統(tǒng)計學(xué)原理（第七版）第五章平均指標(biāo)和變異指標(biāo)

1、統(tǒng)計學(xué)原理（第七版）目錄CONTENT010302第一章總論第二章統(tǒng)計設(shè)計和統(tǒng)計調(diào)查第三章統(tǒng)計整理04第四章總量指標(biāo)和相對指標(biāo)050706第五章平均指標(biāo)和變異指標(biāo)第六章動態(tài)數(shù)列第七章統(tǒng)計指數(shù)0809第八章抽樣調(diào)查與推斷第九章相關(guān)與回歸分析1011第十章統(tǒng)計預(yù)測第十一章統(tǒng)計綜合分析第五章平均指標(biāo)和變異指標(biāo)【內(nèi)容提要】本章包括平均指標(biāo)和變異指標(biāo)兩部分內(nèi)容，闡述了平均指標(biāo)的概念和作用；各種平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)）的計算原則、方法與應(yīng)用條件；變異指標(biāo)的作用、主要變異指標(biāo)（全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差及其系數(shù)）的計算方法和運(yùn)用條件。01 PART ONE第一節(jié)平均指標(biāo)的概念和作

2、用點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標(biāo)的概念一在社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的同質(zhì)總體中，同一標(biāo)志在各單位的數(shù)量表現(xiàn)不盡相同，標(biāo)志值大小各異，這就需要利用平均指標(biāo)來代表總體的一般水平?？傮w各單位的同質(zhì)性和某種標(biāo)志值在各單位的差異性，是計算平均指標(biāo)的前提條件。平均指標(biāo)，是將同類社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志值的差異抽象化的代表性水平指標(biāo)，其數(shù)值表現(xiàn)為平均數(shù)。平均指標(biāo)一般是一種具有單位名稱的數(shù)，它的計算單位是一個復(fù)合單位。平均指標(biāo)是社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計中最常用的綜合指標(biāo)之一。平均指標(biāo)的顯著特點是，把同質(zhì)總體內(nèi)各單位在某一數(shù)量標(biāo)志值上的差異抽象化了，是對各單位具體數(shù)值的平均；它不是某一單位的具體數(shù)

3、值，而是代表總體某種數(shù)量標(biāo)志值的一般水平，是總體各單位的代表值。需要注意的是，掩蓋總體內(nèi)部各單位某種數(shù)量標(biāo)志值的差異，是平均數(shù)的局限性，必須充分認(rèn)識，以防誤用。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本平均指標(biāo)的作用二平均指標(biāo)由于能綜合反映所研究現(xiàn)象的總體在具體條件下的一般水平，因此，在統(tǒng)計研究中，以及各項經(jīng)濟(jì)管理和分析中被廣泛應(yīng)用。其作用概括起來主要有：利用平均指標(biāo)，可以了解總體次數(shù)分布的集中趨勢。利用平均指標(biāo)，可以對若干同類現(xiàn)象在不同單位、地區(qū)間進(jìn)行比較研究。利用平均指標(biāo)，可以研究某一總體某種數(shù)值的平均水平在時間上的變化，說明總體的發(fā)展過程和趨勢。利用平均指標(biāo)，可以分析現(xiàn)象之間的依存

4、關(guān)系。1234平均指標(biāo)可作為某些科學(xué)預(yù)測、決策和某些推算的依據(jù)。502 PART TWO第二節(jié)算術(shù)平均數(shù)點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本算術(shù)平均數(shù)的基本形式一算術(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計中最基本、最常用的一種平均數(shù)。它的基本計算形式是用總體的單位總數(shù)去除總體的標(biāo)志總量。算術(shù)平均數(shù)的基本計算公式是：在社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，總體的標(biāo)志總量常是總體單位標(biāo)志值的算術(shù)總和。例如工人工資總額是各個工人工資的總和；糧食總產(chǎn)量是各塊地播種面積產(chǎn)量的總和等。在掌握了標(biāo)志總量和總體單位總數(shù)的資料后，就可以按照公式5-1計算算術(shù)平均數(shù)。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相對指標(biāo)的種類和計算方法二（一）簡

5、單算術(shù)平均數(shù)如果所掌握的資料是沒有經(jīng)過統(tǒng)計分組的總體各單位的標(biāo)志數(shù)值，則先將這些標(biāo)志值相加得出標(biāo)志總量，再用總體單位總數(shù)去除，就得出算術(shù)平均數(shù)。這樣計算出來的算術(shù)平均數(shù)稱為簡單算術(shù)平均數(shù)。其計算公式為：用符號表示為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本相對指標(biāo)的種類和計算方法二（二）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)有時我們研究的統(tǒng)計總體包括許多單位，其中有些單位的標(biāo)志值相同，另一些單位的標(biāo)志值不同。在這種情況下，就需要首先對總體各單位的標(biāo)志值進(jìn)行分組，編成單項變量數(shù)列或組距變量數(shù)列，再用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法計算平均數(shù)。我們可歸納出計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的一般公式為：用符號表示為：點擊添加文本點擊添加文本

6、點擊添加文本點擊添加文本算術(shù)平均數(shù)的幾個重要數(shù)學(xué)性質(zhì)三從平均數(shù)的代數(shù)公式中，產(chǎn)生了平均數(shù)的一系列性質(zhì)。為了在實際工作中能夠更好地計算、應(yīng)用和分析平均數(shù)，必須了解這些性質(zhì)。這些性質(zhì)不單是平均數(shù)形式數(shù)學(xué)變形的結(jié)果，也和標(biāo)準(zhǔn)差（詳見本章第七節(jié)）計算法有關(guān)，而且具有重要的實際意義。這里僅將重要性質(zhì)敘述如下：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本算術(shù)平均數(shù)的幾個重要數(shù)學(xué)性質(zhì)三（一）平均數(shù)與次數(shù)和的乘積等于所有變量值（數(shù)量標(biāo)志值）的總和這個性質(zhì)說明，平均數(shù)是所有變量值的代表數(shù)值，并且根據(jù)平均數(shù)與次數(shù)可以推算出數(shù)量標(biāo)志值的總和。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本算術(shù)平均數(shù)的幾個重要數(shù)

7、學(xué)性質(zhì)三（二）所有變量值與平均數(shù)的離差之和等于零簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：在理論上，這個性質(zhì)說明，在算術(shù)平均數(shù)中，變量值之間高于或低于平均數(shù)的偏差可以相互抵消。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本算術(shù)平均數(shù)的幾個重要數(shù)學(xué)性質(zhì)三（三）各個變量值與平均數(shù)離差平方之和最小03 PART THREE第三節(jié)調(diào)和平均數(shù)點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本調(diào)和平均數(shù)的概念一調(diào)和平均數(shù)是平均數(shù)的一種，它是根據(jù)變量值的倒數(shù)計算的，是變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱倒數(shù)平均數(shù)。在社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計中，往往由于缺乏總體的單位數(shù)資料，不能直接采用算術(shù)平均數(shù)計算，這時，就需要把算術(shù)平均數(shù)的形

8、式加以改變，而采用另一種計算方法。所以，在實際工作中，它主要是作為算術(shù)平均數(shù)的變形來使用的。其主要特點是用特定的權(quán)數(shù)（m=Xf）加權(quán)，其變量值多為相對數(shù)和平均數(shù)。在計算平均數(shù)時，由于受到所掌握的資料的限制，往往不能直接用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算，而需要按照平均數(shù)基本公式，算出所需總體單位數(shù)，或相當(dāng)于總體單位數(shù)的數(shù)字。這時所用的方法，就是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的方法。調(diào)和平均數(shù)有簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本簡單調(diào)和平均數(shù)二在市場上（如蔬菜市場）常常早上1元可買到1.5千克蔬菜，即每千克0.67元；中午1元可買到2千克蔬菜，即每千克0.50元；晚上1元可買

9、到2.5千克蔬菜，即每千克0.40元。要計算這一天蔬菜的平均價格是多少有以下兩種方法。1.先求出每千克蔬菜的價格，然后求平均數(shù)，即用簡單算術(shù)平均數(shù)方法：2.用總金額除以總數(shù)量，即用簡單調(diào)和平均數(shù)方法：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本加權(quán)調(diào)和平均數(shù)三加權(quán)調(diào)和平均數(shù)實際上是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形。在實際工作中，經(jīng)常會遇到只有各組標(biāo)志總量和各個組變量值，缺少總體單位數(shù)資料的情況，這時就需要利用調(diào)和平均數(shù)公式計算平均數(shù)。它的計算方法是以標(biāo)志總量為權(quán)數(shù)，其計算公式為：04 PART FOUR第四節(jié)幾何平均數(shù)點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本幾何平均數(shù)的概念和特點一幾何平均數(shù)不

10、同于算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)，它是n個變量值連乘積的n次方根，是計算平均比率和平均速度時比較適用的一種指標(biāo)，符合人們的認(rèn)識規(guī)律。例如，有甲、乙兩種商品，甲商品價格從200元上漲到250元，其價比為1.25（250200），其上漲率為25%；而乙種商品價格從250元下降到200元，其價比為0.8（200250），即下降了20%。如果單純從價格變動來看，兩者升降抵消，應(yīng)當(dāng)是沒有變動，但這兩種價比按算術(shù)平均法計算平均價比為1.025（1.25+0.8）2），即上漲了2.5%。如果按調(diào)和平均法計算平均價比為：即平均下降了2.44%。很明顯，由于甲商品漲幅超過乙商品的降幅，所以按算術(shù)平均法計算結(jié)果偏高，按

11、調(diào)和平均法計算結(jié)果偏低，都不符合實際。實際是甲商品上漲了50元，乙商品下降了50元，從絕對數(shù)來說為0（+50+（-50），即甲、乙兩種商品平均來說沒漲沒降。計算表明，用幾何平均法最合適，即平均價比為1（(1.250.8)）或100%,表明兩種商品價格平均起來沒漲沒降。所以，凡是變量值的連乘積等于總比率或總速度的現(xiàn)象都可用幾何平均法計算其平均數(shù)。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本幾何平均數(shù)的計算方法二（一）簡單幾何平均數(shù)簡單幾何平均數(shù)是n個變量值連乘積的n次方根。其計算公式為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本幾何平均數(shù)的計算方法二（二）加權(quán)幾何平均數(shù)當(dāng)計算幾何平均數(shù)

12、的每個變量值的次數(shù)不相同時，則應(yīng)用加權(quán)幾何平均法，其計算公式為：式中：f為變量值的次數(shù)；f為次數(shù)總和；其他符號含義同前。將上述公式兩邊取對數(shù)，則：05 PART FIVE第五節(jié)眾數(shù)和中位數(shù)點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本眾數(shù)一在觀察某一總體時，最常遇到的標(biāo)志值在統(tǒng)計上稱為眾數(shù)。換句話說，眾數(shù)就是在一組變量值中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個變量值。它是總體中最常遇到的變量值，是最普遍、最一般的，因而，可以用來說明社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的一般水平。在實際工作中，眾數(shù)被廣泛運(yùn)用。例如，消費(fèi)者需要的鞋、襪、帽等最普遍的尺碼，集市貿(mào)易市場某種商品最普遍的價格水平，企業(yè)工人中最普遍的工資水平等，常用它來說明總體

13、各單位某一數(shù)量標(biāo)志值的一般水平。但必須指出，眾數(shù)只有在總體內(nèi)單位充分多時才有意義。一般來說，眾數(shù)的確定比較簡單，不需要進(jìn)行復(fù)雜的計算，只要大量觀察就可得知。當(dāng)掌握原始資料時，只要直接觀察各數(shù)值即可得知眾數(shù)，不必一一列舉，如根據(jù)單項變量數(shù)列確定眾數(shù)，只需要觀察找出次數(shù)最多的那個變量值即可。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本中位數(shù)二將總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列，處于中間位置的那個單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)。如果總體單位數(shù)是偶數(shù)，則處于中間位置的兩個標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)是中位數(shù)。顯然，中位數(shù)是處于中間位置的標(biāo)志值，因而可用來說明社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象各單位數(shù)量標(biāo)志值的一般水平。中位數(shù)的確定方法要

14、根據(jù)所掌握的資料而定。如果根據(jù)未經(jīng)分組的資料，其確定方法是將各單位的標(biāo)志值按大小或多少的次序排列，處于中間位置的標(biāo)志值（變量值）就是中位數(shù)。將研究的數(shù)列項數(shù)（無論是奇數(shù)還是偶數(shù)）加1除以2，即可求得中位數(shù)的位置從而可找到中位數(shù)。設(shè)未分組的統(tǒng)計數(shù)列資料為：X1，X2，X3，Xn（已按大小排序）。若n為奇數(shù)，則第(n+1)/2項的標(biāo)志值X_(n+1)/2)即為中位數(shù)；若n為偶數(shù)，則以X_(n/2)與X_(n/2+1)這兩個標(biāo)志值的簡單算術(shù)平均數(shù)為中位數(shù)，即：故中位數(shù)Me的確定可表述為：06 PART SIX第六節(jié)正確計算和運(yùn)用平均指標(biāo)的原則點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本正確計算和

15、運(yùn)用平均指標(biāo)來分析社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，應(yīng)該遵循以下幾項原則：（1）必須注意所研究社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的同質(zhì)性（2）必須注意用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù)（3）必須注意應(yīng)用分配數(shù)列補(bǔ)充說明平均數(shù)（4）必須注意一般與個別相結(jié)合，把平均數(shù)和典型事例結(jié)合起來（5）平均指標(biāo)要與變異指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用07 PART SEVEN第七節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標(biāo)志變異指標(biāo)的概念和作用一（一）標(biāo)志變異指標(biāo)的概念平均指標(biāo)確實能反映某種事物的一般水平，在比較不同空間和時間上的情況時能消除規(guī)模大小的影響，是衡量其差距的重要指標(biāo)。但只依據(jù)平均指標(biāo)來評價事物的優(yōu)劣遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因為總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值具有差異，有

16、高低、大小、多少之別。就總體而言，平均數(shù)背后隱藏最大值與最小值之間的差距，有的差距不大，有的則相差非常懸殊?？傮w內(nèi)部各單位標(biāo)志值差距懸殊的平均數(shù)就掩蓋著尖銳的矛盾，讓人們感到不真實。在現(xiàn)實生活中，此種事例很多。所以，在反映具體問題時，除了列出總平均指標(biāo)外，還應(yīng)把總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值中最大值、最小值及其差距擺出來，要列出平均差異大小和差異的相對程度，即要測定標(biāo)志變異指標(biāo)。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標(biāo)志變異指標(biāo)的概念和作用一（一）標(biāo)志變異指標(biāo)的概念標(biāo)志變異指標(biāo)是反映統(tǒng)計數(shù)列中以平均數(shù)為中心，總體各單位標(biāo)志值的差異大小范圍或離差程度的指標(biāo)，也稱標(biāo)志變動度。標(biāo)志變異指標(biāo)是社會經(jīng)濟(jì)

17、現(xiàn)象數(shù)量關(guān)系所具有的重要特征之一，它是客觀過程中多種因素制約的結(jié)果。如果說平均指標(biāo)說明分配數(shù)列中變量的集中趨勢，那么標(biāo)志變異指標(biāo)則說明變量的離中趨勢。在研究現(xiàn)象總體數(shù)量一般水平特征時，僅用平均指標(biāo)說明是不夠的，應(yīng)該既看到總體的集中趨勢，又看到總體的離中趨勢，才能全面認(rèn)識總體的數(shù)量特征。所以，要把平均指標(biāo)與變異指標(biāo)結(jié)合起來運(yùn)用。點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標(biāo)志變異指標(biāo)的概念和作用一（二）標(biāo)志變異指標(biāo)的作用在統(tǒng)計分析研究中，標(biāo)志變異指標(biāo)的作用，可概括為以下幾點：標(biāo)志變異指標(biāo)可以衡量平均數(shù)代表性的大小。標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映社會經(jīng)濟(jì)活動過程的節(jié)奏性和均衡性。標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映總體

18、單位標(biāo)志值的均勻性和穩(wěn)定性。標(biāo)志變異指標(biāo)是科學(xué)地確定必要的抽樣單位數(shù)應(yīng)考慮的重要因素。第一第二第三第四點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及其計算方法二（一）變異全距變異全距是指總體各單位標(biāo)志值中最大值與最小值之差，簡稱全距，又稱極差。其一般計算公式為：變異全距=最大標(biāo)志值-最小標(biāo)志值具體計算時，要依資料條件而定，如根據(jù)未經(jīng)整理分組的統(tǒng)計資料，則可直接觀察找出最大值與最小值，然后相減即得變異全距。如果為組距數(shù)列，其變異全距則通過下式計算：變異全距=最高組的上限-最低組的下限點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及其計算方法二（二）平均差

19、平均差是各標(biāo)志值對其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對值的平均數(shù)。由于各標(biāo)志值對其算術(shù)平均數(shù)的離差總和恒等于零，即（X-X ）0，因此，在計算平均差時，采取離差的絕對值（|X-X |）來計算。平均差實質(zhì)上是以算術(shù)平均數(shù)為中心，各標(biāo)志值距平均數(shù)的平均距離。平均差的計算由于依據(jù)的資料條件不同，可分為簡單算術(shù)平均差和加權(quán)算術(shù)平均差兩種。1.如果掌握的是未經(jīng)分組的（原始數(shù)列）資料，則采用簡單算術(shù)平均差。其計算公式為：2.如果掌握的資料是分組數(shù)列，則應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均差。其計算公式為：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及其計算方法二（三）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是總體中各單位標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差

20、平方之和的算術(shù)平均數(shù)的平方根，故又稱為均方根差。標(biāo)準(zhǔn)差的實質(zhì)與平均差基本相同，也是各個標(biāo)志值對其算術(shù)平均數(shù)的平均離差，即平均距離。標(biāo)準(zhǔn)差與平均差只是在數(shù)學(xué)處理上不同，它是采用平方的方法消除離差的正負(fù)號來求得的，是標(biāo)志變異指標(biāo)中使用較多的指標(biāo)。依據(jù)資料條件的差異，其計算公式也分為簡單標(biāo)準(zhǔn)差與加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差兩種形式，現(xiàn)分述如下：1.簡單標(biāo)準(zhǔn)差。如果掌握的是未分組的原始數(shù)列資料，在計算標(biāo)準(zhǔn)差時，采用下列公式：2.加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差。如果掌握的資料是分組數(shù)列，則計算標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)采用下列公式：點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本點擊添加文本標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及其計算方法二（三）標(biāo)準(zhǔn)差3.是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差。在社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計中，有時把某種社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的全部單位分為具有某一標(biāo)志的單位和不具有某一標(biāo)志的單位兩組。例如，全部產(chǎn)品中分為