圓錐曲線大題全攻略講義

1、 圓錐曲線大題全攻略目錄求軌跡方程問(wèn)題圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題圓錐曲線中的定值問(wèn)題圓錐曲線中的最值問(wèn)題點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題常見(jiàn)幾何關(guān)系的代數(shù)化方法圓錐曲線中的非對(duì)稱(chēng)“韋達(dá)定理”問(wèn)題處理技巧圓錐曲線中的三點(diǎn)共線問(wèn)題巧用曲線系方程解決圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓問(wèn)題拋物線中阿基米德三角形的常見(jiàn)性質(zhì)及應(yīng)用圓錐曲線中的雙切線題型圓錐曲線中的求軌跡方程問(wèn)題解題技巧求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程這類(lèi)問(wèn)題可難可易是高考中的高頻題型，求軌跡方程的主要方法有直譯法、相關(guān)點(diǎn)法、定義法、參數(shù)法等。它們的解題步驟分別如下：直譯法求軌跡的步驟：設(shè)求軌跡的點(diǎn)為由已知條件建立關(guān)于的方程；化簡(jiǎn)整理。相關(guān)點(diǎn)法求軌跡的步驟：設(shè)求軌跡的點(diǎn)為，相關(guān)點(diǎn)為;根據(jù)

2、點(diǎn)的產(chǎn)生過(guò)程，找到與的關(guān)系，并將用和表示；將代入相關(guān)點(diǎn)的曲線，化簡(jiǎn)即得所求軌跡方程。定義法求軌跡方程：分析幾何關(guān)系；由曲線的定義直接得出軌跡方程。參數(shù)法求軌跡的步驟：引入?yún)?shù)；將求軌跡的點(diǎn)用參數(shù)表示；消去參數(shù)；研究范圍?！纠?.】已知平面上兩定點(diǎn)點(diǎn)滿足求點(diǎn)的軌跡方程?！纠?.】已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程?！纠?.】已知圓點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程?！纠?.】過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程。專(zhuān)題練習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)若直線上存在點(diǎn),使得則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).已知為圓上任意一點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為則的取值范圍為_(kāi).拋物線的

3、焦點(diǎn)為點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi).已知定圓定點(diǎn)動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)且與定圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_(kāi).已知定直線定圓動(dòng)圓與直線相切，與定圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_(kāi).直線與拋物線的斜率為1的平行弦的中點(diǎn)軌跡有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).拋物線的焦點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形求頂點(diǎn)的軌跡方程。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。若直線的方程為求的值；若求線段的中點(diǎn)的軌跡方程。 直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題解題技巧證明動(dòng)直線在一定的條件下過(guò)定點(diǎn)是解析幾何中的一類(lèi)重要題型,這類(lèi)問(wèn)題解題一般有兩種解法.【法1】設(shè)直線，求解參數(shù)，一般的解題步驟為：(

4、1).設(shè)出直線的方程或；(2).通過(guò)題干所給的已知條件,進(jìn)行正確的運(yùn)算,找到和和的關(guān)系，或者解出的值；根據(jù)(2)中得出的結(jié)果,找出直線過(guò)的定點(diǎn).【法2】求兩點(diǎn)，猜定點(diǎn)，證向量共線。一般的解題步驟為：.通過(guò)題干條件，求出直線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(含參)；(2).取兩個(gè)具體的參數(shù)值，求出對(duì)應(yīng)的直線，并求出它們的交點(diǎn)，該點(diǎn)即為直線過(guò)的定點(diǎn)；(3)證明與共線，得出直線過(guò)定點(diǎn)。注：上面的兩個(gè)解法中，解法2的計(jì)算量通常要大一些，故一般首選解法1.當(dāng)解法1失效或處理起來(lái)較為復(fù)雜時(shí)再考慮解法2.【例一】已知橢圓的半焦距為，離心率為，左頂點(diǎn)到直線扥距離為6，點(diǎn)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。求橢圓的方程；若直線,求證：直線過(guò)定

5、點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)?！纠?】已知一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線。求曲線的方程；過(guò)點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線，分別交曲線于不同的兩點(diǎn)和,設(shè)線段的中點(diǎn)分別為.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；求的最小值。專(zhuān)題練習(xí)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離為3，且過(guò)點(diǎn)。求的方程；設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)是，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（均不與重合），且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說(shuō)明理由。橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)都在直線上。求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；為橢圓上的兩點(diǎn)，且直線的斜率之積為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)。拋物線上一點(diǎn)滿足，其中為拋物線的焦點(diǎn)。求拋物

6、線的方程；設(shè)直線和分別與拋物線交于不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)。已知直線的方程為，點(diǎn)是拋物線上距離直線最近的點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與軸平行的直線與拋物線交于點(diǎn)。求點(diǎn)的坐標(biāo)；證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。圓錐曲線中的定值問(wèn)題解題技巧1.在圓錐曲線問(wèn)題中,定值問(wèn)題是常考題型,解題的一般步驟為:（1）設(shè)出直線的方程或、點(diǎn)的坐標(biāo);（2）通過(guò)題干所給的已知條件,進(jìn)行正確的運(yùn)算,將需要用到的所有中間結(jié)果(如弦長(zhǎng)、距離等)表示成直線方程中引入的變量，通過(guò)計(jì)算得出目標(biāo)變量為定值2.解析幾何大題計(jì)算過(guò)程中經(jīng)常用到弦長(zhǎng)公式,下面給出常用的計(jì)算弦長(zhǎng)的公

7、式:(1)若直線的方程設(shè)為則(2)若直線的方程設(shè)為,則注:其中指的是將直線的方程代入圓錐曲線方程后,化簡(jiǎn)得出的關(guān)于或的一元二次方程的平方項(xiàng)系數(shù),指的是該方程的判別式.通常用或計(jì)算弦長(zhǎng)較為簡(jiǎn)便【例1.】設(shè)拋物線直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于、兩點(diǎn)，證明：為定值。【例2.】已知橢圓的離心率為的面積為1.求橢圓的方程；設(shè)為上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)直線與軸交于點(diǎn)求證：為定值。專(zhuān)題練習(xí)已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)。求橢圓的方程；設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求證：為定值。已知點(diǎn)，直線為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且。求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡與兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求的值。

8、3.已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且直線交軸于，直線交軸于。求直線的斜率的取值范圍；設(shè)為原點(diǎn)，求證：為定值。4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值。5.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線分別交直線于兩點(diǎn)。求橢圓的方程；若的坐標(biāo)為，求直線的方程；記兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，問(wèn)：是不是定值？6.過(guò)拋物線上一定點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于不與重合

9、的兩點(diǎn)。求該拋物線上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離；當(dāng)與的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明直線的斜率為非零的常數(shù)，并求出此常數(shù)。圓錐曲線中的最值問(wèn)題解題技巧求最值(范圍)問(wèn)題是圓錐曲線?？碱}型,這類(lèi)題解題的一般步驟是：(1)設(shè)出直線的方程或、點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將直線的方程代入圓錐曲線中,計(jì)算弦長(zhǎng)、點(diǎn)到直線的距離等中間量；(3)將求范圍的目標(biāo)量表示成直線中引入的參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;(4)運(yùn)用函數(shù)、均值不等式等基本方法求出最值(范圍).【例1.】已知點(diǎn)橢圓的離線率為是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn)。求方程；設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程。專(zhuān)題練習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足點(diǎn)的

10、軌跡為曲線。求的方程；為上的動(dòng)點(diǎn)，為在點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)到距離的最小值。已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)。求橢圓的方程；記與的面積分別為和，求的最大值。已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)作斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，。求拋物線的方程；已知?jiǎng)訄A的圓心在上，且過(guò)定點(diǎn)，若動(dòng)圓與軸交于兩點(diǎn)，求的最小值。已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為。求橢圓的方程；設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，線段的中垂線為，若直線與相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，求的最小值。設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)。證明為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)

11、的軌跡方程；設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于兩點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍。已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓與兩點(diǎn)。求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；將表示為的函數(shù)，并求的最大值。如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且在點(diǎn)右側(cè)，記的面積分別為。求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。常見(jiàn)幾何關(guān)系的代數(shù)化方法解題技巧解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，因此，積累一些常見(jiàn)的幾何關(guān)系的代數(shù)化方法是有必要的，本專(zhuān)題歸納了一些常見(jiàn)的幾何關(guān)系的處理方法：以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn);點(diǎn)P在以AB為直徑的圓內(nèi);點(diǎn)P在以A

12、B為直徑的圓外;四邊形PQRS為平行四邊形對(duì)角線PR與QS互相平分;四邊形PQRS為菱形對(duì)角線PR與QS互相垂直平分；四邊形PQRS為矩形對(duì)角線PR與QS互相平分且相等；,其中M為AB的中點(diǎn)；直線AB與直線MN關(guān)于水平線或豎直線對(duì)稱(chēng);F為的垂心、且.【例一】已知圓C：及點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)P在圓上，M,N分別為PF，PC上的點(diǎn)，且滿足.求N的軌跡W的方程；是否存在過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線與曲線W相交于A,B兩點(diǎn)，并且與曲線W上一點(diǎn)Q，使得四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由?！纠吭谥苯亲鴺?biāo)系中，曲線與直線交于M,N兩點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；在

13、軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有說(shuō)明理由。專(zhuān)題練習(xí)已知A,B,C是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形為菱形時(shí)，求此菱形的面積；當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，判斷四邊形是否可能為菱形，并說(shuō)明理由；已知橢圓的右焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，且橢圓的離心率為。求橢圓的方程；是否存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由。直線圓其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為直線被圓截得的弦長(zhǎng)與橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等。求橢圓的方程；過(guò)點(diǎn)（3，0）的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)是否存在直線，使若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由。設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作斜

14、率為1的直線與相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列。求橢圓的離心率；設(shè)點(diǎn)滿足求的方程。已知橢圓直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；若過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率；若不能，說(shuō)明理由。設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且過(guò)點(diǎn)求橢圓的方程；設(shè)為直線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn),證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題解析技巧設(shè)直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，這類(lèi)與圓錐曲線的弦和弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，一般叫做中點(diǎn)弦問(wèn)題，點(diǎn)差法是解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的重要方法。其解題的一般步

15、驟是：設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、；代入圓錐曲線的方程；將所得方程作差，結(jié)合中點(diǎn)公式、斜率公式等化簡(jiǎn)，得出結(jié)果。【例一】已知雙曲線，點(diǎn)是雙曲線一條弦的中點(diǎn)，則該弦所在直線的方程為_(kāi).【例二】已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。專(zhuān)題練習(xí)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，則直線的方程為_(kāi).已知拋物線，過(guò)點(diǎn)引拋物線的一條弦，使該弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在直線的方程為_(kāi).已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為_(kāi).橢圓的弦被點(diǎn)平分，則直線的方程為_(kāi).已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，則直線的斜率為 （ ） 橢圓的斜率為3的弦的中

16、點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi).拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).已知橢圓，直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為。證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值。9.已知雙曲線，是否存在過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且恰為的中點(diǎn)？10.已知橢圓的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的距離為。求橢圓的離心率；如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求橢圓的方程。圓錐曲線中的非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)定理問(wèn)題處理技巧解析技巧在圓錐曲線問(wèn)題中，將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去或，得到關(guān)鍵方程（不妨設(shè)方程的兩根為和），結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)進(jìn)行其他的運(yùn)算是常見(jiàn)的解題方法。能夠利用韋達(dá)定理計(jì)算的量一般有等，但在某

17、些問(wèn)題中，可能會(huì)涉及需計(jì)算兩根系數(shù)不相同的代數(shù)式，例如，運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)了等結(jié)構(gòu)，且無(wú)法直線通過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)化為系數(shù)相同的情況處理，像這種非對(duì)稱(chēng)的韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)，通常是無(wú)法根據(jù)韋達(dá)定理直接求出的，那么一般的處理方法是局部計(jì)算、整體約分。需要通過(guò)適當(dāng)?shù)呐錅?，將分子和分母這種非對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)湊成一致的，剩下的一般可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)的韋達(dá)定理加以計(jì)算，最后通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)分子、分母可以整體約分，從而解決問(wèn)題。下面通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)詳細(xì)介紹這類(lèi)的解題方法。平面內(nèi)有兩定點(diǎn)曲線上任意一點(diǎn)都滿足直線與直線的斜率之積為過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn),直線與交于點(diǎn)求曲線的軌跡方程；當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值。【例1.】已

18、知橢圓過(guò)點(diǎn)且離心率為求橢圓的方程；設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)。求證：直線與的交點(diǎn)在定直線上?！纠?.】橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)過(guò)其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn),直線與交于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求直線的方程；當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，證明：為定值。 專(zhuān)題練習(xí) 已知分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，在橢圓上，且，設(shè)直線的斜率分別為和，證明：為定值。 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為分別為左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為6.求橢圓的方程；設(shè)直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值。 3.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，分別為其左、右頂點(diǎn)，過(guò)作直線交橢圓于不與重合的兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為和，

19、求證：為定值。 圓錐曲線中的三點(diǎn)共線問(wèn)題解題技巧平面解析幾何中三點(diǎn)共線相關(guān)問(wèn)題三點(diǎn)共線問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，大題小題都有涉及。這類(lèi)題處理的方法一般來(lái)說(shuō)有兩個(gè)：斜率相等；向量共線。證明三點(diǎn)共線問(wèn)題的解題步驟：求出要證明共線的三點(diǎn)的坐標(biāo)；（如果已給出，則無(wú)需這一步）運(yùn)用斜率相等或向量共線來(lái)證明三點(diǎn)共線。特別提醒：三點(diǎn)共線問(wèn)題的兩個(gè)處理方法中，向量共線往往更方便，因?yàn)闊o(wú)需考慮斜率不存在的情形，所以大題一般用向量共線，小題用斜率相等?！纠?.】拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則（ ） 【例2.】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為在

20、拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為求直線與直線所成的夾角的大??；證明：三點(diǎn)共線。 專(zhuān)題習(xí)題拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則（ ） 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)。若直線的傾斜角為，求的面積；過(guò)點(diǎn)作直線與點(diǎn),證明：三點(diǎn)共線。已知橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓的上頂點(diǎn)和兩焦點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，且面積為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于橢圓長(zhǎng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,試求三點(diǎn)共線的充要條件。已知橢圓的離心率為焦距為斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。求橢圓的方程；若求的最大值；設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交

21、點(diǎn)為直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為若和點(diǎn)共線，求已知曲線.若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)分別為（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)直線與直線交于點(diǎn)求證：三點(diǎn)共線。已知兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足。求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（兩點(diǎn)不重合），證明：三點(diǎn)在同一直線上。巧用曲線系方程解決圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓問(wèn)題解題技巧圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓問(wèn)題在高考中是一大難點(diǎn)，應(yīng)用曲線系方程可以很好地解決這類(lèi)問(wèn)題。曲線系方程：設(shè)和分別表示平面上的兩條曲線，則經(jīng)過(guò)兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程可以為高考中常見(jiàn)的四點(diǎn)共圓問(wèn)題是兩條直線與圓錐曲線交于不同的四點(diǎn)，判斷四

22、點(diǎn)是否在同一圓上，如果是，需求出圓的方程。應(yīng)用曲線系方程求解這類(lèi)四點(diǎn)共圓問(wèn)題的解題步驟是：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)圓錐曲線和兩直線交點(diǎn)的曲線系方程為，其中表示圓錐曲線方程，表示兩直線構(gòu)成的曲線的方程；將展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)，與圓的一般方程比較系數(shù)，求出的值；將反代回方程的展開(kāi)式，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得出四點(diǎn)共圓且求出了圓的方程。圓錐曲線中四點(diǎn)共圓問(wèn)題的結(jié)論：設(shè)兩條直線和圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）交于四點(diǎn)，則四個(gè)交點(diǎn)在同一個(gè)圓上的充要條件是兩直線的傾斜角互補(bǔ)。【例1.】已知拋物線的焦點(diǎn)為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，線段的中垂線和拋物線交于兩點(diǎn)，證明四點(diǎn)共圓，并求出該圓的方程?！纠?.】設(shè)橢

23、圓的右焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若四點(diǎn)共圓，求的值以及該圓的方程?！纠?.】已知是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線與直線交于點(diǎn).求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且斜率為-2的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，判斷四點(diǎn)是否在同一圓上，若是，求出圓的方程。專(zhuān)題練習(xí)已知拋物線的焦點(diǎn)為過(guò)作兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于和問(wèn)：四點(diǎn)是否共圓？若是，求出圓的方程；若不是，說(shuō)明理由。已知雙曲線的一條漸近線方程為且過(guò)點(diǎn)求雙曲線的方程；斜率為的直線過(guò)點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)，斜率為的直線過(guò)原點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)，若四點(diǎn)是否在同一圓上，求的值及該圓的方程。已知拋物線的焦

24、點(diǎn)為,直線與軸的交點(diǎn)為與的交點(diǎn)為且求的方程；過(guò)的直線與相交于兩點(diǎn)，若的垂直平分線與相交于兩點(diǎn)，且四點(diǎn)在同一圓上，求的方程。拋物線中的阿基米德三角形解題技巧阿基米德三角形：如圖，拋物線的一條弦以及弦端點(diǎn)處的兩條切線所圍成的三角形，叫做拋物線中的阿基米德三角形。下面給出阿基米德三角形的一些常見(jiàn)性質(zhì)。如圖，不妨設(shè)拋物線為，拋物線上兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，則設(shè)中點(diǎn)為，則平行（或重合）于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；的中點(diǎn)在拋物線上，且拋物線在處的切線平行于弦；若弦過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是直線；特別地，若弦過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是直線；若弦過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)，則以為中點(diǎn)的弦與（3）中點(diǎn)的軌跡平行；若直線與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)，

25、點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則以為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)；若過(guò)焦點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為拋物線準(zhǔn)線，且面積的最小值為；。很多高考試題都以阿基米德三角形為背景命制，熟悉這些性質(zhì)對(duì)解題是有必要的，下面通過(guò)實(shí)例來(lái)證明上面的部分結(jié)論?！纠弧恳阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，拋物線上兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，中點(diǎn)為。證明：軸；設(shè)的中點(diǎn)為，證明：在拋物線上，且拋物線在處的切線平行于直線；證明：；證明：若過(guò)點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；當(dāng)恰為中點(diǎn)時(shí)，判斷與軌跡的位置關(guān)系；若過(guò)點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程，并證明求出面積的最小值。【例二】已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。專(zhuān)題練習(xí)已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，若，則_.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為，則的值（ ）大于0 等