2022屆湖南省古丈縣高三第三次模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面

2、的距離已知平面，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是3，點是上的動點，滿足到的距離與到點的距離相等，則點的軌跡上的點到的距離的最小值是（ ）AB3CD2如圖在一個的二面角的棱有兩個點，線段分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于棱，且，則的長為（ ）A4BC2D3已知，若，則（ ）ABCD4方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于( )A4B6C8D105為得到y(tǒng)=sin(2x-A向左平移3個單位 B向左平移C向右平移3個單位 D向右平移6在直角梯形中，點為上一點，且，當?shù)闹底畲髸r，( )AB2CD7已知函數(shù)，則，的大小關(guān)系為（ ）ABCD8已知函數(shù)，關(guān)于x的方程f（x）a存在四個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取

3、值范圍是（ ）A（0，1）（1，e）BCD（0，1）9已知實數(shù)、滿足不等式組，則的最大值為（）ABCD10已知斜率為2的直線l過拋物線C：的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，若線段AB的中點M的縱坐標為1，則p（ ）A1BC2D411函數(shù)在的圖象大致為ABCD12若是定義域為的奇函數(shù)，且，則A的值域為B為周期函數(shù)，且6為其一個周期C的圖像關(guān)于對稱D函數(shù)的零點有無窮多個二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如果函數(shù)（,且,）在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為_14隨著國力的發(fā)展，人們的生活水平越來越好，我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高.為了掌握學生的體質(zhì)與健康現(xiàn)狀，合理制定學

4、校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃，某市進行了一次全市高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，那么該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為_.15如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，殘缺部分位于過點C的豎直線的右側(cè)，現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個直角三角形，若該直角三角形一條邊在上，則裁出三角形面積的最大值為_.16若實數(shù)，滿足，則的最小值為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知點，若點滿足.（）求點的軌跡方程； （）過點的直線與（）中曲線相交于兩點，為坐標原點， 求面積的最大值及此時直線的方程.18（12

5、分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）若射線與和分別交于點，求19（12分）隨著改革開放的不斷深入，祖國不斷富強，人民的生活水平逐步提高，為了進一步改善民生，2019年1月1日起我國實施了個人所得稅的新政策，其政策的主要內(nèi)容包括：（1）個稅起征點為5000元；（2）每月應(yīng)納稅所得額（含稅）收入個稅起征點專項附加扣除；（3）專項附加扣除包括贍養(yǎng)老人費用子女教育費用繼續(xù)教育費用大病醫(yī)療費用等其中前兩項的扣除標準為：贍養(yǎng)老人費用：每月扣除2000元子女教育費用：每個子女每月

6、扣除1000元新個稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下：級數(shù)一級二級三級四級每月應(yīng)納稅所得額（含稅）不超過3000元的部分超過3000元至12000元的部分超過12000元至25000元的部分超過25000元至35000元的部分稅率3102025（1）現(xiàn)有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要贍養(yǎng)老人，除此之外，無其它專項附加扣除請問李某月應(yīng)繳納的個稅金額為多少？（2）為研究月薪為20000元的群體的納稅情況，現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領(lǐng)的相關(guān)資料，通過整理資料可知，有一個孩子的有400人，沒有孩子的有100人，有一個孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人，沒有孩子的人中有50人需要贍養(yǎng)老人，并且他

7、們均不符合其它專項附加扣除（受統(tǒng)計的500人中，任何兩人均不在一個家庭）若他們的月收入均為20000元，依據(jù)樣本估計總體的思想，試估計在新個稅政策下這類人群繳納個稅金額的分布列與期望20（12分）已知.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21（12分）已知數(shù)列滿足（），數(shù)列的前項和，（），且，（1）求數(shù)列的通項公式：（2）求數(shù)列的通項公式（3）設(shè)，記是數(shù)列的前項和，求正整數(shù)，使得對于任意的均有22（10分）如圖在四邊形中，為中點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

8、合題目要求的。1D【解析】建立平面直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程，得到，進而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價于在直角坐標系中，點，是第一象限內(nèi)的動點，滿足到軸的距離等于點到點的距離，求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值設(shè)，則，化簡得：，則，解得：，即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中點面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準確求得動點軌跡方程，進而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.2A【解析】由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長可求【詳解】解：，故選：【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積

9、的運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題3B【解析】由平行求出參數(shù)，再由數(shù)量積的坐標運算計算【詳解】由，得，則，所以故選：B【點睛】本題考查向量平行的坐標表示，考查數(shù)量積的坐標運算，掌握向量數(shù)量積的坐標運算是解題關(guān)鍵4C【解析】畫出函數(shù)和的圖像，和均關(guān)于點中心對稱，計算得到答案.【詳解】，驗證知不成立，故，畫出函數(shù)和的圖像，易知：和均關(guān)于點中心對稱，圖像共有8個交點，故所有解之和等于.故選：.【點睛】本題考查了方程解的問題，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力，確定函數(shù)關(guān)于點中心對稱是解題的關(guān)鍵.5D【解析】試題分析：因為，所以為得到y(tǒng)=sin(

10、2x-3)的圖象，只需要將考點：三角函數(shù)的圖像變換6B【解析】由題，可求出，所以，根據(jù)共線定理，設(shè)，利用向量三角形法則求出，結(jié)合題給，得出，進而得出，最后利用二次函數(shù)求出的最大值，即可求出.【詳解】由題意，直角梯形中，可求得，所以點在線段上， 設(shè) ， 則，即，又因為所以，所以，當時，等號成立.所以.故選：B.【點睛】本題考查平面向量線性運算中的加法運算、向量共線定理，以及運用二次函數(shù)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.7B【解析】可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識，考查了

11、學生的運算求解能力.8D【解析】原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意，a2，令t，則f（x）a記g（t）當t2時，g（t）2ln（t）（t）單調(diào)遞減，且g（2）2，又g（2）2，只需g（t）2在（2，+）上有兩個不等于2的不等根則，記h（t）（t2且t2），則h（t）令（t），則（t）2（2）2，（t）在（2，2）大于2，在（2，+）上小于2h（t）在（2，2）上大于2，在（2，+）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調(diào)遞增，在（2，+）上單調(diào)遞減由，可得，即a2實數(shù)a的取值范圍是（2，2）故選：D【點睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點問題，關(guān)鍵在

12、于等價轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為通過導函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.9A【解析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域，如圖所示，由目標函數(shù)，化為直線，當直線過點A時，此時直線在y軸上的截距最大，目標函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最大值為，故選A【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題10C【解析】設(shè)直線l的方程為xy，與拋物線聯(lián)立利用韋達定理可得p【

13、詳解】由已知得F（，0），設(shè)直線l的方程為xy，并與y22px聯(lián)立得y2pyp20，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點C（x0，y0），y1+y2p，又線段AB的中點M的縱坐標為1，則y0（y1+y2），所以p=2,故選C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題，利用韋達定理是解題的關(guān)鍵，屬中檔題11A【解析】因為，所以排除C、D當從負方向趨近于0時，可得.故選A12D【解析】運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù)，則，又，即是以4為周期的函數(shù)，所以函數(shù)的零點有無窮多個；因為，令，則，即，所以的圖象關(guān)于對稱，由題意無法求出的值域，所

14、以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)學式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1318【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:當時, ,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.當時, ,函數(shù)開口向上,對稱軸為,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,因為,則,整理得,又因為,則.所以即,所以當且僅當時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.14

15、3000【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求出，進而可求出身高高于的高中男生人數(shù).【詳解】解：全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，則，該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為.故答案為：.【點睛】本題考查正態(tài)曲線的對稱性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.15【解析】分兩種情況討論：（1）斜邊在BC上，設(shè)，則，（2）若在若一條直角邊在上，設(shè)，則，進一步利用導數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】（1）斜邊在上，設(shè)，則，則，從而.當時，此時，符合.（2）若一條直角邊在上，設(shè)，則，則，由知.，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，.當，即時，最大.故答案為：.【點睛】此題考查實際問題

16、中導數(shù)，三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意分類討論把所有情況考慮完全，屬于一般性題目.16【解析】由約束條件先畫出可行域，然后求目標函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由，即，當平行線經(jīng)過點時取到最小值，由可得，此時，所以的最小值為.故答案為.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標函數(shù)，結(jié)合圖形求出最值，需要掌握解題方法.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）；（）面積的最大值為，此時直線的方程為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程；（2）設(shè)出直線方程后，采用（表示原點到直線的距離）表示面積，最后

17、利用基本不等式求解最值.【詳解】解：（）由定義法可得，點的軌跡為橢圓且，. 因此橢圓的方程為. （）設(shè)直線的方程為與橢圓交于點， ，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去可得，即，. 面積可表示為令，則，上式可化為，當且僅當，即時等號成立，因此面積的最大值為，此時直線的方程為.【點睛】常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題：（1）已知點，若點滿足且，則的軌跡是橢圓；（2）已知點，若點滿足且，則的軌跡是雙曲線.18（1）： ;: (2) 【解析】（1）由可得，由，消去參數(shù)，可得直線的普通方程為 由可得，將，代入上式，可得，所以曲線的直角坐標方程為（2）由（1）得，的普通方程為，將其化為極坐標方程可得，當時，所

18、以19（1）李某月應(yīng)繳納的個稅金額為元，（2）分布列詳見解析，期望為1150元【解析】（1）分段計算個人所得稅額；（2）隨機變量X的所有可能的取值為990，1190，1390，1590，分別求出各值對應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可【詳解】解：（1）李某月應(yīng)納稅所得額（含稅）為：2960050001000200021600元不超過3000的部分稅額為30003%90元超過3000元至12000元的部分稅額為900010%900元，超過12000元至25000元的部分稅額為960020%1920元所以李某月應(yīng)繳納的個稅金額為9090019202910元，（2）有一個孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（

19、含稅）為：2000050001000200012000元，月應(yīng)繳納的個稅金額為：90900990元有一個孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：200005000100014000元，月應(yīng)繳納的個稅金額為：909004001390元；沒有孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：200005000200013000元，月應(yīng)繳納的個稅金額為：909002001190元；沒有孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000500015000元，月應(yīng)繳納的個稅金額為：909006001590元；所以隨機變量X的分布列為：990119013901590【點睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用與函數(shù)值計算，考查了隨機變量的概率分布列與數(shù)學期望，屬于中檔題20（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】（1）分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）分離出參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域.【詳解】（1）由得或當時，由，得.由，得或此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.當時，由，得由，得或此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和綜上：當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）依題意，不等式恒成立等價于在上恒成立，可得，在上恒成立，設(shè)，則令，得，（舍）當時，；當時，當變化時