專題26 最大值的最小值問(wèn)題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）（解析版）

1、專題26 最大值的最小值問(wèn)題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）參考答案與試題解析一選擇題（共6小題）1設(shè)二次函數(shù)在上有最大值，最大值為（a），當(dāng)（a）取最小值時(shí)，A0B1CD【解答】解：在上有最大值（a），且當(dāng)時(shí)，的最大值為，即且（a），當(dāng)時(shí)，即時(shí)，（a）有最小值2，故選：2（2021春紹興期末）已知函數(shù)，設(shè)的最大值為，若的最小值為1時(shí)，則的值可以是AB0CD1【解答】解：因?yàn)?，而函?shù)，因?yàn)椋?，則，由題意可得：存在，對(duì)于任意的，使得的最小值為1，由于在數(shù)軸上的點(diǎn)，和點(diǎn)之間的距離恰好為2，因此要使的最小值為1，則必有，且，解得，故選：3（2021濟(jì)南模擬）已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得成立，則

2、實(shí)數(shù)的取值范圍是AB，C，D，【解答】解：存在，使得成立，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，；可看作橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離，則問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離的最大值中的最小值；如圖，記，連接，則圖中直線的斜率為，直線的方程為，設(shè)直線與直線平行，且與函數(shù)相切于點(diǎn)，又，令，解得，切點(diǎn)，則切線的方程為，當(dāng)直線與直線，平行且與兩直線距離相等時(shí)，即恰好處于兩直線正中間的位置時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離能取得最大值中的最小值，此時(shí)，此時(shí)，故選：法二：記函數(shù)的最大值為，由題意可知，對(duì)任意，恒成立，所以，依題意，分別令，0，2，可得，（2），所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以故選：4設(shè)函

3、數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A，B，C，D，【解答】解：設(shè)的最大值為（b），令，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，由，解得由，時(shí)，（b）；時(shí)，（b）當(dāng)時(shí)，（b）由，（b），（b）由時(shí)，（b），（b）綜上可得：（b），故選：5（2021柯橋區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得成立，則當(dāng)取最大值時(shí)，A7B4CD【解答】解：，設(shè)，則，令，解得：或，令，解得；，故在，遞增，在遞減，（3），設(shè)，畫出函數(shù)的圖像，如圖示：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得成立，等價(jià)于求絕對(duì)值的最小值，結(jié)合圖像，時(shí)，取最大值，此時(shí)，故選：6（2021杭州期末）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，總存在，使得

4、，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A，B，C，D，【解答】解：對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，總存在，使得，令，函數(shù)在，單調(diào)遞減，（1），（4）時(shí)，則時(shí)，則時(shí)，則時(shí)，則綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：二填空題（共20小題）7（2021浙江月考）設(shè)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，記的最大值為，則的最小值為【解答】解：由去絕對(duì)值可得在，的最大值為，（2），中之一，由題意可得，（2），上面四個(gè)式子相加可得，即有，可得的最小值為故答案為：8（2021臺(tái)州期末）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，設(shè)的最大值為，則的最小值為【解答】解：函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，設(shè)的最大值為，可得，可得，即，即有，則的最小值為，故答案為：9（2021春舟山期末）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，當(dāng)取到

5、最小值時(shí)，則【解答】解：由條件有（1），（4），（2）；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立；解得或無(wú)解，此時(shí)故答案為：10（2021杭州模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，當(dāng)實(shí)數(shù)，變化時(shí)，最小值為2，當(dāng)取到最小值時(shí)，【解答】解：，上述函數(shù)可理解為當(dāng)橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)，與函數(shù)，圖象上點(diǎn)的縱向距離，則即為函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離的最大值中的最小值，由圖象可知，當(dāng)函數(shù)的圖象剛好為時(shí)，取得最小值為2，此時(shí)，且，即，故故答案為：2，11（2021浙江模擬）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，則的最小值為5【解答】解：令，則，則，由去絕對(duì)值可得在，的最大值為，（2）中之一，由題意可得，（2），故，故答案為：5

6、12（2021杭州模擬）已知函數(shù)當(dāng)，的最大值為，則的最小值為7【解答】解：依題意，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)取，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，（1）；取，則，顯然函數(shù)在，上遞減，在，上遞增，（2），；綜上所述，的最小值為7故答案為：713（2021桐鄉(xiāng)市校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，記最大值為，則的最小值為【解答】解：方法一：，設(shè)，由單調(diào)性可知，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)方法二：，令，令，則，當(dāng)，時(shí)， 單調(diào)遞增；所以（1），（e），即，；令，則，當(dāng)，時(shí)， 單調(diào)遞減，所以（1），（e），即，所以，所以，且，由得，所以，由得，所以，綜上所述，故答案為：14已知函數(shù)，記的最大值為，若對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，

7、的最小值為，則取最小值時(shí)，【解答】解：由題意得：（1），且，又、為正實(shí)數(shù)，由基本不等式得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），由得：，此時(shí)，得，從而解得：，此時(shí)，得，故答案為：15（2021春浙江期中）已知，設(shè)函數(shù)的最大值為，則的最小值為【解答】解：令，當(dāng)時(shí)，記，函數(shù)，的對(duì)稱軸為，當(dāng)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，故答案為：16（2021浙江模擬）已知，設(shè)函數(shù)，上的最大值為，則的最小值為【解答】解：，故，故，故，故答案為：17（2021春西湖區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，記為的最大值，則的最小值為 【解答】解：，定義域是，可知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，（a），又因?yàn)椋╝），所以，（a）（a），即，（

8、a），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故答案為：18（2021諸暨市二模）已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的最大值為，為常數(shù)）且存在實(shí)數(shù)，使得取最小值2，則2【解答】解：函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的最大值為在端點(diǎn)處或處取得若在處取得，則，若在處取得，則，若在處取得，則若，則頂點(diǎn)處的函數(shù)值不為2，應(yīng)為0，符合要求，若則頂點(diǎn)處的函數(shù)值的絕對(duì)值大于2，不成立由此推斷，即有，則，可得故答案為：219（2021浦東新區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【解答】解：設(shè)的最大值為（a），令，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，可得，由，可得當(dāng)時(shí)，（a）；當(dāng)時(shí)，可得（a）；當(dāng)時(shí)，可得（a）；綜上可得

9、，當(dāng)時(shí)，（a），所以故答案為：，20（2021浙江月考）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是【解答】解：原問(wèn)題等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，且（1）（3），則，解得，則函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標(biāo)相等時(shí)，兩縱坐標(biāo)的豎直距離，作示意圖如下，由圖顯然，當(dāng)函數(shù)位于直線與直線正中間時(shí)，函數(shù)取得最大值中的最小值，易知，直線的方程為，又，令，解得或（舍去），則直線的方程為，故答案為：21（2021春諸暨市校級(jí)期中）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【解答】解：由題意，函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標(biāo)相等時(shí)，縱坐標(biāo)的豎直距離，作函數(shù)如下圖所示，由圖可知，當(dāng)位于直線與直線正中

10、間時(shí)，函數(shù)取得最大值中的最小值，顯然，直線的方程為，又，令，解得，則直線的方程為（1），故答案為：22（2021包河區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【解答】解：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得成立，設(shè)的最大值為，可得，（2），（4），即有，可得，可得，即有，可得，由，可得，可得，故答案為：23（2021呼和浩特期中）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【解答】解：設(shè)的最大值為（b），令，則在，上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，（b），當(dāng)時(shí)，（b），從而當(dāng)時(shí)，時(shí)，（b）取最小值，（b），當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，

11、在，時(shí)，當(dāng)時(shí)，（b），在，時(shí)，當(dāng)時(shí)，（b），對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立等價(jià)于恒成立，故答案為：，24（2021一卷模擬）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)和，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的最大值為2【解答】解：考慮問(wèn)題的反面：存在實(shí)數(shù)和，對(duì)任意的，使得成立，即，設(shè)，則，易知函數(shù)在上遞增，在上遞減，且（3），（1），而可理解為函數(shù)與直線在橫坐標(biāo)相同時(shí)，縱坐標(biāo)的豎直距離，由圖可知，存在實(shí)數(shù)和，對(duì)任意的，使得成立的的取值范圍為，故對(duì)任意的實(shí)數(shù)和，總存在，使得的的取值范圍為，則實(shí)數(shù)的最大值為2故答案為：225（2021下城區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，且的最大值為2，則2【解答】解：由已知得在，上是增函數(shù)，則（