LUD為即&f也點.血的方向為$軸疋方向*理蟲如風(fēng)新示的空間曲相蚩標(biāo)系一加.則制oaoxuoao),EpQ,4.g)f嘉8),匝三+旋二.-IOr=Oh,切卄軽-0,段n-g.和詁平血EHGF的法向IOr=Oh,切卄軽-0,疥以可取Z4J).J7所以AF呵平齒EHGF所成曲的LliSfiSt興、gAECFADCDEFAECFADCDEFIIAC四邊形ABCD為菱形，ACBDEFBD，EFDH，EFAC6，AO3；又AB5，AOOB，

17、OB4，OHAEODAO1，DHDH3，0D2OH2|d，hI2DHOH又OHIEFH9DH面ABCDD5變式2:【解析】(1)證明：AECF54建立如圖坐標(biāo)系HxyzHB5，0，0，C1，3，0，D0，0，3，A1，3，0，AB4,3,0,AB4,3,0,AD133,AC060,設(shè)面ABD法向量片x，y，z,nAB由1nAD1nAB由1nAD10得4xx3y03y3z0，取.n3,4,51同理可得面ADC的法向量n2N。，1,7525ururnn|cos7525lnJln2lsinsin2*9525例3【答案】(1)取PA的中點F，連結(jié)EF,BF。因為E是PD的中點，所以EF/AD,EF1A

18、D，由BADABC90得BC/20AD,又BC*AD，所以EF叢BC。四邊形BCEF為平行四邊形，CE/BF。又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE/平面PAB。(2)由已知得BAAD，以A為坐標(biāo)原點，AB的方向為x軸正方向，AB為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,X則A0,0,0,B1,0,0,C1,1,0,P0,1,3,PC(10v3),AB(0,0),X設(shè)Mx,y,z0 x1則BMx1,y,z,PM-x,y1,z+3,因為BM與底面ABCD所成的角為45而n-0,0,1是底面ABCD的法向量,zx12y2z2sin45，所以cos(BM,nj又M在棱PC上，設(shè)PMPC,則由

19、，解得y=1zx12y2z2sin45，所以cos(BM,nj又M在棱PC上，設(shè)PMPC,則由，解得y=1，舍去),6z=_2y=1z科所以M1g2,從而就=1電2,1,g6.設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量，則mM=0(2-J2)x+2y+p6z=0m住=0即x0=0所以可取m=(0,V6,2).mnI：10于疋cosm，n=|=5.因此二面角M-AB-）的余弦值為琴0變式3【解】（I）延長AB，交直線CD于點M,E為AD中點，AEED=1AD,2/BCCD=1AD,2EDBC，AD/BC即ED/BC，四邊形BCDE為平行四邊形，BE/3D,.ABCDM,MCD，CM/BE，BE面PBE，CM/面PBE，MAB，AB面PAB，II）過A作AFEC交EC于點F，連結(jié)PF，過A作AGPFII）過A作AFEC交EC于點F，連結(jié)PF，過A作AGPF交PF于點G，/ZPAB90。，PA與CD所成角為90,TOC o 1-5 h zPAAB，PACD，/AMICD=M，PAABCD，EC面ABCD，PAEC，/ECAF且A