2016年中國科學技術大學自主招生數(shù)學試題解答

1、精細；挑選；精細；挑選；2016年中國科學技術大學自主招生數(shù)學試題解析2016.6數(shù)學試題解析2016.6一、填空題（每小題6分，共48分）3201除以100的余數(shù)為.解21于是嚴三21(mod解21于是嚴三21(mod100)3*三(1尸炯+心映(-1)17-10(mod100),由于3201s=9OOS=(10-l)loost有z復數(shù)z,z滿足Iz1=2,1z1=3,Iz+z1=4，則r的值是121212zCB22-322+32-422解+土羋仁設更數(shù)龍1,先：衍+比在境平面內(nèi)的對應點分別為A陽G則四邊彤OACB構(gòu)成平行四邊弱.lit222的模為接下來求它的輻角一在ZOAC中應用余弦定理+

2、有于是cosZAOB=進而可得4用S(A)表示集合A的所有元素之和，且A匸123,4,5,6,7,8,S(A)能被3整除，但不能被5整除，則符合條件的非空集合A的個數(shù)是.將菜合且劃分為出=1,4,712=2,5.As=&G,于是使得SA)能被3整除的非空集合A的個敎有(C+Ci)2+(C1)2-(Cl)2-22-l=87.接卩來考慮SA)能被15整除的非空集合A的個數(shù)，此時S(A)=15或S(A)=30.(1)S(A)=15.此時按盤大元素分利為&了衛(wèi),5分類“分別有乞弘玄1個，異計13個.侶朋(A)=30一此時只需晏考慮S(A)=6的淸形，共有4卜蹤上聽述十苻合條件的非空集合且的個數(shù)為87-

3、13-4=70.已知AABC中，sinA+2sinBcosC=0，則tanA的最大值是由sinAsin(J+(?)=sin13cosC+cosBsinC*彳皐3sinBcosC+cosBsinC=0?即3tanB+tanC*=0.于是tcLnB+tanCtcLnB+tanC2tanBtanA=_+C)=_L_tajiB.tanC=1+3tan2i?tcuiE+3tanB等號當tanE=.tanC=時取得.囲此tanA的餵丸值為.tjtj若對任意實數(shù)x都有I2x-aI+I3x-2ala2,則a的取值范圍是.處承得就小值f因此2的取值范S是6若ae能）be(0,1),x處承得就小值f因此2的取值范

4、S是6若ae能）be(0,1),x=(sina)igbsina,y=(cosa)igbcosa，貝xy(填，=C5csa=0InsinaIncosa=Insina-:-InbIno因此InjInALiffj-y.7.梯形ABCD中,AB/CD，對角線AC,BD交于P，過P作AB的平行線交BC于點Q,AQ1111交BD于P2，過P2作AB的平行線交BC于點Q2，若AB=a,CD=b，貝PQ=nn用a,b,n表示）-RljQrt=H祀理人則記D=UD=爲Ji8.數(shù)列a中，a是與需最接近的整數(shù)，則彗丄=nnan8.數(shù)列a中，a是與需最接近的整數(shù)，則彗丄=nnan=1n二、解答題（第9小題滿分16分，

5、第10、11小題滿分18分）9.已知a,b,c0,a2b2c2a+bcb+wcac+ab2解由均值不等式，有eye再由柯西不等式，有2a2L2a+b+c鼻i(a+b+c)=卯eyeu因此厲不等式得證一10.求所有函數(shù)f:NN*,使得對任意正整數(shù)x豐y,01f(x)10.求所有函數(shù)f:NN*,解=其中與1)即.根據(jù)題意,取=工+匚則有對任意工將爲均有01/(-1-/(r)|0.因此f為單射.這就意喘著f(x-1)f(x)三1或三一if否則炒然出現(xiàn)不阿的自變董映射到同-個正整數(shù)丄考慮到象的集合為閡此與工+1)幾工)三匚進而可/(n)=/(l)4-it其屮子W用一11.求方程2x-5y-7z=1的所

6、有非負整數(shù)解(x,y,z).離(G1S玄)=04町,(気厲1)槨據(jù)老.意.有卜匸_(_1尸，嚴三1(mod3),因州h希奇敢且卩旳借數(shù)-設皿十1小=2叭英中：nM.于是廊右程等阡于石河一甘護？=1.若死尹U,則2-t-l)m=1(mod&.于盾，于赴“二山此時屈專程爭轎于外護1產(chǎn)_1(1)3=0.則幗=門，囪比(込認吉)=(1,0)為笄舎題意苗一鉗解偲丿若2#L則-(-I)1=1(mod4),于是#希奇救，設盤一卯-門，戸訊則常方程年忻于若衛(wèi)=譏則叭=J因此(叭肌打=團,山1)卻朋合題拓的-組解.若p/D,則尬仝4,于走-7-lp=t(mod1)3芳膚一球上祈述，原方程的所有非巾趙數(shù)斡為(h他酉=(1,0,0),(3.0,1).這個過程成功就是先制定一個有價值的目標，然后逐步把它轉(zhuǎn)化成現(xiàn)實的過程。因為信念而牢固，因為平衡而持久。這個過程生活才需要目標，生命不需要目標。就像驢子面前吊著個蘿卜就會往前走。正因為有那個目標，你才有勁兒往前走。在做的過程中，你已體驗到生命是什么。問題是，沒有幾個人，能夠在沒有目標的情況下