淺談一階微分方程的初等解法

1、 方程整理得一3udx+2x(u2+2)du=0變量分離，再積分，整理得u4eu2二Cx3C為任意常數(shù)).證畢代回原變量，得原方程的通解y4exy2=C為任意常數(shù)).證畢dy”，ax+by+c、dydyy此外子=f(才)yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 x2-二f(xy)二xf(dxax+by+c，dxdxx2222,以及M(x,-)(xdx+ydy)+N(x,-)(xdy-ydx)二0(其中M,N為x,y的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同)等一些類型的方程，均可以通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q化為變量分離方程。線性方程形如二P(x)-+Q(x)(2.28)dx的方程稱為一階線性微分方程，這里假設(shè)P(x),

2、Q(x)在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)。若Q(x)三0，(2.28)變?yōu)閷W(xué)=P(x)-(2.18)dx(2.18)稱為一階齊線性方程。若Q(x)豐0,(2.28)稱為一階非齊線性方程.(2.18)是變量分離方程，在上面的例8中求得它的通解為-=cep(x)-x(2.19)這里c是任意常數(shù).現(xiàn)在主要討論非齊線性方程(2.28)的通解的求解方法:在(2.19)中,將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c(x)，使它滿足方程(2.28),從而求出c(x).為此，令微分之,得到-=c微分之,得到-=c(x)eJP(x)dx二dc(x)eJP(x皿+c(x)P(x)eJP(x皿dxdx(2.29)(2.30)以(2.

3、29)(2.30)代入(2.28),得到dc(x)eJP(x)dx+c(x)P(x)eJP(x)dx=P(x)c(x)eJP(x)dx+Q(x)dx(2.31)即dcx二q(x)ep(x)dx積分后得到c(x)=JQ(x)eP(x)dxdx+c(2.31)dx1這里c1是任意常數(shù)，將(2.31)代入(2.29),得到y(tǒng)=eP(x)dx(JQ(x)eP(x)dxdx+)這就是方程(2.19)的通解.這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們通常稱為常數(shù)變易法.例15求方程2xy二-x的解.dx解這是一階線性方程，按公式求解J丄dxe2x1Je2xdxdx+c=etlnlx1Je-2lnlxdx+c22

4、當(dāng)x0時(shí),當(dāng)x0時(shí),當(dāng)xo時(shí)，方程還有解y=0.例17求方程竽=_-+a(Inx)y2的通解.dxx解這是n二2的伯努利方程令z二y_1算得眾=_y_2孚dxdxdzz代入原方程得到二一_aInxdxx這是線性方程，求得它的通解為z=xc_a(lnx)22代回原來的變量y代回原來的變量y,得原方程的通解為y=xc一一(lnx)2這里c是任意常數(shù)此外方程還有解y二0.x2例18x2例18求解二=+.dx2x2y解這是n=_1的伯努利方程令z二y2算得dz二2y字dxdx代入原方程得到二-+代入原方程得到二-+x2這是線性方程，求得它的通解為dxx,1z=Cx+x32代回原來的變量y代回原來的變量

5、y,得原方程的通解為C是任意常數(shù)).一階隱微分方程的初等解法一階隱微分方程一般形式可表為F(x,y,y)=一階隱微分方程一般形式可表為F(x,y,y)=01.3)3.1形如y二/x,dIdx丿3.1)類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法為：引進(jìn)參數(shù)學(xué)二P，則(3.1)變?yōu)閥二f(x,p)dx3.2)將(3.2)兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，并以字二p代入，得到p=f+詈字dxoxcpdx3.3)方程（3.3）是關(guān)于x,p的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)已解出于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解這里假設(shè)函數(shù)ffx,字有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。Idx丿若求得（3.3）的通解的形式為p=9（x,c）則得到（3.1）的通解為y=

6、/（x,9（x,c）若求得（3.3）的通解的形式為x=虹p,c）則得到（3.1）的通解為x(p,c)y=f(0(p,c),p)其中p則得到（3.1）的通解為x(p,c)y=f(0(p,c),p)其中p是參數(shù)，c是任意常數(shù)）若求得（3.3）的通解的形式為屮(x,p,c)=0則得到（3.1）的通解為屮(x,p,c)=0y=f(x,p)其中p是參數(shù)，c是任意常數(shù)）3.2形如x=ffy,dIdx丿3.4)類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法與方程（3.1）的求解方法完全類似。這里假設(shè)fy,字有連續(xù)的偏I(xiàn)dx丿導(dǎo)數(shù)。引進(jìn)參數(shù)dy=p，則（3.4）變?yōu)閤=f（y,p）dx3.5)將（3.5）兩邊對y求導(dǎo)數(shù)

7、，然后以=丄代入，得到丄+f-dfdyppcyopdy3.6)dp方程（36）是關(guān)于y,p的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)石已解出于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解，于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解設(shè)求得通解為0（y,p,c）=0則得（3.4）的通解為x=f(y,p)0(y,p,c)=03.3形如F（x,y）=0（3.7）類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法為：記p=y=dy從幾何的觀點(diǎn)看，F(xiàn)（x,p）=0代表xp平面上的dx(3.8)一條直線設(shè)把這條直線表為適當(dāng)?shù)膮?shù)形式，x=申(t),p=屮(t)(3.8)這里t為參數(shù).再由沿方程(3.4)的任何一條積分曲線上，恒滿足基本關(guān)系dy二pd

8、x以(3.7)代入上式得dy二屮(t網(wǎng)(t)dt，兩邊積分得yJ屮(t)0(t)dt+c,于是得到方程(3.7)的參數(shù)形式的通解為x=的參數(shù)形式的通解為x=申(t)y=J屮(t)申(t)dt+c是任意常數(shù)).形如F(y,y)=0(3.9)類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法與方程(3.7)的求解方法完全類似：記p=y，引入?yún)?shù)t，將方程Q(t).Q(t)表為恰當(dāng)?shù)膮?shù)形式：y=Q(t)，p=屮(t)由此得dx=dt，x=dt+c于是屮(t)屮(t)x=比dt+c屮(t)為方程的參數(shù)形式的通解，其中c為任意常數(shù).y=Q(t)此外，不難驗(yàn)證，若F(y,0)=0有實(shí)根y=k，則y=k也是方程的解.例

9、1x2例1求方程y=y2-xy+的解.厶x2解令y=p，得到y(tǒng)=p2-xp+一2兩邊對x兩邊對x求導(dǎo)并整理化簡后，得(2p-x)(字-1)=0dxTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark190 xx2取2p=x，得p=-代入上式的解y=-厶I HYPERLINK l bookmark412 取dp-1=0，即學(xué)=1，積分得p=x+C，代入上式得原方程的通解為dxdxC是任意常數(shù))xC是任意常數(shù))y=T+Cx+C2例2求方程y3-4xyy+8y2=0的解.解解出x得(3.10)令y=p，得(3.10)x二對y求導(dǎo)，并整理后得對y求導(dǎo)，并整理后得I2yp2丿dp取p34

10、y2二0，得p=(4y2)3，代入(3.10),得到解y二2x3厶/dpp小丄C22y2取于卡，得解p=Cy2，代入(3.io),得到解x=+-dy2y4C1將它寫成8y24Cx+C3=0，消去根號得64y=(4CxC3)2.C2令C=，則上式可以寫成較整齊形式y(tǒng)=C(xC)2.1411另外，y=0也是原方程的解.例3求方程X、汁+y2=y的解fx=sint解不顯含y，令|.y=tantfx=sint于是dy=tantdx=tantcostdt=sintdt，y=一cost+CC是任意常數(shù))消去t得到通解為x2+(yC)2=1.C是任意常數(shù))y=1例4求方程丐=2=1的解.1+y2dysinhtdt解令y=smht,y=cosht，于是dx=dt.ysinht從而x=t+C,由y=cosht,消去t,得到通解y=cosh(xC)(C為任意常數(shù)).通過上文的介紹，使我們了解了多種類型的一階微分方程的初等解法，特別是在介紹恰當(dāng)方程的一般解法時(shí)又介紹了一種新的解法，這種新的解法淺顯