高中數(shù)學(xué)公開課優(yōu)質(zhì)課1.1.1 變化率問題【市一等獎】優(yōu)質(zhì)課

1、教學(xué)目標 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815727ad9801572c71dbe02ce1 l # 數(shù)學(xué)課程標準強調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識,對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認識,不僅作為一種規(guī)則,更作為一種重要的思想、方法來學(xué)習(xí)。新教材在內(nèi)容處理上有很大的變化,新“課標”不講極限的概念,不是把導(dǎo)數(shù)作為一種特殊的極限(增量比的極限)來處理,而是直接通過實際背景和具體實例速度、膨脹率、效率、增長率等反映導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程,突出導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì),感受和領(lǐng)悟微積分的基本思

2、想。 平均變化率是導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的起始課,是后續(xù)瞬時變化率和導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的知識基礎(chǔ),對導(dǎo)數(shù)概念的形成起著奠基作用。 根據(jù)以上分析,確定教學(xué)目標如下: 1.通過大量實例讓學(xué)生直觀感知,自主構(gòu)建平均變化率的概念,感受平均變化率廣泛存在于日常生活中,經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)去描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程; 2.知道什么是變化率問題,掌握平均變化率概念及其計算步驟,深刻理解平均變化率的實際意義,提高用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力; 3.讓學(xué)生認識到“數(shù)學(xué)是有用的,它源于生活,又服務(wù)于生活”,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。2學(xué)情分析 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=

3、2&sdResIdCaseId=ff8080815727ad9801572c71dbe02ce1 l # 本節(jié)課的教學(xué)對象為高二理科生,在物理中學(xué)生已學(xué)過平均速度、瞬時速度、加速度等概念,這些都直接或間接地涉及到平均變化率的思想。平均變化率對學(xué)生來說既熟悉又陌生,熟悉是因為現(xiàn)實生活中有大量問題都涉及到平均變化率,所以它是實踐性很強的內(nèi)容,但是學(xué)生沒有明確地系統(tǒng)學(xué)習(xí),不知道平均變化率的準確定義及內(nèi)涵。由于學(xué)生通過自己的親身體驗,親自去解釋生活中的一些問題,才能體會平均變化率的基本思想。因此需要學(xué)生具有高度的概括能力和較好的抽象思維能力,對學(xué)生的思維是一次挑戰(zhàn)。3重點難點 HYPERLINK ht

4、tp:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815727ad9801572c71dbe02ce1 l # 本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)的1.1.1變化率問題。本節(jié)課通過實例總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念,在此基礎(chǔ)上,要求學(xué)生掌握求函數(shù)平均變化率的一般步驟。平均變化率是個核心概念,是研究瞬時變化率及導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)。在這個過程中注意特殊到一般,數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。 教學(xué)重點:函數(shù)平均變化率的概念 教學(xué)難點:平均變化率的理解與轉(zhuǎn)化,初步滲透“逼近”思想4教學(xué)過程 4.1

5、第一學(xué)時 4.1.1教學(xué)活動 活動1【導(dǎo)入】歷史背景 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815727ad9801572c71dbe02ce1 l # 微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑,它為研究變量和函數(shù)提供了重要方法和手段,同時也極大地推動了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展,而變化率則是微積分的核心思想,本節(jié)課我們一起通過一些生活實例感受一下生活中的變化率問題。 設(shè)計意圖:充分挖掘章引言的教學(xué)價值,它說明了三方面的問題:首先,簡明的指出了函數(shù)和微積分

6、的關(guān)系;其次,概述了微積分的創(chuàng)立史及它的地位;第三,概述本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容?；顒?【講授】構(gòu)建概念 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815727ad9801572c71dbe02ce1 l # 問題1氣球膨脹率將班內(nèi)同學(xué)平均分成4組,每組發(fā)一只氣球,各有一位同學(xué)負責(zé)將氣球吹起,其他同學(xué)觀察氣球在吹起過程中的變化,并做好準備回答以下問題:(1)氣球在吹起過程中,隨著吹入氣體的增加,它的膨脹速度有何變化?(2)你認為膨脹速度與哪些量有關(guān)系?(3)球的體積公式是什么?有哪些基本量?(4)結(jié)

7、合球的體積公式,試用兩個變量之間的關(guān)系來表述氣球的膨脹率問題?設(shè)計意圖:通過分析生活實例,提煉數(shù)學(xué)模型,為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景?；顒宇A(yù)設(shè):學(xué)生可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢,即氣球的膨脹速度越來越慢,但不知把空氣容量的增加轉(zhuǎn)化為體積的增大,應(yīng)對此加以引導(dǎo),從而由體積變化量和半徑變化量的比值得到氣球膨脹率。氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么分析: ,當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為可以看出,隨著氣球體積逐漸增大,它的平均

8、膨脹率逐漸變小了.思考:當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?通過觀察和計算,用數(shù)據(jù)解釋上述現(xiàn)象,并通過課件演示,更逼真的感受上述現(xiàn)象。一方面直觀地演示了當球的體積增大時,半徑增大越來越小。另一方面通過excel演示當A,B兩點向右運動時,自變量的增量保持不變,但是函數(shù)變化量與相應(yīng)自變量變化量的比值(平均變化率)越來越小。問題2 高臺跳水在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速 度粗略地描述其運動狀態(tài)?思考計算: 和 的平均速度在 這段時間里, ;在

9、 這段時間里,探究:計算運動員在 這段時間里的平均速度,并思考以下問題:運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎?你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?探究過程:如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像,結(jié)合圖形可知, ,所以 ,雖然運動員在 這段時間里的平均速度為 ,但實際情況是運動員仍然運動,并非靜止,可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)。設(shè)計意圖:分析實例,抽象數(shù)學(xué)模型,為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景,同時為下一節(jié)課瞬時變化率和導(dǎo)數(shù)做鋪墊。分析歸納 構(gòu)建概念問題3對比問題1和問題2中的平均變化率計算關(guān)系式,他們有什么共同特點?對于一般函數(shù)f(x),如何

10、計算其從 到 的平均變化率?設(shè)計意圖:讓學(xué)生結(jié)合兩個實例,對比、分析,抽象概括出一般形式,經(jīng)歷由特殊到一般的數(shù)學(xué)過程。定義:一般地,函數(shù)y=f(x)中,式子 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率,則: 。其中x、 y的值可正、可負,但x值不能為0, y的值可以為0。若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時, y=0。變式: 。問題4 觀察函數(shù)f(x)的平均變化率 ,結(jié)合直線的斜率分析平均變化率的幾何意義是什么?設(shè)計意圖:從幾何角度得到平均變化率的幾何意義,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。學(xué)生觀察圖像,并通過幾何畫板的演示,得到平均變化率即反映了直線AB 的斜率。典例分析例1 已知函數(shù)f (x)=2x+1, g(x)=

11、 - 2x ,分別計算在區(qū)間-3,-1,0,5上 f(x)及g(x) 的平均變化率.例2 已知函數(shù) f(x)=x2 , 分別計算 f(x) 在下列區(qū)間上的平均變化率.1, 3 ; (2)1, 2;(3)1, 1.1;(4)1,1.01;(5)1,1.001問題1氣球膨脹率將班內(nèi)同學(xué)平均分成4組,每組發(fā)一只氣球,各有一位同學(xué)負責(zé)將氣球吹起,其他同學(xué)觀察氣球在吹起過程中的變化,并做好準備回答以下問題:(1)氣球在吹起過程中,隨著吹入氣體的增加,它的膨脹速度有何變化?(2)你認為膨脹速度與哪些量有關(guān)系?(3)球的體積公式是什么?有哪些基本量?(4)結(jié)合球的體積公式,試用兩個變量之間的關(guān)系來表述氣球的

12、膨脹率問題?設(shè)計意圖:通過分析生活實例,提煉數(shù)學(xué)模型,為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景。活動預(yù)設(shè):學(xué)生可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢,即氣球的膨脹速度越來越慢,但不知把空氣容量的增加轉(zhuǎn)化為體積的增大,應(yīng)對此加以引導(dǎo),從而由體積變化量和半徑變化量的比值得到氣球膨脹率。氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么分析: ,當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為可以看出,隨著氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸變小了.思考:當空氣容量從V1增加到V2

13、時,氣球的平均膨脹率是多少?通過觀察和計算,用數(shù)據(jù)解釋上述現(xiàn)象,并通過課件演示,更逼真的感受上述現(xiàn)象。一方面直觀地演示了當球的體積增大時,半徑增大越來越小。另一方面通過excel演示當A,B兩點向右運動時,自變量的增量保持不變,但是函數(shù)變化量與相應(yīng)自變量變化量的比值(平均變化率)越來越小。問題2 高臺跳水在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速 度粗略地描述其運動狀態(tài)?思考計算: 和 的平均速度在 這段時間里, ;在 這段時間里,探究:計算運動員在 這段時間里的平均

14、速度,并思考以下問題:運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎?你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?探究過程:如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像,結(jié)合圖形可知, ,所以 ,雖然運動員在 這段時間里的平均速度為 ,但實際情況是運動員仍然運動,并非靜止,可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)。設(shè)計意圖:分析實例,抽象數(shù)學(xué)模型,為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景,同時為下一節(jié)課瞬時變化率和導(dǎo)數(shù)做鋪墊。分析歸納 構(gòu)建概念問題3對比問題1和問題2中的平均變化率計算關(guān)系式,他們有什么共同特點?對于一般函數(shù)f(x),如何計算其從 到 的平均變化率?設(shè)計意圖:讓學(xué)生結(jié)合兩

15、個實例,對比、分析,抽象概括出一般形式,經(jīng)歷由特殊到一般的數(shù)學(xué)過程。定義:一般地,函數(shù)y=f(x)中,式子 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率,則: 。其中x、 y的值可正、可負,但x值不能為0, y的值可以為0。若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時, y=0。變式: 。問題4 觀察函數(shù)f(x)的平均變化率 ,結(jié)合直線的斜率分析平均變化率的幾何意義是什么?設(shè)計意圖:從幾何角度得到平均變化率的幾何意義,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。學(xué)生觀察圖像,并通過幾何畫板的演示,得到平均變化率即反映了直線AB 的斜率。典例分析例1 已知函數(shù)f (x)=2x+1, g(x)= - 2x ,分別計算在區(qū)間-3,-1,0,5上 f(x)及g(x) 的平均變化率.例2 已知函數(shù) f(x)=x2 , 分別計算 f(x) 在下列區(qū)間上的平均變化率.(1)1, 3 ; (2)1, 2;(3)1, 1.1;(4)1,1.01;(5)1,1.001活動3【作業(yè)】課堂作業(yè) HYPERLINK http:/1/portal/redesign/ind