高考數(shù)學(xué)（文）考綱解讀及熱點(diǎn)難點(diǎn)試題演練：專題13 概率與統(tǒng)計(jì)（專題）（解析版）

1、專題13 概率與統(tǒng)計(jì)【2016年高考考綱解讀】高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)抽樣方法的選擇、與樣本容量相關(guān)的計(jì)算，尤其是分層抽樣中的相關(guān)計(jì)算，A級要求(2)圖表中的直方圖、莖葉圖都可以作為考查點(diǎn)，尤其是直方圖更是考查的熱點(diǎn)，A級要求(3)特征數(shù)中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算都是考查的熱點(diǎn)，B級要求(4)隨機(jī)事件的概率計(jì)算，通常以古典概型、幾何概型的形式出現(xiàn)，B級要求.【重點(diǎn)、考點(diǎn)剖析】 1概率問題(1)求某些較復(fù)雜的概率問題時，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的對立事件eq xto(A)的概率，然后利用P(A)1P(eq xto(A)可

2、得解；(2)用列舉法把古典概型試驗(yàn)的基本事件一一列出來，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)eq f(m,n)求出事件A的概率，這是一個形象、直觀的好辦法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復(fù)，不遺漏； (3)求幾何概型的概率，最關(guān)鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)區(qū)域的測度，這里需要解析幾何的知識，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件2統(tǒng)計(jì)問題(1)統(tǒng)計(jì)主要是對數(shù)據(jù)的處理，為了保證統(tǒng)計(jì)的客觀和公正，抽樣是統(tǒng)計(jì)的必要和重要環(huán)節(jié)，抽樣的方法有三：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣；(2)用樣本頻率分布來估計(jì)總體分布一節(jié)的重點(diǎn)是：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總

3、體分布，考點(diǎn)是：頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用；(3)用莖葉圖優(yōu)點(diǎn)是原有信息不會抹掉，能夠展開數(shù)據(jù)發(fā)布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便了；(4)兩個變量的相關(guān)關(guān)系中，主要能作出散點(diǎn)圖，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性或歸方程系數(shù)或公式建立線性回歸方程.【題型示例】題型一 隨機(jī)事件及其概率例1、 (2015廣東，7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為()A0.4 B0.6 C0.8 D1【答案】B【解析】【變式探究】(2015江蘇，5)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中

4、一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_【答案】eq f(5,6)【解析】這兩只球顏色相同的概率為eq f(1,6)，故兩只球顏色不同的概率為1eq f(1,6)eq f(5,6).【變式探究】(2015湖南，16)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1、b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎(1)用球的標(biāo)號列出所有可能的摸出結(jié)果；(2)有人認(rèn)為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認(rèn)為正確嗎？請說明理由【解析】(1)所

5、有可能結(jié)果為：(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A3，b1)，(A3，b2)；(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)共計(jì)12種結(jié)果(2)設(shè)“中獎”為事件A，則P(A)eq f(4,12)eq f(1,3)，P(A)1eq f(1,3)eq f(2,3)，P(A)P(A)，故此種說法不正確【變式探究】(2015陜西， 19)隨機(jī)抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：日期12345689101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627

6、282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動會，估計(jì)運(yùn)動會期間不下雨的概率【解析】【變式探究】(2015北京，17)某超市隨機(jī)選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“”表示購買，“”表示未購買.商品顧客人數(shù)甲乙丙丁1002172003008598(1)估計(jì)顧客同時購買乙和丙的概率；(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？【解析】(1)從統(tǒng)計(jì)表

7、可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計(jì)為eq f(200,1 000)0.2.(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1 000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計(jì)為eq f(100200,1 000)0.3.【變式探究】(2015四川，17)一輛小客車有5個座位，其座位號為1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1，2，3，4，5，他們按照座位號從小到大的順序先后上車，乘客P1因身體原因沒

8、有坐自己的1號座位，這時司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位(1)若乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法下表給出了其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就坐的座位號填入表中空格處) 乘客P1P2P3P4P5座位號3214532451(2)若乘客P1坐在了2號座位，其他的乘客按規(guī)則就坐，求乘客P5坐到5號座位的概率【解析】(1)余下兩種坐法如下表所示： 乘客P1P2P3P4P5座位號3241532541(2)若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，則所有可能的坐法可

9、用下表表示為：乘客P1P2P3P4P5座位號2134523145234152345123541243152435125341于是，所有可能的坐法共8種，設(shè)“乘客P5坐到5號座位”為事件A，則事件A中的基本事件的個數(shù)為4，所以P(A)eq f(4,8)eq f(1,2).題型二古典概型例2(2015新課標(biāo)全國，4)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq f(3,10) B.eq f(1,5) C.eq f(1,10) D.eq f(1,20)【答案】C【解析】從1，2，3，4，

10、5中任取3個數(shù)有10個基本事件，構(gòu)成勾股數(shù)的只有3，4，5一組，故概率為eq f(1,10).【變式探究】(2014陜西，6)從正方形四個頂點(diǎn)及其中心這5個點(diǎn)中，任取2個點(diǎn)，則這2個點(diǎn)的距離小于該正方形邊長的概率為()A.eq f(1,5) B.eq f(2,5) C.eq f(3,5) D.eq f(4,5)【答案】B【解析】【變式探究】(2014湖北，5)隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則()Ap1p2p3 Bp2p1p3Cp1p3p2 Dp3p1p2【答案】C【解析】總的基本事件個數(shù)為36，向

11、上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10個，則向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率p1eq f(10,36)eq f(5,18)；向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率p21eq f(5,18)eq f(13,18)；向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)與向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的個數(shù)相等，故向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率p3eq f(1,2).即p1p3p2，選C.【變式探究】(2015天津，15)設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運(yùn)動員人數(shù)分別為27，9，18，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運(yùn)動員組隊(duì)參加比賽(1)求應(yīng)

12、從這三個協(xié)會中分別抽取的運(yùn)動員的人數(shù)；(2)將抽取的6名運(yùn)動員進(jìn)行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6，現(xiàn)從這6名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽用所給編號列出所有可能的結(jié)果；設(shè)A為事件“編號為A5和A6的兩名運(yùn)動員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率【解析】【變式探究】(2015山東，16)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1) 從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率；(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A

13、3，A4，A5，3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率【解析】題型三幾何概型例3(2015山東，7)在區(qū)間0，2上隨機(jī)地取一個數(shù)x，則事件“1logeq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)1”發(fā)生的概率為()A.eq f(3,4) B.eq f(2,3) C.eq f(1,3) D.eq f(1,4)【答案】A【解析】由1logeq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)1，得eq f(1,2)xeq f(1,2)2，0 xeq f(3,2).由幾何概型的概率計(jì)算公

14、式得所求概率Peq f(f(3,2)0,20)eq f(3,4).【變式探究】(2015湖北，8)在區(qū)間0，1上隨機(jī)取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“xyeq f(1,2)”的概率，p2為事件“xyeq f(1,2)”的概率，則()Ap1p2eq f(1,2) Bp2eq f(1,2)p1C.eq f(1,2)p2p1 Dp1eq f(1,2)p2【答案】D【解析】【變式探究】(2015福建，8)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(x1，x0，,f(1,2)x1，x0)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取

15、自陰影部分的概率等于()A.eq f(1,6) B.eq f(1,4) C.eq f(3,8) D.eq f(1,2)【答案】B【解析】由圖形知C(1，2)，D(2，2)，S四邊形ABCD6，S陰eq f(1,2)31eq f(3,2).Peq f(f(3,2),6)eq f(1,4).【變式探究】(2015重慶，15)在區(qū)間0，5上隨機(jī)地選擇一個數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個負(fù)根的概率為_【答案】eq f(2,3)【解析】方程x22px3p20有兩個負(fù)根，則有eq blc(avs4alco1(0，,x1x20，,x1x20，)即eq blc(avs4alco1(4p24（3p2）0，,

16、2p0，,3p20，)解得p2或eq f(2,3)p1，又p0，5，則所求概率為peq f(3f(1,3),5)eq f(f(10,3),5)eq f(2,3). 題型四隨機(jī)抽樣例4(2015四川，3)某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()A抽簽法 B系統(tǒng)抽樣法C分層抽樣法 D隨機(jī)數(shù)法【答案】C【解析】結(jié)合幾種抽樣的定義知選C.【變式探究】(2015北京，4)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年

17、教師人數(shù)為()A90 B100 C180 D300類別人數(shù)老年教師900中年教師1 800青年教師1 600合計(jì)4 300【答案】C【解析】由題意抽樣比為eq f(320,1 600)eq f(1,5)，該樣本的老年教師人數(shù)為900eq f(1,5)180(人)【變式探究】(2015福建，13)某校高一年級有900名學(xué)生，其中女生400名按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為_【答案】25【解析】題型五統(tǒng)計(jì)圖表例5(2015陜西，2)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為()A93 B12

18、3 C137 D167【答案】C【解析】由題干扇形統(tǒng)計(jì)圖可得該校女教師人數(shù)為：11070%150(160%C.【變式探究】(2015湖南，2)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示若將運(yùn)動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間139，151上的運(yùn)動員人數(shù)是()A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】【變式探究】(2015湖北，14)某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示(1)直方圖中的a_；(2)在這些購物者中，內(nèi)的購物者的人數(shù)為_【答案】(1)3(2)6 000【

19、解析】【變式探究】(2015新課標(biāo)全國，18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組50，60)60，70)70，80)80，90)90，100頻數(shù)2814106(1)在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)；B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿

20、意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由【解析】(1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散(2)【變式探究】(2015安徽，17)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為40，50)，50，60)，80，90)，90，100(1)求頻率分布直方圖

21、中a的值；(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在40，60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評分都在40，50)的概率【解析】(1)因?yàn)?0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022)100.4.所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4.(3)受訪職工中評分在50，60)的有：500.006103(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在40，50)的有：50102(人)，記為B1，B2，從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果

22、共有10種，它們是A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2又因?yàn)樗槿?人的評分都在40，50)的結(jié)果有1種，即B1，B2，故所求的概率為peq f(1,10). 【變式探究】(2015廣東，17)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以160，180)，180，200)，200，220)，220，240)，240，260)，260，280)，280，300分組的頻率分布直方圖如圖(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為220，240)，240，260)，260，28

23、0)，280，300的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在220，240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？【解析】題型六變量間的相關(guān)關(guān)系例6(2015新課標(biāo)全國，3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【答案】D【解析】【變式探究】(2015湖北，4)已知變量x和y滿足關(guān)系yx1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是()Ax與y正相