二階矩過程精品課件

1、二階矩過程第1頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日一 、 二階矩過程的定義定義：若對任意的t屬于T， 存在，則 稱 Xt為二階矩過程。 在隨機過程中，若一個隨機過程是嚴平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程，原因就是這個過程可能不存在二階矩。 第2頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日二、 概述水準：半經驗半概率法，也就是對影響結構可靠度的某些參數進行數理統計分析，并與經驗相結合，然后引入某些經驗系數，不能對結構可靠度作出定量估計。水準：又稱一次二階矩法，或稱近似概率法，他采用概率論的方法對結構可靠度進行計算，不過不是采用精確的計算方法，而是采用近似的方法計算結構的可

2、靠度。第3頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日水準：又稱全概率法，是完全基于概率論的結構可靠度精確分析方法。 二階矩理論近年來已得到廣泛應用與發(fā)展，屬于水準的近似概率方法。它將結構的抗力R和載荷效應S作為隨機變量，近似計算可靠度和可靠性指標。 最常用的方法為一次二階矩法。一次指將功能函數按照泰勒展開，僅取一次項，二階矩指僅需要用到隨機變量的均值（原點一階矩）和標準差（二階中心矩）。第4頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日一次二階矩法一般分為兩種 （1）、不考慮隨機變量的實際分布，給出有關結構構件可靠度的解析表達式，采用泰勒級數在平均值（中心點）處展開，進

3、行分析和計算，稱為中心點法。 也可采用在設計驗算點進行展開，用迭代求解方法求可靠度指標，稱為驗算點法。 （2）、考慮隨機變量的實際分布，將非正態(tài)分布當量正態(tài)化，然后采用中心點法或驗算點法進行可靠度計算。第5頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日三、均值一次二階矩法（中心法）1、基本概念 均值一次二階矩法是結構可靠度研究初期提出的一種方法，其基本思想是首先將非線性功能函數在隨機變量的平均值(中心點)處作泰勒級數展開并保留至一次項，然后近似計算功能函數的平均值和標準差。第6頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日2、推導過程 設X1,X2,Xn是結構中n個相互獨立

4、的隨機變量，其平均值為 ,標準差為 ,功能函數 將功能函數Z在平均值處展開且保留至一次項，即第7頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日ZL平均值和方差為結構可靠指標為第8頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日3、優(yōu)缺點優(yōu)點：計算簡便。缺點：不能考慮隨機變量分布概型；將非線性功能函數在隨機變量的平均值處展開不合理，隨機變量的平均值不在極限曲面上，展開后的線性極限狀態(tài)平面可能會與原極限狀態(tài)曲面產生較大偏離；對有相同力學含義但數學表達式不同的極限狀態(tài)方程，求得的結構可靠指標值不同。適用條件：結果比較粗糙，適用于可靠度要求不高的情況，如鋼筋混泥土結構正常使用極限狀態(tài)

5、的可靠度分析。第9頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日 例題1：圓截面直桿，承受拉力P=100kN，已知材料屈服強度fy的均值及標準差、桿的直徑均值和標準差分別為：用均值一次二階矩法求桿的可靠性指標解題思路： 給出極限狀態(tài)方程 求偏導，給出均值泰勒展開線性化方程 求均值 求標準差 求可靠性指標第10頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日解：P為常量，fy與d為隨機變量。 用極限載荷表示的極限狀態(tài)方程為：，所以有：第11頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日線性化后的極限狀態(tài)方程為：方程為：由此有： Z的均值第12頁，共30頁，2022年，

6、5月20日，8點30分，星期日Z的標準差：可靠度指標為：還有另一種解法，以P為常量，fy與d為隨機變量用應力極限狀態(tài)方程來進行求解。第13頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日四、驗算點法一次二階矩1、基本概念 為解決均值一次二階矩的問題，將線性化點選在失效邊界上，而且選在于結構最大可能失效概率對應的設計驗算點P*(S*,R*)上。依此得到的方法稱為改進一次二階矩法或驗算點法。該方法是1974年由Hasofer和Lind提出來的，也稱H-L法。 定義可靠度指標為：在標準化坐標系中從原點（均值點）到失效面的最短距離。當極限狀態(tài)方程為線性的時候，則 第14頁，共30頁，2022年

7、，5月20日，8點30分，星期日 當極限狀態(tài)方程為非線性的時候，則必須采用其他的方法來求得，其中最常用的是迭代法。 給出迭代過程解法：（1）給定一個值（2）對全部變量Xi，選取設計驗算點的初值， 一般取均值， 。（3）計算 （4）由4-3-6計算 的值。（5）由4-3-9計算新的驗算點 的值。（6）重復步驟3-5，直到 前后兩次的差值在容許 誤差范圍內為止。（7）將所得的 值代入4-3-10式計算g值。第15頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日 （8）檢驗 的條件是否滿足，若不滿足，再次給定一個值，并重復3-7步。 （9）再次檢驗 的條件是否滿足，若不滿足，則計算前后兩次和

8、g的各自差值的比值 ，且令 估算新的 值，并重復步驟3-7，直到獲得 為止 （10）由 或 計算結構可靠度或失效概率。 （11） 的誤差一般要求在0.01之內。第16頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日2、關于驗算點法總結 對于驗算點法，只要是等效的狀態(tài)方程，其結果必然是相同的，從而避免了中心點法的致命問題。在實際工程計算中，驗算點法已作為求解可靠度指標的基礎，并有時直接簡稱為一次二階矩法。但是要注意，用一次二階矩法只有在統計獨立的正態(tài)分布變量和線性極限狀態(tài)方程下才能得到精確值，而對于非線性狀態(tài)方程則為近似值。在工程結構中，變量基本都為統計獨立的，但卻不一定是正態(tài)分布，對應

9、其他分布變量，則需采用其他方法。第17頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日五、JC法1、基本概念 （1）JC法是Hasofer,Lind,Rackwitz和Fiessler, Paloheimo和Hannus等人提出的驗算點法。 （2）適用于隨機變量為非正態(tài)分布的結構可靠指標的計算。 （3）通俗易懂，計算精度又能滿足工程實際需要。 （4）國際結構安全度聯合委員會(JCSS)推薦使用，故稱為JC法。 （5）我國建筑結構設計統一標準(GBJ68-84)和鐵路工程結構設計統一標準(GB50216-94)中都規(guī)定采用JC法進行結構可靠度計算第18頁，共30頁，2022年，5月20日

10、，8點30分，星期日2、推導過程兩個隨機變量為正態(tài)分布時，其極限方程為標準化變換極限狀態(tài)方程變?yōu)椋?）（2）（3）第19頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日將(3)變?yōu)闃藴史ň€式直線方程（4）式中（5） 是坐標系 中原點 到極限狀態(tài)直線的距離 （其中P*是垂足） 在驗算點法中， 的計算就轉化為求 的長度第20頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日 兩個正態(tài)隨機變量的極限狀態(tài)方程和設計驗算點第21頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日多個正分布隨機變量時，極限方程為標準化正態(tài)變換，即極限狀態(tài)方程(6)(7)(8)方向余弦為(9)第22頁，共

11、30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日并且由方向余弦可知由(7)和(11)得整理得(10)(11)(12)(13)第23頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日3、當量正態(tài)化法（1）非正態(tài)分布時，可采取以下三種方法： a.當量正態(tài)化法 b.映射變換法 c.實用分析法（2）JC法為當量正態(tài)化法，將原來非正態(tài)分布隨機變量Xi用等效正態(tài)分布代替，要求滿足以下2個條件：a.原函數值F(xi*)與當量正態(tài)函數值F(xi*)相等b.原概率密度值f(xi*)與當量正態(tài)分布概率密度值f(xi*)相等 根據上述2個條件求等效正態(tài)分布的均值 和標準差 。第24頁，共30頁，2022年，

12、5月20日，8點30分，星期日六、映射變換法1、基本概述 采用數學變換的方法將非正態(tài)隨機變量變換為正態(tài)隨機變量，問題得到解決。 映射變換法少了JC法的當量正態(tài)化過程，但多了映射變換的過程，因此兩種方法的計算量基本相當。 JC法采用當量正態(tài)化的方法概念上比較直觀，映射變換法數學上更嚴密一些，因此結構可靠度進一步的理論分析則采用映射變換法更為科學。第25頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日2、推導過程 設n個相互獨立的隨機變量為X1，X2，Xn，功能函數為作映射變換則為標準正態(tài)隨機變量（14）（15）（16）第26頁，共30頁，2022年，5月20日，8點30分，星期日是標準正態(tài)隨機變量（14),(15),(16)聯立方程簡化為其中（17）（18）（19）第27頁，共30頁，202