蘇教版九年級下冊數(shù)學(用相似三角形解決問題-知識點整理及重點題型梳理)(提高)

1、蘇教版九年級下冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習用相似三角形解決問題知識講解（提高） 【學習目標】1.以分析實際例子為背景，認識平行投影和中心投影的基本概念與性質；2.通過典型實例認識現(xiàn)實生活中物體的相似，能運用圖形相似的知識解決一些簡單的實際問題（如何把實際問題抽象為數(shù)學問題）.【要點梳理】要點一、平行投影1.一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣在平行光的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為平行投影.由此我們可得出這樣兩個結論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽

2、光下，它們的影子一樣長.(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.2. 物高與影長的關系（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西西北北東北東，影長也是由長變短再變長.（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.即：利用上面的關系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.要點詮釋：1平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識解

3、題要分清不同時刻和同一時刻.2物體與影子上的對應點的連線是平行的就說明是平行光線.要點二、中心投影若一束光線是從一點發(fā)出的，在點光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影.這個“點”就是中心，相當于物理上學習的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應地，我們會得到兩個結論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.在中心投影的情況下，還有

4、這樣一個重要結論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.要點詮釋： 光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側.要點三、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線、月光等，而中心投影是從一點發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點發(fā)射出來的光線.（2）在平行投影中，同一時刻改變物體的方向

5、和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.2.區(qū)別：（1）太陽光線是平行的，故太陽光下的影子長度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.（2）同一時刻，太陽光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要點詮釋：在解決有關投影的問題時必須先判斷準確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點進一步解決問題.要點四、相似三角形的應用1.測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一

6、時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.【課程名稱：相似三角形的性質及應用 394500：應用舉例及總結】要點詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法 影子測量法 手臂測量法 標桿測量法2.測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構造如下兩種相似三角形求解。 1如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質，求出AB的長. 2如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質計算AB的長. 要點詮釋：1比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺=；2太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線在同一時刻，兩物體影子之比等于其

7、對應高的比；3視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）；4. 仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角【典型例題】類型一、投影的應用1（2015秋寶安區(qū)月考）如圖，AB是公園的一圓形桌面的主視圖，MN表示該桌面在路燈下的影子；CD則表示一個圓形的凳子（1）請你在答題卡中標出路燈O的位置，并畫出CD的影子PQ（要求保留畫圖痕跡，光線用虛線表示）；（2）若桌面直徑和桌面與地面的距離均為1.2m，測得影子的最大跨度MN為2m，求路燈O與地面的距離【思路點撥】（1）延長MA、NB，它們的交點即為路燈O的位置，然后再連結OC、OD，并延長交地面與P、Q點，則PQ為CD的影子；（2）

8、作OFMN交AB于E，如圖，AB=1.2m，EF=1.2m，MN=2m，證明OABOMN，利用相似比計算出OF即可得到路燈O與地面的距離【答案與解析】解：（1）如圖，點O和PQ為所作；（2）作OFMN交AB于E，如圖，AB=1.2m，EF=1.2m，MN=2m，ABMN，OABOMN，AB：MN=OE：OF，即1.2：2=（OF1.2）：OF，解得OF=3（m）答：路燈O與地面的距離為3m【總結升華】本題考查了中心投影：由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影中心投影的光線特點是從一點出發(fā)的投射線物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關系也考查了相似三角形的判定與性質舉一反三

9、【變式】某一廣告墻PQ旁有兩根直立的木桿AB和CD，某一時刻在太陽光下，木桿CD的影子剛好不落在廣告墻PQ上，（1）你在圖中畫出此時的太陽光線CE及木桿AB的影子BF；（2）若AB=6米，CB=3米，CD到PQ的距離DQ的長為4米，求此時木桿AB的影長【答案】解：（1）如圖所示：（2）設木桿AB的影長BF為x米，由題意，得=，解得x=答：木桿AB的影長是米2如圖，身高1.6米的小明從距路燈的底部（點O）20米的點A沿AO方向行走14米到點C處，小明在A處，頭頂B在路燈投影下形成的影子在M處（1）已知燈桿垂直于路面，試標出路燈P的位置和小明在C處，頭頂D在路燈投影下形成的影子N的位置（2）若路燈

10、（點P）距地面8米，小明從A到C時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？【答案與解析】解：（1）如圖 （2）設在A處時影長AM為x米，在C處時影長CN為y米由，解得x=5，由，解得y=1.5，xy=51.5=3.5變短了，變短了3.5米【總結升華】本題考查了中心投影以及相似三角形的應用，讀懂題目信息，列出兩個影長的表達式是解題的關鍵類型二、相似三角形的應用3. 如圖，一條4m寬的道路將矩形花壇分為一個直角三角形和一個直角梯形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可知這條道路的占地面積為 m2【思路點撥】作DEAC于點E，根據(jù)DAE+BAE=90，DAE+ADE=90，得到BAE=ADE，從而得到DAE

11、ACB，利用相似比求得AB的長，進而利用平行四邊形的面積公式求解即可【答案與解析】解：如圖，作DEAC于點E，道路的寬為4m，DE=4m，AD=5mAE=3mDAE+BAE=90，DAE+ADE=90，BAE=ADEDAEACB=即：解得：AB=16，道路的面積為ADAB=516=80（m2）【總結升華】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是構造相似三角形進而求得線段AB的長4.（2014杭州模擬）“未愛廣場”旗桿AB旁邊有一個半圓的時鐘模型，如圖，時鐘的9點和3點的刻度線剛好和地面重合，半圓的半徑2米，旗桿的底端A到鐘面9點刻度C的距離為5米，一天小明觀察到陽光下旗桿頂端B的影子剛好投到時

12、鐘的11點的刻度上，同時測得一米長的標桿的影長1.6米，求旗桿AB的高度？ 【答案與解析】解：如圖，過點D作DEAC于E，作DFAB于F，設半圓圓心為O，連接OD，點D在11點的刻度上，COD=60，DE=OD=2=，OE=OD=2=1，CE=21=1，DF=AE=5+1=6，同時測得一米長的標桿的影長1.6米，=，BF=，AB=BF+DE=（+）米【總結升華】本題考查了相似三角形的應用，作輔助線構造出直角三角形和矩形是解題的關鍵舉一反三【變式】如圖1是小紅家陽臺上放置的一個曬衣架，如圖2是曬衣架一端橫切面的示意圖，立桿AB、CD相交于點O，B、D兩點立于地面，經(jīng)測量；AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，此時扣鏈EF成一條線段，EF=32cm（1）求證：ACBD（2）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達到122cm，垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由【答案】（1）證明：證法一：AB、CD相交于點O，AOC=BODOA=OC，OAC=OCA=（180BOD），同理可證：OBD=ODB=（180BOD），OAC=OBD，ACBD，證法二：AB=CD=