幾個(gè)模型精品課件

1、幾個(gè)模型第1頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 1. 微分方程建模中假設(shè)的 提出 與 修改 問題 “ 商品價(jià)格變化的兩大特點(diǎn) ” ： 平衡價(jià)格應(yīng)是 商品供需平衡 的價(jià)位； 趨于過程應(yīng)具有慣性特征：呈現(xiàn) 阻尼震蕩 過程特征 建立在 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì) 下 價(jià)格變動(dòng)模型 具體問題：試圖建立一個(gè) 數(shù)學(xué)模型，描繪在健全的市場(chǎng) 經(jīng)濟(jì)框架下，商品價(jià)格受市場(chǎng)機(jī)制調(diào)節(jié)，偏高或偏低 的價(jià)格將會(huì) 自動(dòng)趨于平衡 。 建模目的：建立一個(gè)價(jià)格隨時(shí)間演變, 以 阻尼振蕩 方式 逐漸趨于理性的 商品供需平衡價(jià)格 的模型。第2頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 (3) 商品價(jià)格的變化速度 p (

2、 t ) 與市場(chǎng)的 過剩需求 D ( t ) S ( t ) 有關(guān). 假定它們之間成 正比 : (2) 商品供應(yīng) S ( t ) 隨價(jià)格 p ( t ) 的增大而上升 . 假定它們之間的關(guān)系也近似為 線性關(guān)系 ; 建模假設(shè)： (1) 商品需求 D ( t ) 隨價(jià)格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它們之間的關(guān)系近似為 線性關(guān)系 : 第3頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 模型建立： 第4頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 模型分析： 當(dāng) 時(shí) , 當(dāng)時(shí) , 結(jié)論未能達(dá)到建模目的！說明商品價(jià)格是 單調(diào) 地趨向平衡價(jià)格. 第5頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，

3、5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 建模假設(shè)的 修改 ： (3)* 商品價(jià)格的變化速度 p ( t ) 與市場(chǎng)的 過剩需求 D ( t ) S ( t ) 對(duì)時(shí)間 t 的 累積量有關(guān) ( 即考慮過剩 需求的時(shí)間滯后效應(yīng) ) . (2) 商品供應(yīng) S ( t ) 隨價(jià)格 p ( t ) 的增大而上升 . 假定它們之間的關(guān)系也近似為 線性關(guān)系 ; (1) 商品需求 D ( t ) 隨價(jià)格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它們之間的關(guān)系近似為 線性關(guān)系 : 假定它們之間成 正比 : 第6頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 模型再建立： 商品價(jià)格隨時(shí)間演變而處在 等幅震蕩 之中。

4、結(jié)論還未能達(dá)到建模目的！第7頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 建模假設(shè)的 再次修改 ： 假設(shè) (1) 、(2) 不變 ； (3)* 商品價(jià)格的變化速度 p( t ) 不僅與市場(chǎng)過剩需求 D ( t ) S ( t ) 對(duì)時(shí)間 t 的累積量有關(guān) , 還與當(dāng)時(shí)的價(jià)格與平衡價(jià)格 p* 的 偏差程度 有關(guān) ( 即考慮健全的市場(chǎng)有政府宏觀調(diào)控因素 ) , 假定它們之間也成 正比 ， 且比例系數(shù) 仍假定它們之間 成 正比 ; ( 強(qiáng)調(diào)政府宏觀調(diào)控只是微調(diào) ) 。第8頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 模型又一 次建立： 商品價(jià)格隨時(shí)間演變而呈現(xiàn) 阻尼震蕩 現(xiàn)象 。

5、 該結(jié)論達(dá)到建模目的！ 模型可采用 第9頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 2. 微分方程模型在 模型分析 中的主要問題之一 穩(wěn)定性分析 用微分方程方法建立的動(dòng)態(tài)模型問題 模型分析 中的一個(gè) 重要問題是：當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)后 ，動(dòng)態(tài)過程的 變化趨勢(shì) 是什么？ 微分方程模型中 , 方程 ( 組 ) + 初始條件 解 初始條件的作用在于確定解, 它的微小變化會(huì)產(chǎn)生不同的 解，換言之，對(duì)解的發(fā)展性態(tài)變化 , 往往具有影響作用 . 問題是這種對(duì)解的發(fā)展性態(tài)的影響作用是 長(zhǎng)期存在 的 , 還是當(dāng)時(shí)間充分大以后 , 影響作用會(huì) “消逝 ” ? （1）微分方程模型的穩(wěn)定性及其實(shí)際意義 第10頁(yè)

6、，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 有時(shí)候 , 初始條件的微小變化會(huì)導(dǎo)致解的性態(tài)隨時(shí)間變 大后 , 產(chǎn)生顯著的差異 , 這時(shí)稱 系統(tǒng)是不穩(wěn)定 的 ; 有時(shí)候 , 初始條件變化導(dǎo)致解的性態(tài)差異會(huì)隨時(shí)間變大 后而消失 , 這時(shí)稱該 系統(tǒng)是穩(wěn)定 的. 在實(shí)際問題中, 初始狀態(tài)不能精確地而只能近似地確定, 所以穩(wěn)定性問題的研究對(duì)于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的實(shí)際意義。 也就是說，在具有穩(wěn)定性特征的微分方程模型中, 長(zhǎng)遠(yuǎn) 來看, 最終發(fā)展結(jié)果與精確的初始狀態(tài)究竟如何 , 兩者 之間沒有多大關(guān)系, 初始狀態(tài)刻畫得精確不精確是無關(guān) 緊要的。第11頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月2

7、0日，9點(diǎn)3分，星期一 微分方程穩(wěn)定性理論 可以使我們?cè)诤芏嗲闆r下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描繪的系統(tǒng)是 穩(wěn)定 或 不穩(wěn)定 的結(jié)論。 研究者對(duì)于微分方程穩(wěn)定性理論的研究興趣往往大于 該方程解有無解析表達(dá)式的研究興趣。 在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)中，很多問題中涉及到的微分方 程是一類稱為 自治系統(tǒng) 的方程 。 自治方程 是指方程中不顯含自變量 t 的微分方程，例如第12頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 自治方程 中的解隨時(shí)間不斷變大如有穩(wěn)定變化趨勢(shì)， 則這個(gè)解的 最終趨勢(shì)值 只能是該方程的 平衡點(diǎn) 。的 平衡點(diǎn) 是指代數(shù)方程 的根 （可能不止一個(gè)根） ；的 平衡點(diǎn) 是指代

8、數(shù)方程組 的解 （可能不止一組解）。 如果存在某個(gè)鄰域，使微分方程的解 x ( t ) 從這個(gè)鄰域 內(nèi)的某個(gè)點(diǎn) x ( 0 ) 出發(fā)， 滿足 : 則稱微分方程 的 平衡點(diǎn) 是 穩(wěn)定 的；第13頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 如果存在某個(gè)鄰域，使微分方程的解 x ( t ) ， y ( t ) 從這個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)點(diǎn) x ( 0 ) ， y ( 0 ) 出發(fā)， 滿足 : 則稱微分方程 的 平衡點(diǎn) 是 穩(wěn)定 的。 上述 一階自治方程 和 二階自治方程組 解的 穩(wěn)定性理論 結(jié)果可簡(jiǎn)介如下： 第14頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 非線性方程 ( 一個(gè)方程

9、) 情況 形式 : x( t ) = f ( x( t ) ) 平衡點(diǎn) : 解 f ( x ) = 0 , 得 x = x0 . 注意: 有時(shí)該方程的 根不止一個(gè). 穩(wěn)定意義 : 當(dāng) t 時(shí), 如 x x0 , 則稱 x0 是穩(wěn)定的 平衡點(diǎn); 否則稱 x0 是不穩(wěn)定平衡點(diǎn).第15頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 由此 , 當(dāng) f ( x0 ) 0 時(shí), x x0 ; 當(dāng) f ( x0 ) 0 時(shí), x +. (c) 一階非線性問題的穩(wěn)定性結(jié)論 : 根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)理論 , 一階非線性問題的穩(wěn)定性在非臨界情況下，與一階 線性問題結(jié)論完全相同. 研究方法 : (a) 作 f (

10、x ) 的線性替代 ( 利用一元函數(shù)的泰勒展開式 ) : f ( x ) f ( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) = f ( x0 )( x - x0 ) ; (b) 線性問題研究: 求解 x = f ( x0 )( x x0 ) , 解得 第16頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一非線性方程 ( 兩個(gè)方程 ) 組情況 平衡點(diǎn): 解 f (x , y) = 0 , 得 x = x 0 g ( x , y ) = 0 , y = y 0 . y ( t ) = g ( x ( t ) , y ( t ) ) 形式 : x ( t ) = f ( x ( t

11、) , y( t ) ) , 穩(wěn)定意義 : 當(dāng) t + 時(shí), 如 x x0 , y y0 , 則稱 ( x0 , y0 ) 是穩(wěn)定的平衡點(diǎn) ; 否則稱 ( x0 , y0 ) 是不穩(wěn)定平衡點(diǎn). 上面的方程組有時(shí)可能不止一組解.第17頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 研究方法 : 作 f ( x , y ) 與 g ( x , y ) 的線性替代（利用二元函數(shù) 的泰勒展開式）: f ( x , y ) fx( x0 , y0 )( x - x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y - y0 ) ; g ( x , y ) g x( x0 , y0 )( x - x

12、0 ) + g y ( x0 , y0 )( y - y0 ).(b) 線性問題研究: 記 a1= f x( x0, y0 ) , a2 = f y ( x0, y0 ) , b1 = g x ( x0, y0 ) , b2 = g y ( x0, y0 ) , p = - ( a1 + b2 ) , q = a1 b2 - a2 b1 , 并無妨設(shè) x0 = 0 , y0 = 0 ; 第18頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一求解 其中 1 , 2 為特征方程 r 2 + p r + q = 0 的兩根 .這里 1 +2 = - p , 1 2 = q 或?qū)憺?第19頁(yè)，共

13、52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 (1) 當(dāng) p 0 , q 0 時(shí), 如果 p2 4q 0，由 1 +2 = - p , 1 2 = q , 推得 1 與 2 均為負(fù)數(shù) ， 故當(dāng) t + 時(shí)，e 1 t 與 e 2 t 均趨于零 ， 系統(tǒng)穩(wěn)定 ; 如果 p2 4q 0，由 1 +2 = - p , k = i 中 為負(fù)數(shù) （ k = 1 ，2 ） ， 故當(dāng) t + 時(shí)，ek t = et（ sint cost ） （ k = 1 ，2 ） 也均趨于零 ， 系統(tǒng)仍為穩(wěn)定的 ；第20頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 (2) 當(dāng) p 0 時(shí), 如果 p2 4q

14、 0 ，由 1 +2 = - p , 可推出 1 與 2 中至少有一個(gè)為正數(shù)， 故當(dāng) t + 時(shí)，e1 t 與 e2 t 中至少有一個(gè) 趨于 + ，系統(tǒng)不穩(wěn)定 ; 如果 p2 4q 0，仍由 1 +2 = - p , 可推出 k = i （ k = 1 ，2 ） 中 為正數(shù) ， 故當(dāng) t + 時(shí), ek t = et（ sint cost ） （ k = 1 ，2 ） 趨于 + ，仍可推出 系統(tǒng)不穩(wěn)定 。第21頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 (3) 當(dāng) q 0 時(shí) , 此時(shí)必定有 p2 4q 0 ， 此時(shí) 系統(tǒng)也必不穩(wěn)定 。 由 1 2 = q , 可推出 1 與 2

15、中至少有一個(gè)為 正數(shù)， 故當(dāng) t + 時(shí)，e1 t 與 e2 t 中至少有一個(gè)趨于 + ，第22頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 當(dāng) p 0 , q 0 時(shí) , 相應(yīng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的； 當(dāng) p 0 或當(dāng) q 0 時(shí) , 相應(yīng)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。 綜述之，在線性方程組非臨界（p 0 ) 情況中 第23頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 (C) 非線性問題的 穩(wěn)定性結(jié)論 : (i) 若相應(yīng)的線性問題是 穩(wěn)定 的 , 則對(duì)應(yīng)非線性問題也 是 穩(wěn)定 的 ； (ii) 若相應(yīng)的線性問題是 不穩(wěn)定 的, 則對(duì)應(yīng)非線性問題 也是 不穩(wěn)定 的. 在非臨界情況下 （p

16、0 ) ，第24頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 微分方程穩(wěn)定性理論 的應(yīng)用實(shí)例 漁場(chǎng)防止捕撈過渡問題 建模目的：建立一個(gè)在有捕撈的情況下，漁場(chǎng)中魚量 隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型 ，藉此研究魚量數(shù) 隨時(shí)間變化的發(fā)展趨勢(shì)。 建模假設(shè)： (1) 在無捕撈條件下，魚量數(shù) x ( t ) 的增長(zhǎng)服從 Logistic 規(guī)律： (2) 有捕撈時(shí)，單位時(shí)間的捕撈量 h 與漁場(chǎng)魚量成正比： 第25頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 模型建立與分析： 令 當(dāng) k r 時(shí), f ( x1 ) = - r + k 0 , x2 為不穩(wěn)定點(diǎn) ； 當(dāng) k r 時(shí), f ( x1 )

17、 = - r + k 0 , x1 為不穩(wěn)定點(diǎn) ， f ( x2 ) = r k 0 , q 2 0 ; q 3 0 ; ( x2 , k2 ) 是穩(wěn)定的 ， ( x3 , k3 ) 是不穩(wěn)定的 ； 第29頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 當(dāng) p N c 時(shí) , q 2 0 , q 3 0 ; ( x 2 , k 2 ) 是不穩(wěn)定的 ， ( x 3 , k 3 ) 是穩(wěn)定的 ；第30頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 3. 偏微分方程 建模問題 休漁期魚群分布規(guī)律模型 建立實(shí)行休漁政策下近海魚群分布情況的數(shù)學(xué)模型。建模假設(shè)：(1) 海岸線近似為直線；魚

18、群只沿垂直于海岸 線方向向外游動(dòng)；故問題的空間維數(shù)可取為一維；海岸 0 外海 x (2) 規(guī)定休漁區(qū)域在沿海 l 公里以內(nèi)；休漁邊界 x = l 外，魚群將全部被外海漁船打盡； (3) 任何地點(diǎn) x 、任何時(shí)刻 t 的魚群密度分布函數(shù) u ( x , t ) 為可微函數(shù)；第31頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 (4) 初始時(shí)刻的魚群密度分布函數(shù) u ( x , 0 ) 為已知函數(shù) u 0 ( x ) ； (5) t 時(shí)刻 、x 處魚群密度 u ( x, t ) 的增長(zhǎng)速度為 已知函數(shù) f ( u ) ; (6) t 時(shí)刻 、x 處魚群數(shù)向外游動(dòng)的擴(kuò)散量 ( x , t )

19、 與 u x ( x, t ) 成正比 ，比例系數(shù)為常數(shù) a 2 ： 這個(gè)假設(shè)類似于熱量擴(kuò)散問題中的 Fourier 法則 。 第32頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一建模過程 單位時(shí)間里 ， a , b 段上魚群數(shù)的變化量為： 這個(gè)變化量可分為兩項(xiàng)之和，一項(xiàng)為單位時(shí)間里，殘留 在 a , b 段內(nèi)的魚群數(shù)： 另一項(xiàng)為單位時(shí)間里， a , b 段內(nèi)的新生魚群數(shù)： 第33頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 其中初邊值 條件為：第34頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一0lxt 這個(gè)偏微分方程的初、邊值問題是 適定的 ，即問題的解是 存在、

20、唯一 的，且 連續(xù)依賴 于初邊值數(shù)據(jù)。第35頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 4. 自由邊界問題 自由邊界問題是一類較為復(fù)雜的偏微分方程問題，這種 類型的問題在各種各樣的應(yīng)用中非常頻繁地出現(xiàn)，例如 它可出現(xiàn)在物相變化過程、化學(xué)反應(yīng)過程、生物擴(kuò)散 過程、土壤凍過程等等的物理、化學(xué)現(xiàn)象之中，甚至 還出現(xiàn)在金融衍生物價(jià)格計(jì)算、抵押貸款評(píng)估研究等等 的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之中。 （1）一相 Stefan 問題 考慮一根套在與四周完全絕緣隔熱的管子中而正在融 化的細(xì)冰棍；其右端為冰，左端為融化而成的水。擬 建立一個(gè)融化水區(qū)域上任意點(diǎn)處溫度隨時(shí)間演變的模型。第36頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月2

21、0日，9點(diǎn)3分，星期一 建模假設(shè)： （1）假定冰區(qū)域溫度恒等于零度； （2）假定水區(qū)域中熱量傳導(dǎo)服從 Fourier 定律 ，即 單位時(shí)間中高溫點(diǎn)到低溫點(diǎn)的熱流量大小與兩點(diǎn) 之間的溫差成正比；由此可推出以下等式： （3）假定水的密度 、比熱 c 、熱傳導(dǎo)系數(shù) k 和 為了融化冰為水的潛熱 L 均為常數(shù) 。第37頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 取細(xì)棍的一小段 x , x +x , 設(shè)細(xì)棍的截面積為 s 0 厘米2 ； 記 q ( x , t ) 為熱流密度（卡 / 秒 厘米2 , 單位時(shí)間內(nèi)通過 單位面積 的熱量）， 則在 t 時(shí)間內(nèi)，沿 x 方向流入小段 x , x +

22、x 的總熱量數(shù)近似為：q ( x , t ) s 0 t （卡） , 流出小段 x , x +x 的總熱量數(shù)近似為： q ( x +x , t ) s 0 t （卡） , 流入小段與流出小段的熱量差使得小段中水的溫度升 高，這個(gè)熱量差可以根據(jù)下式計(jì)算：（ x s 0 ）c u ( x , t +t ) u ( x , t ) （卡） ，第38頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 這樣便可得： 根據(jù) Fourier 定律，有： 這個(gè)方程稱為熱傳導(dǎo)方程第39頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 在融化而成的水域里 ，水的溫度 u ( x , t ) 服從 熱傳導(dǎo)

23、 方程 ： u t = a2 uxx , x ( 0 , s0 ) , t ( 0 , + ) . 為求解這個(gè)偏微分方程，還需知道左、右邊界值和初值。 在 左邊界上 水溫為已知函數(shù)： u ( 0 , t ) = u 1 ( t ) 0 ; 假定水溫的 初值 為已知函數(shù) ： u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) ； 由于右邊界端處的 熱傳導(dǎo)，冰在不斷融化，故水域的 右邊界是一條 移動(dòng)邊界 ，或稱為 自由邊界 。 這條 自由邊界 本身也是需要求解的 未知一元函數(shù)！第40頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一0L冰水xts0 x = s ( t ) 易知，在移動(dòng)的右邊界 s

24、 ( t ) 上水溫函數(shù)應(yīng)滿足： u ( s ( t ) , t ) = 0 ；為了決定 自由邊界 的位置，還需導(dǎo)出邊界上另一個(gè)條件 。t1t2t3t4第41頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 設(shè)在 t 時(shí)段內(nèi)，移動(dòng)邊界向右移動(dòng)了一段路程 x ， x為了融化邊界移動(dòng)中消失的冰， 需要一份熱量，其數(shù)量應(yīng)是： 在 t 時(shí)段內(nèi)，從邊界左邊水域中傳入陰影冰區(qū)域內(nèi)的 總熱量根據(jù) Fourier 定律，應(yīng)是： 兩者應(yīng)該相等：第42頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 令 t 0 ， 可得： 于是，融化水區(qū)域上任意點(diǎn)處溫度 u ( x , t ) 隨時(shí)間 t 演變的模型

25、為： xtx = s ( t )0s0 偏微分方程理論研究證明了這個(gè)問題也是 適定 的 。 第43頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 （2）兩相 Stefan 問題 如果冰區(qū)域溫度不恒等于零度，該區(qū)域中也有熱傳導(dǎo) 過程，則一相 Stefan 問題就變成了兩相 Stefan 問題。xtx = s ( t )0s0L這個(gè)問題的 適定性 也已獲得證明 。第44頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 （3） 細(xì)胞體內(nèi)氧氣的擴(kuò)散與吸收問題 細(xì)胞體內(nèi)氧氣的會(huì)向周邊 擴(kuò)散 ，在 擴(kuò)散 的同時(shí)，細(xì)胞 體也在 吸收 氧氣以維持生命 ；如果細(xì)胞得不到氧氣的 供給將會(huì)死亡。建立一個(gè)描繪該 擴(kuò)散 吸收 過程的數(shù) 學(xué)模型。 為簡(jiǎn)單計(jì)，以下只考慮一個(gè)一維細(xì)胞體模型。 第45頁(yè)，共52頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)3分，星期一 建模假設(shè)： （1）假定氧氣在細(xì)胞體中從氧氣濃度